MATEMATICA CLASSE 1A – A.S. 2015/2016
PROGRAMMA SVOLTO
In riferimento ai testi
Leonardo Sasso: "Matematica a colori - edizione blu”, Algebra vol.1, ed.Petrini
Ascari, Morzenti, Valsecchi: “ La geometria del piano e le trasformazioni”, vol.1 ed.San Marco
1) Numeri naturali e numeri interi:
Gli insiemi numerici N e Z: operazioni e proprietà. Criteri di divisibilità, numeri primi, M.C.D. e m.c.m,
potenze con esponente naturale e loro proprietà, espressioni numeriche, problemi in N e in Z.
2) Numeri razionali:
Le frazioni e numeri razionali. L’insieme numerico Q. Numeri decimali finiti e periodici. Proporzioni e
percentuali. Potenze con esponente intero negativo. Espressioni e problemi in Q. Notazione scientifica e
ordine di grandezza. I numeri irrazionali e i numeri reali.
3) Gli insiemi e la logica:
Gli insiemi e le loro rappresentazioni. Sottoinsiemi. Partizione di un insieme. Operazioni tra insiemi e loro
proprietà. Proposizioni e connettivi logici di base. Proposizioni aperte e insiemi di verità. Le implicazioni
logiche. Forme equivalenti per l’implicazione logica (condizione necessaria e sufficiente). Implicazione
inversa, contraria, controinversa. Alcune forme di ragionamento: modus ponens e modus tollens e
sillogismo ipotetico. I quantificatori.
4) Relazioni:
Il concetto di relazione. Rappresentazioni di una relazione. Proprietà delle relazioni. Relazioni di
equivalenza e d’ordine. Il concetto di funzione, funzione inversa, prodotto di funzioni, funzione biunivoca
(definizioni).
5) Monomi e polinomi:
I monomi e i polinomi. Le operazioni e le espressioni con i monomi e i polinomi. M.C.D. e m.c.m. fra
monomi. I prodotti notevoli. Le funzioni polinomiali. Divisione con resto fra polinomi. Il teorema del resto
e il teorema di Ruffini.
6) La scomposizione in fattori e le frazioni algebriche:
La scomposizione in fattori dei polinomi: raccoglimento a fattor comune e raccoglimenti parziali,
scomposizioni mediante i prodotti notevoli, scomposizione del trinomio di secondo grado, scomposizione
mediante la regola di Ruffini. M.C.D. e m.c.m. fra polinomi. Le frazioni algebriche: condizioni di esistenza
e semplificazione. Le operazioni con le frazioni algebriche. Semplificazione di espressioni con frazioni
algebriche.
7) Equazioni lineari:
Classificazione delle equazioni; dominio e soluzioni di un’equazione. Le equazioni equivalenti e i principi
di equivalenza. Risolvere equazioni intere e fratte, numeriche. Ricavare formule inverse. Utilizzare le
equazioni per rappresentare e risolvere problemi.
8) Enti geometrici, primi assiomi e teoremi:
Il metodo della geometria. Rette parallele e secanti, assioma di Euclide. Fasci di rette. Semipiani e relativo
assioma. Insiemi convessi e concavi. Angoli.
9) Trasformazioni geometriche, isometrie
Trasformazioni geometriche. Invarianti e elementi uniti di una trasformazione. Trasformazioni involutorie.
Assioma della distanza. Isometrie e loro proprietà. Lunghezza del segmento e ampiezza di un angolo.
10) Confronto e operazioni tra segmenti e angoli
Confronto e operazioni tra segmenti. Confronto e operazioni tra angoli. Angoli particolari.
11) Proprietà della simmetria assiale:
Rette perpendicolari e assiomi di perpendicolarità. Asse di un segmento. Distanza di un punto da una retta,
proiezioni e oblique. Simmetria assiale e proprietà.
12) Applicazioni della simmetria assiale:
Poligoni e triangoli. Lati, vertici diagonali di un poligono, angolo interno, angolo esterno. Poligono
equilatero, poligono equiangolo, poligono regolare. Luogo geometrico. Asse del segmento come luogo
geometrico. Circocentro di un triangolo. Bisettrice dell’angolo come luogo geometrico. Incentro di un
triangolo. Proprietà del triangolo isoscele. Alcune semplici costruzioni geometriche con riga e compasso.
Applicare teoremi già acquisiti nella dimostrazione di nuovi teoremi.
LAVORO ESTIVO
Il presente file contiene
1. Indicazioni di lavoro suddivise per fasce di profitto
2. Allegati, numerati da 1 a 2, contenenti esercizi e riferimenti ai testi utilizzati durante l’anno
3. Schede di lavoro, numerate da 1 a 9, che costituiscono il materiale che verrà utilizzato nei corsi di recupero
estivi
Il lavoro è obbligatorio per tutti, secondo le indicazioni. Se qualche esercizio creasse qualche problema, riportare il testo
e lasciare lo spazio vuoto per lo svolgimento segnalando in breve perché non si riesce a risolverlo. Riportare un
eventuale svolgimento, anche se errato.
A titolo facoltativo si consiglia di ‘giocare’ con la matematica utilizzando le proposte presenti in internet a cura di alcune
università italiane (per esempio: giochi di Archimede, Kangourou della matematica, giochi MATEpristem), soprattutto a
quegli studenti meno autonomi, che si ritengono poco creativi. Ci sono anche le soluzioni!
Sempre a titolo facoltativo allego un elenco di consigli di lettura che coinvolgono la matematica.
1] Studenti con sospensione del giudizio
Si ricorda che tali studenti, per essere ammessi alla classe successiva, dovranno sostenere prima dell’inizio del
prossimo anno scolastico una prova d’esame (secondo il calendario che verrà comunicato sul sito) consistente in una
prova scritta e una orale, in cui verranno verificate sia le conoscenze che le abilità operative.
Per la preparazione all’esame si raccomanda di seguire il corso di recupero organizzato dalla scuola o un equivalente
lavoro individuale.
Le schede da 1 a 9 vanno stampate e portate al corso di recupero.
Per eventuali ulteriori esercitazioni si possono utilizzare anche gli esercizi indicati nell’allegato 2.
2] Studenti promossi, ai quali però è stato comunicato il permanere di lacune in matematica
Le schede da 1 a 9 costituiscono, anche per costoro, un percorso guidato per colmare le lacune residue. In occasione
della prima lezione di matematica, dovranno consegnare all’insegnante il quaderno con il lavoro svolto. Le prove di
ingresso alla classe successiva, che saranno somministrate anche al resto della classe e valutate come verifiche del
quadrimestre, permetteranno di accertare l’avvenuto recupero di tali lacune.
3] Studenti promossi con voto 6
Dovranno svolgere gli esercizi indicati nell’allegato 2.
L’allegato 1 è un utile riepilogo delle proprietà delle operazioni fra insiemi.
A titolo facoltativo potranno poi avvalersi delle schede da 1 a 9 per gli argomenti sui quali ritengano di doversi meglio
consolidare.
4] Studenti promossi con voto maggiore o uguale a 7
Dovranno svolgere gli esercizi indicati nell’allegato 2 secondo le seguenti indicazioni:
TEMA A: svolgere tutti gli esercizi proposti
TEMA B: svolgere tutti gli esercizi proposti
TEMA C-D: svolgere un esercizio ogni due
GEOMETRIA: svolgere tutti gli esercizi proposti
L’allegato 1 è un utile riepilogo delle proprietà delle operazioni fra insiemi.
All'inizio dell’anno scolastico verrà considerato come prerequisito irrinunciabile per tutti la conoscenza di:
- definizioni
- proprietà delle operazioni fra numeri e fra polinomi
- proprietà degli insiemi
- proprietà delle relazioni
- enunciati degli assiomi e dei teoremi studiati, dimostrazione dei teoremi studiati
INDICAZIONI DI LAVORO
Prima di iniziare a fare gli esercizi si rileggano (per quell’argomento) le spiegazioni del libro di testo, rileggendo anche
eventuali esempi di esercizi svolti.
Per geometria è particolarmente importante ripassare e memorizzare tutti i contenuti (definizioni, assiomi, teoremi). Ci
si può aiutare anche utilizzando le schede riassuntive del testo e svolgendo le prove di autovalutazione e la simulazione
di verifica (si ricordi che in fondo al testo si possono trovare le soluzioni).
Allegato1
Riepiloghiamo le proprietà delle operazioni fra insiemi.
INTERSEZIONE
UNIONE
PROPRIETÀ DI IDEMPOTENZA
AA A
AA A
Proprietà commutativa
A B B A
A B B A
Proprietà associativa
A B C A B C
dell’intersezione rispetto all’unione
A B C A B C
Proprietà distributiva
dell’unione rispetto all’intersezione
A B C A B A C
A B C A B A C
Elemento neutro
A U A
A A
Elemento assorbente
A
A U U
Complementazione
AA
AA U
Leggi di De Morgan
A B A B
prima
A B A B
seconda
Altre proprietà
U
AA
U
Proprietà della differenza
A B A
AA
A A
U A A
A B B A
A B A B
Se A e B sono disgiunti allora A B A e B A B
Se A B allora A B
CARDINALITÀ DI UN INSIEME
DEFINIZIONE Se A è un insieme finito si definisce cardinalità di A il numero (naturale) di elementi dell’insieme A e si
o
scrive A n elementi di A.
PROPRIETÀ DELLA CARDINALITÀ
A B A B A B
Se A n allora P A 2
AxB A B
n
Allegato2
TEMA A – I NUMERI
Pag.145: 3,4,10,16,22,24,36,38,39,41,45,49
Pag.148: tutto il test da 1 a 23
TEMA B – IL LINGUAGGIO DELLA MATEMATICA
Pag.242: tutto il test da 1 a 19
ESERCIZIO1] Dati gli insiemi U x x Z, x 10 ,
A x | x U, 2 x 8 , B x | x U, x 3 1 0,
C x | x U, x n2 n N n 5 , dopo averne dato una rappresentazione con i diagrammi di Eulero-Venn,
scrivi per elencazione gli insiemi
C A B
A B B C
A B C B
PC B
ESERCIZIO2] In riferimento all’esercizio precedente inserisci i simboli opportuni.
{-1, -2, -3} …… A
…… A
1 ……AB
{1, 2, 3} …… A
……P(A)
5 ……ABC
3 …… A
……P(A)
5……P(A)
7 …… BC
5 ……AB
0 ……
ESERCIZIO3] Fornisci una proprietà caratteristica, in forma simbolica, che definisca i seguenti insiemi
1. A è l’insieme dei multipli naturali di 11 compresi fra 15 e 100
2. B 3, 1, 1, 3, 5, 7
C 8, 27, 64, 125, 216, 343
3.
4. D è l’insieme dei numeri naturali pari non minori di 10
TEMA C- D – IL CALCOLO CON LE LETTERE E LE EQUAZIONI
Pag.452: 55,57,59,62,64,67,68,72
Pag.456: tutto il test da 1 a 30
ESERCIZIO1] Semplifica le seguenti espressioni
1
2a
2
b 2a 2 b b 2 3a 13a 1 : 3a 2
2 a 2 2b 2
2
a 2 2b 2
2
: 8a 2 b 2
Soluzioni
2
1 4 2
1 2
1
2 3
2
3 2a b a b a b: a b 2 : 2b 2 2a 2 2b a 2
2
2
4
2
2 2
2
1
2 1 3 1 2 1
4 5a a a : a 3a 8a 4 2a 3 :2a 2 :3a 2
8 2
2
4
5
x - 1
3
2
6 x 2 3 x 3 6 x 4 3 x 5 : 3 x 2 3 : 4 x 2
1
4
6 x 4 x 2 : x 2 3x
9
3
2
3x
3
8 a + 3bc + c 2
2
2 2
2
1
4
2x x 2 : x
3
3
3
1
1
7 a 4 b 4 3a 3 b 3 : a 2 b 2 : 3ab
3
3
3
a 3bc c : c
2
4
1 - a2 + 3b2
3
2 - 1
3 64b4
1 2
a 2a 3
3
1
5 x2 x 1
4
6 6x + 3
4
1 3 3 2 2
a b - a b + 9ab - 27
27
8 16a2 96abc 144b2c2
7
9 3a2 6a 1
2
2
3
3
2
1
1
1 1
9 a + a 3a a : a
3
3
3 3
ESERCIZIO2] Semplifica le seguenti espressioni fra frazioni algebriche
2
2
1 m-1
1 1
m +1
1 2
2
: 2
m 2m 2 m m 2m 2 m m 4
Soluzioni
2
3
1+ y
y 2 1
1
8y
3
:
3
3
2 2
2
3 y 1
8y
y 6y 9 9 y 3 y 3 y
4
a2 3a 2 a2 3a 2
4a
20
:
3 2
2
2
a a 2 5 5a 3a
a 1 a a 2
2
3
5x2 x 3 x 2 3 x 2 8
4 x 4 1 : x 1
x
2
3
x 1 x 2 3x 9x
3
3 3a a
3
2a
1
5 2
4
: 4 a 4a 3 3a 3a2 3a 1
4a
4
a
4
4
a
4
a
3a 1 6a2 1 a 2 1
6
: 2
a 2 a 4 a 2
8 4
2 2
5 x 45
81 x
49 49 x
4x + 4
7 2
2
2
2
x
8
x
9
81
18
x
x
9
x
18
7
x
x
x2
2
x
y x y x
y x
y
:
8 1 1 : 1
x
4xy x y y x x y x y
y
1
m4
3
2 3
y
25
3 2
9a
4 x 2 x 1
51
2a
6
a+2
7 x + 16
1
1 1
1
1
2
1
1
9
2 2 2
:
3
2
y x 2xy y xy
x
x y x y
9 -
1
xy
ESERCIZIO3] Risolvi le equazioni
Numeriche fratte: sul libro di testo da pag.538: 290, 291, 295, 296, 298, 301, 303, 307, 309
ESERCIZIO4] Risolvi i seguenti problemi
Sul libro di testo da pag.497: 320, 325; pag.502: 396
Sul libro di testo da pag.536: 259, 263, 264, 273, 281, 289
ESERCIZIO5] Risolvi i seguenti problemi
1. Alla fine di un campionato a 18 squadre, comprensivo di girone di andata e di ritorno, una squadra ha totalizzato 31
punti. Sapendo che la vittoria vale 3 punti, il pareggio 1 punto e la squadra ha pareggiato una sola volta, quante
vittorie e quante sconfitte ha conseguito la squadra? vinte 10; perse 23
2. Un ragazzo perde giocando i
2
1
delle sue figurine. Gioca ancora e ne perde
di quante gliene erano rimaste. Alla
5
4
fine ha in tasca 72 figurine. Quante ne aveva all’inizio del gioco? 160
3. Per una gita scolastica a cui partecipa un’intera classe, gli alunni devono pagare 44 euro a testa. All’ultimo momento
due alunni non possono partecipare alla gita e quindi il costo deve essere ripartito tra i soli alunni che vi
parteciperanno. Si calcola che, visto che i due assenti non hanno pagato, ognuno deve aggiungere 4 euro alla
quota precedentemente stabilita. Quanti sono gli alunni della classe? 24
4. Si vuole suddividere un insieme di 50 persone in tre gruppi, in modo che nel secondo gruppo ci siano 5 persone in
più che nel primo, e nel terzo ci siano il doppio delle persone che ci sono nel secondo. Quante persone ci sono in
ciascuno dei tre gruppi? Impossibile
5. Un ciclista pedala in una direzione a 30 km all’ora. Un marciatore parte a piedi dallo stesso punto e alla stessa ora,
ma va in direzione opposta a 6 km all’ora. Dopo quanto tempo saranno lontani 150 km? 4h 10' oppure 250'
6. Giovanni ha in tasca 10 euro in più di Aldo, il quale ha la metà dei soldi di Livio, che ha il triplo del denaro di
Tommaso. I quattro fratelli decidono di unire tutte le loro sostanze per acquistare una maglia del costo di 87 euro
per la loro mamma e non avanzano nulla. Quanto aveva in tasca Aldo? 16,50euro
7. Il signor Rossi ha risparmiato nello scorso anno il 2% del suo guadagno e, nel corrente anno, intende aumentare di
1
il risparmio precedente e cioè risparmiare 800 euro. Quanto ha guadagnato il signor Rossi nello scorso anno?
3
30.000 euro
8. Trova le età di due fratelli sapendo che la loro somma è 50 anni e che fra cinque anni l’età del maggiore sarà i
7
5
dell’età del minore. Calcola poi quanti anni fa l’età del maggiore era il doppio dell’età del minore? 30 e 20; 10 anni fa
9. Un treno parte da una stazione e viaggia alla velocità costante di 120 km/h. Dopo 80 minuti parte un secondo treno
dalla stessa stazione e nella stessa direzione alla velocità di 150 km/h. Dopo quanti km il secondo raggiungerà il
primo? 800km
GEOMETRIA
TEOREMI
1] Due triangoli isosceli ABC e ABD hanno in comune la base AB e si trovano nello stesso semipiano di frontiera rAB,
con AD<AC. Dimostra che
1. La bisettrice di ACˆ B passa per D
2. Sono congruenti gli angoli CAˆ D, CB̂D
3. Il triangolo CEF è isoscele, essendo {E}=ACrBD, {F}=BCrAD
4. I triangoli ADE e BFD hanno gli angoli ordinatamente congruenti
2] Sia ABC un triangolo isoscele di base BC; siano x, y gli assi dei lati AB, AC e si intersechino in P; siano BK e CH
altezze e si intersechino in Q. Dimostra che
1. I punti A, P, Q sono allineati
2. Il triangolo PHK è isoscele
3. Il triangolo BQC è isoscele
4. I triangoli APB e APC sono isosceli
5. Le rette x, y sono rispettivamente parallele a CH, BK
6. BCKH è un trapezio isoscele
7. AH<AQ
8. AB<2AP
3] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia O il circocentro. Sia M il punto medio di AO ed N quello di OB. Siano
OHAC e OKBC, con H, K punti sui lati del triangolo. Dimostra che
1. Il triangolo OMN è isoscele
2. Il triangolo OHK è isoscele
3. H e K sono i punti medi di AC e BC
4. MNKH è un trapezio isoscele
5. I triangoli AOC e BOC sono isosceli
4] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia T l’incentro. Siano P e Q le intersezioni dei segmenti BC e AC
rispettivamente con le rette rAT e rBT. Siano x, y le bisettrici degli angoli esterni in A e B del triangolo, che si incontrano
in K. Dimostra che
1. AB è parallelo a PQ
2. K si trova sulla retta rCT
3. sono isosceli i triangoli CPQ, PQT, TAB
4. i triangoli QAT e PBT hanno gli angoli rispettivamente conguenti
5. TH<PT oppure THPT (distingui in quali condizioni si verificano i due casi), essendo {H}= ABrCT
6. il punto K ha la stessa distanza dalle rette contenenti i lati del triangolo
5] Dato il triangolo isoscele ABC, prolunga i due lati, dalla parte del vertice A, di due segmenti congruenti AE ed AD
(con AEAB); unisci B con D e C con E e sia O il punto di intersezione delle rette rBD e rCE. Essendo M il punto medio
di BC, siano H e K la sue proiezioni sui segmenti OB ed OC. Dimostra che
1. BD è congruente a CE
2. O appartiene alla retta bisettrice dell'angolo BA^C.
3. Il quadrilatero OHMK ha i lati a due a due congruenti e le diagonali perpendicolari
4. DEKH è un trapezio isoscele
5. MK<AC
6] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia CH una altezza. Sia Q un punto di CH tale che il AQ divida l’angolo
CÂB in due angoli congruenti. Siano S ed R le proiezioni ortogonali di Q su AC e BC rispettivamente; siano M ed N i
punti medi di CS e CR. Dimostrare che
1. Il triangolo AQB è isoscele
2. Gli angoli QĤR e QR̂H sono congruenti
3. Gli angoli RB̂Q e QB̂H sono congruenti
4. Il quadrilatero SRNM è un trapezio isoscele
Sia poi {O}=MRNS. Dimostrare che
5. O, C, H sono allineati
Si traccino ora le rette rNS e rMR, che intersecano la retta rAB in E ed F. Dimostrare che
6. EH è congruente ad HF.
7] Sia ABC un triangolo isoscele di base AB e sia CH una mediana, M ed N i punti medi rispettivamente di AC e BC.
Sia O l’intersezione fra CH e l’asse del lato AC. Dimostrare che
1. Il triangolo ABO è isoscele
2. Gli angoli OĈB e CB̂O sono congruenti
3. I segmenti MN e AB sono paralleli
4. La retta rON è perpendicolare a BC
Si traccino poi da M e N le parallele x e y rispettivamente ad OA e OB, che si intersecano in F e secano i lati AC e BC
rispettivamente in R ed S. Dimostrare che
5. C, H, F sono allineati
6. MNSR è un trapezio isoscele.
8] Sia ABC un triangolo acutangolo e isoscele di base BC. Indica con AH l’altezza relativa alla base (con HBC) e
indica con L il circocentro del triangolo. Dimostra che:
1. il triangolo ABL è isoscele
2. LH < LA
Prolunga i lati AB e AC dalla parte di A di due segmenti congruenti AD e AE (con AD<AB). Da D e da E traccia le
rette s e r rispettivamente parallele ad AC e ad AB, che intersecano in G ed F la retta BC. Detto O il punto di
intersezione delle rette r ed s, dimostra che:
3. AH è bisettrice dell’angolo EÂD
4.
5.
6.
7.
l’angolo LB̂A è congruente alla metà dell’angolo EÂD
D ed E sono simmetrici rispetto alla retta AH
O è un punto della retta AH
DEFG è un trapezio ed è isoscele
9] Sia ABC un triangolo rettangolo in C e sia r la bisettrice dell’angolo CÂB che interseca CB in P. Da P conduci la
retta perpendicolare ad AB che incontra il lato AB in D e il prolungamento del lato AC in E. Sia H il punto
d’intersezione fra CD ed r. Dimostra che:
1. gli angoli PC^D e PD^C sono congruenti
2. H è punto medio di CD
3. AH < AC < AP
4. gli angoli BP̂D e EP̂C sono congruenti come pure CE^P e CB^D
5. CDBE è un trapezio isoscele
6. gli angoli PÊB e PB̂E sono congruenti
7. HD < PB e CD < CB
10] Sia ABC un triangolo rettangolo in B e sia BH l’altezza relativa ad AC. Costruisci D, punto simmetrico di A rispetto
a BH. Traccia l’asse s dell’ipotenusa AC e la bisettrice dell’angolo BA^C che si intersecano in P. Da P conduci la
parallela al lato BC che incontra la retta AB in E. Dimostra che i triangoli ABD, PAC, EPM, EAM sono isosceli, dove
M = AC s.
Scheda n°1 Contenuti: Gli insiemi numerici N e Z
Contenuti minimi
Applicazioni
L’insieme dei numeri naturali N
Potenze e loro proprietà; MCD e mcm
L’insieme dei numeri interi Z
Potenze e loro proprietà
Semplificare espressioni
Calcolare MCD e mcm
Risolvere problemi in N, Z
Dimostrare o confutare semplici congetture
ESERCIZIO1] Individua fra le seguenti, le affermazioni Vere e le affermazioni False. Motiva le Vere e costruisci un
controesempio per quelle False:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
La differenza dei quadrati di due numeri è uguale al quadrato della loro differenza
L’opposto del quadrato di un numero è il quadrato dell’opposto del numero stesso
Il prodotto dei cubi di due numeri è uguale al cubo del prodotto dei due numeri
Il doppio del valore assoluto di un numero è uguale al valore assoluto del doppio del numero
La somma dei valori assoluti di due numeri interi è maggiore al valore assoluto della somma dei due numeri
Se il risultato di una potenza è negativo, il suo esponente è dispari
Se il risultato di una potenza è positivo, il suo esponente è pari
Se si moltiplica per –1 un qualunque numero, si ottiene un risultato negativo
ESERCIZIO2] Dimostra che per moltiplicare un qualsiasi numero naturale per 12, basta moltiplicarlo per 10 e sommargli
il suo doppio. Analogamente dimostra che per quadruplicare un qualsiasi numero naturale basta raddoppiarlo due volte.
Quali proprietà hai utilizzato?
ESERCIZIO3] Risolvi i quesiti
2016
a.
b.
c.
la metà di 4
è ….
il quadrato del quadrato del quadrato di 32 è ….
2
3
4
la cifra delle unità del numero 5 6 7 è ….
d.
il doppio di 2
2016
è ….
ESERCIZIO4] Dimostra che:
a.
5 − 5 + 5 è divisibile per 7; è dispari; è multiplo di 125.
b. 7 + 7 è pari; è divisibile per 14; non è multiplo di 5.
c. 7 − 9 è multiplo di 4; è pari; è multiplo di 13.
ESERCIZIO5] Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando quando possibile le proprietà delle potenze e specificando
quali proprietà stai utilizzando.
1.
2
2.
3 3
3
27
2
: 2 5 ....
2 2
4
R 215
: 3 2 ....
4.
R 90
4
3
8 2 16 4
: 2
2
3
82
5
....
5. 3 4 5 3 2 53 : 3 2 5 2 ....
3
4
R 211
R 152
2
3
0 4
3. 5 8 : 5 2 73 ...
R 262
ESERCIZIO6] Scomponi in fattori i seguenti numeri naturali, anche utilizzando le proprietà delle potenze. Calcola i MCD
e i mcm richiesti.
a 35 2 700 ..
3
b 2500 75 ..
c 3600 1800 ..
MCD(a,c)=..
mcm(a,c)=..2
MCD(a,b,c)=..
mcm(b,c)=..
ESERCIZIO7] Semplifica le seguenti espressioni, utilizzando quando possibile le proprietà delle potenze e specificando
quali proprietà stai utilizzando.
1.
3
2.
1 1 : 1 : 1 1
2 2
4
3
: 3
6.
3
5 2
3
2
6
5
: 1
7.
8.
3
3. 2 5 : 2
4.
2
5.
5
2
3 5
3
2 2 2
2 2 2 : - 2 2 2
3 2
2 3
7
9. 3 8 : 3 3
6 3
4
2
3
3
2
2 4
ESERCIZIO8] Ogni mese un grossista consegna ad un ristorante 30 litri, 48 litri e 18 litri di tre tipi diversi di vino
utilizzando il minor numero possibile di recipienti tutti uguali e completamente riempiti, senza mescolare qualità diverse
di vino nello stesso recipiente. Quanti recipienti riceverà quel ristorante in un anno?
R: 192 recipienti da 6 litri ciascuno
COMPITO
ESERCIZIO9] Semplifica le seguenti espressioni
1.
2.
3.
4.
7
5
5
3
: 25 5 2
3
: 7 3 2 0 : 5 : 100 30 : 6 5 2 3 2 3 : 2 2 : 2 3 : 23 ...
52 54
2 2
3 4
: 210
:3
2
3
22 52
3
: 1000 ....
+ 243 : 83 23 53 7 35 : 33 4 44 : 43 32 102
25 23 1 12 5 3 3 : 24
22 24
3
5. 23 5 6 2 2 5 : 28 58 ....
3
4
R 10
ESERCIZIO10 Dimostra che il prodotto dei quadrati di due naturali è ancora il quadrato di un numero naturale, mentre
NON è vero che la somma dei quadrati di due naturali è il quadrato di un numero naturale.
ESERCIZIO11 sul libro pag.54 n.456 e 459
ESERCIZIO12 In una classe di 27 alunni, la media dei voti nell’ultimo compito di matematica è stata 6,5. La media
dei voti delle 12 ragazze è stata 7. Qual è la somma dei voti di tutti gli alunni? Qual è la somma dei voti di tutte le
ragazze? Qual è la media dei voti dei soli ragazzi?
4
8
4
ESERCIZIO13 Se 2 3 n 6 , quanto vale n?
(USA University of South Carolina, 2003)
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
Scheda n°2 Contenuti: Insiemi. Implicazioni logiche
Contenuti minimi
Applicazioni
Insiemi e loro rappresentazioni
Rappresentare per elencazione, caratteristica, diagrammi
di Venn
Sottoinsiemi
Utilizzare correttamente i simboli di inclusione ed
appartenenza, insieme vuoto, insieme universo
Operazioni fra insiemi: unione, intersezione, differenza, Determinare gli elementi di tali insiemi
complementare, prodotto cartesiano
Risolvere problemi utilizzando i diagrammi di Venn
Proposizioni matematiche
Inversa, contraria, controinversa di una implicazione
Quantificatori
Costruire tali proposizioni
Utilizzare i quantificatori
ESERCIZIO1 Ricopia più volte il diagramma in figura e colora gli insiemi elencati, indicando per ciascuno
l’operazione con cui si ottengono a partire dagli insiemi A, B, C.
Colora l’insieme delle persone che praticano:
a. la pallavolo e il nuoto
b. il calcio o la pallavolo
c. la pallavolo ma non il nuoto
d. il calcio o la pallavolo, ma non entrambi
e. nessuno dei tre sport
Modifica il diagramma della figura in modo da rappresentare la situazione in cui nessuno pratica tutti e tre gli sport e
tutti coloro che giocano a calcio praticano anche nuoto.
ESERCIZIO2] Ricorda che un insieme può essere fornito per elencazione dei suoi elementi, per caratteristica, tramite
diagrammi di Venn. Dati i seguenti insiemi, fornisci per ciascuno le rappresentazioni mancanti.
A 1, 3, 9, 27, 81
B x N | x 3n n N x 20
n
C x Z | x - 2 n N n 6
1 1 1 1 1
D 1, , , , , ...
2 4 8 16 32
E x Z | 2 x 5
ESERCIZIO3] Rappresenta, con un unico diagramma di Venn, i seguenti insiemi e successivamente completa le
scritture.
A x N | x 2n n N x 12 ; B x N | x 4n n N x 12 ; C x N | 8 x 11
B … A
Se xB allora x … A
… B
B … C
4 … B
{4} … A
{4} … C
{0, 4, 8} … B
ESERCIZIO4] Dato l’insieme universo U x Z | x 10 , rappresenta, con un unico diagramma di Venn, i
seguenti insiemi e successivamente completa
A x U | x 2 n N ; B x U | x 2n 1 n N; C x U | x -2n n N x 5
n
A ...
A ...
B ...
A B ...
C ...
A C B ...
A B ...
A C C B ...
A C ...
A B ... A
ABC
...
… BA
{-2, 3, -8} … ABC
ESERCIZIO5 Dati gli insiemi , A 1; 2; 7 e B 4; 5, costruisci gli insiemi AxA e AxB
ESERCIZIO6 Risolvi il problema aiutandoti con un diagramma di Venn
Nel periodo delle elezioni dei rappresentanti di classe, in una classe di 31 alunni si sono candidati 3 studenti: Anna,
Beatrice, Cristian. Tutti gli alunni sono presenti. Ogni alunno della classe può votare anche più di un candidato. Allo
spoglio dei voti risulta che:
due schede sono bianche
non ci sono schede nulle
2 schede indicano tutti e tre i nomi
8 schede indicano solo Anna
5 schede indicano solo Beatrice
2 schede indicano solo Anna e Beatrice
3 schede indicano solo Beatrice e Cristian
2 schede indicano solo Anna e Cristian
Quanti hanno votato solo Cristian? E chi saranno i due rappresentanti di classe eletti?
(7; Anna e Cristian)
ESERCIZIO7 Risolvi il problema aiutandoti con un diagramma di Venn
Un gruppo di amici, dopo cena, vanno in un bar. Ognuno di loro prende almeno il caffè, il dolce o il gelato. Si sa che:
1 persona ha preso un caffè, un dolce e un gelato
3 persone hanno preso soltanto il caffè
8 persone hanno bevuto un caffè
2 persone hanno preso solo un gelato
4 persone hanno preso almeno un dolce e un gelato
4 persone hanno preso solo il dolce
10 persone non hanno preso il gelato.
Quanti sono gli amici? Quante persone hanno preso il dolce e il caffè, ma non il gelato. Determina quanto
pagano complessivamente, sapendo che il caffè costa 1 euro, il dolce 4,50 euro e il gelato 3,50 euro.
R: 17; 3; 8 1 4,50 11 3,50 7 82 euro
ESERCIZIO8 Scrivi in forma simbolica le seguenti proposizioni aperte utilizzando il quantificatore opportuno. Indica
poi il valore di verità delle proposizioni.
a.
b.
c.
d.
Ogni numero naturale è minore del suo successivo.
Tutti i quadrati sono positivi.
Ci sono numeri razionali che sono uguali al loro reciproco.
Non esistono numeri interi il cui cubo è uguale a 343.
ESERCIZIO9] Date le seguenti implicazioni, scrivine inversa, contraria e controinversa. Per ciascuna stabilisci se è o
meno una implicazione logica.
1.
2.
3.
4.
Se un numero è una potenza di 8 allora è dispari
Se un numero è multiplo di 6 allora è multiplo di 3
Se una figura geometrica ha 5 lati, allora ha 5 angoli congruenti
Se un numero è intero allora è razionale
ESERCIZIO10 Trascrivi le proposizioni:
a. Se smette di piovere vado in piscina.
b. E’ necessario che ritorni il sole affinché i pomodori maturino.
c. Solo se sono iscritto alla corsa posso gareggiare.
d. E’ sufficiente non presentarsi all’esame per non superarlo.
e. Solo se ha le diagonali congruenti un quadrilatero è un rettangolo
f. Basta che un poligono sia equiangolo perché sia regolare
nelle forme equivalenti:
Se ……………………… allora ……………………..
Condizione sufficiente ………………………….
Condizione necessaria ………………………………
Solo se ……………………………………………….
COMPITO
1
2
2
3
1
3
1
9
ESERCIZIO11] Dato l’insieme universo U x Q | 0, 1, , , , ,
1 1 1
, , , rappresenta, con un unico
27 4 5
diagramma di Venn, i seguenti insiemi e successivamente completa
1
1
A x U | x n n N n 3 ; B x U | x n N 0 n 5 ;
n
3
1
C x U | x n n Z n 2
3
A ...
A ...
B ...
A B ...
C ...
A C B ...
A B ...
A C C B ...
A C ...
ESERCIZIO12] Dati gli insiemi generici A, B, C ed U, rappresenta con diagrammi di Venn i seguenti insiemi:
A B C; A B C;
A B C; A B C; A B C; A B C
ESERCIZIO13 Ci sono 29 persone in una stanza. Di queste, 11 parlano francese, 24 parlano inglese, e 3 non
parlano né francese né inglese. Quante persone nella stanza parlano sia francese che inglese?
ESERCIZIO14 Si sa che in una città di confine la popolazione parla il tedesco o il francese e che il 70% della
popolazione parla il tedesco mentre il 60% parla il francese. Quale percentuale di popolazione conosce entrambe le
lingue?
ESERCIZIO15] Date le seguenti implicazioni, scrivine inversa, contraria e controinversa.
1. Se mi telefoni sei gentile
2. Se un numero è minore di 100 allora ha due cifre
ESERCIZIO16 Scrivi in linguaggio verbale le seguenti proposizioni e indica il loro valore di verità.
x R x 2 3
0
x R x 1
x Z x x 2
2
x Z x 0
ESERCIZIO17 sul libro pag.193 n.211
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
x Z x 5
x Q x x
Scheda n°3 Contenuti: Relazioni – Insiemi numerici: Q
Contenuti minimi
Applicazioni
Relazioni e loro rappresentazione
Utilizzare diverse rappresentazioni
Proprietà delle relazioni. Relazioni d’equivalenza e Classificare relazioni in un insieme
d’ordine.
L’insieme dei numeri razionali Q
Ordinamento
Rappresentazione decimale
Potenze e loro proprietà
Operazioni con i numeri razionali
Risolvere problemi in Q
ESERCIZIO1] Individua fra le seguenti le affermazioni Vere e le affermazioni False. Motiva le Vere e costruisci un
controesempio per quelle False:
a. Il reciproco della somma di due numeri è uguale alla somma dei reciproci dei due numeri
b. Il quoziente di due numeri uguali è sempre 1
n
a
c. Nell’espressione se n è negativo il risultato dell’espressione è negativo.
b
d. Se si moltiplica per –1 numeratore e denominatore di una frazione si ottiene una frazione equivalente
ESERCIZIO2] Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false
1 3
6 3
2 5 10 6
;
1 1 1 2
6 3 4 8
;
-
1 5 2 1
3 6 5 8
;
-
3 1
7 4
5 6
4 5
;
-
14 3 4 3
15 5 9 2
;
-7 7
ESERCIZIO3] Scrivi le frazioni generatrici dei seguenti numeri decimali (la parte in parentesi rappresenta il periodo)
3.6
0.(2)
8.2(5)
0.(05)
0.03
0.34(5)
7.(5)
7.(2)
12.05
7.(312)
2.(25)
3.(9)
4.(5)
13.1(9)
ESERCIZIO4] Confronta o ordina tra loro i seguenti numeri decimali
0.3 ..... 0.(3)
8.0(1).....8.(01)
17.(9) ..... 18
3.02(9).....3.03
0.01 ; 0.(01) ; 0.0(1) : ....
0.001 ; 0.(001) ; 0.0(01) ; 0.00(1) : ....
ESERCIZIO5] Semplifica le seguenti espressioni in Q, utilizzando quando possibile le proprietà delle potenze e
specificando quali proprietà stai utilizzando.
2
2 2 2 2 3
1. :
3 3 3
2
3
2
4 9
2
2. 16
3 16
3
2
R
3
4 2
3. :
3 9
R 144
3
R6
3
3
4 2
4.
:
25 5
3
25
8
3
2 7 3 4 3 2 2 4
: 5
3 2 2 3
5.
2
23 : 25
5
2 1
3
: 1
81 6
2 3
R
125
64
R
1
4
ESERCIZIO6] Risolvi i problemi
1.
Fra i partecipanti ad un convegno il 40% sono maschi; il 20% dei maschi e il 15% delle femmine sono al di
sotto dei 30 anni. Qual è la percentuale complessiva dei partecipanti al di sotto dei 30 anni?
(17%)
2.
Una scatola da 1 kg di tonno sott’olio contiene il 4% di olio, mentre una scatoletta da 250 grammi ne contiene
il 18%. Quale delle due confezioni di tonno contiene una minor quantità di olio? Perché la scatoletta da 250
grammi abbia la stessa quantità di olio della confezione da 1 kg, quale deve essere la sua percentuale di
olio?
R: quella da 1kg; il 16%
3.
In una cittadina l’80% degli abitanti è maggiorenne e ha diritto al voto. Nelle ultime elezioni comunali, soltanto
il 70% degli aventi diritto al voto si è recato alle urne, ma il 5% di questi ha votato scheda bianca o nulla. Fra i
voti espressi 5 su 8 sono stati a favore del sig.Lapo Mannaro che è stato così eletto sindaco con 3990
preferenze. Quanti abitanti ha quella città?
R: 12000
4.
Se le due dimensioni di un orto rettangolare vengono una aumentata e l’altra diminuita del 10% che
variazione percentuale subisce l’area? Rispondi motivando.
R: l’area diminuisce sempre dell’1% indipendentemente dalle dimensioni
5.
Se le due dimensioni di un orto rettangolare vengono aumentate entrambe del 10% di quanto aumenta in
percentuale l’area? E il perimetro?
R: l’area aumenta del 21%; il perimetro aumenta del 10%
6.
In un concorso passa la prima selezione soltanto il 20% dei disegni presentati. Successivamente ad una
seconda selezione solo 8% dei disegni rimasti in gara viene premiato. In totale i disegni premiati sono 4.
Quanti lavori erano stati presentati alla gara?
R: 250, infatti se indico con x il numero di tutti i lavori in gara si ha che
8
20
x 4 x 250
100 100
ESERCIZIO7] Maria ha acquistato un libro, scontato del 15%, al prezzo di 15 euro e 30 centesimi. Dopo aver letto
delle pagine del libro, legge
Determina:
1
4
2
delle pagine rimanenti e a questo punto le restano da leggere ancora 104 pagine.
3
il prezzo del libro prima dello sconto (prezzo di copertina)
Il numero di pagine complessivo del libro
La percentuale che rappresenta il numero di pagine che restano da leggere a Maria rispetto al
numero di pagine complessivo
18 euro, 416 pagine, 25%
ESERCIZIO8 Una relazione può essere rappresentata mediante diagramma sagittale o grafico cartesiano. Delle
seguenti relazioni definite tra gli insiemi A 1;2;3;4;7 e B 4;5;6 , illustra tutte le possibili rappresentazioni,
indica poi Dominio e Condominio.
1;4 , 2;4 , 1;5 , 1;6, 2;6 , 3;6 , 4;4
b. a b a e b sono pari
c. a b a b 0
a.
ESERCIZIO9 Studia le proprietà delle seguenti relazioni, stabilisci poi quali fra le relazioni sono di equivalenza, per
queste individua le classi di equivalenza, o quali sono d’ordine, per queste individua se sono d’ordine stretto/largo,
totale/parziale.
b. In A 27, 231, 3,10 4 , x R y se e solo se x ha un numero di cifre minore di quello di y
c. Nell’insieme degli studenti del tuo liceo, essere nati nello stesso anno o nello stesso luogo
d. Nell’insieme degli studenti del tuo liceo, essere nati nello stesso anno e nello stesso luogo
e. Nell’insieme B x Z x 3 , : x y 0
f.
Nell’insieme delle persone presenti in questa stanza, x R y se e solo se x è venuto a scuola con lo stesso
mezzo di trasporto di y
g. In un insieme di persone, aver pranzato almeno una volta insieme.
ESERCIZIO10] Dopo averne disegnato un grafico (sagittale o cartesiano), stabilisci se le seguenti corrispondenze
definite dall’insieme A all’insieme B sono o no funzioni. In caso affermativo stabilisci se è una funzione biunivoca
a.
b.
c.
A 1, 2, 3, 4, 5e B 0, 2, 5, 8, 11, 14, y=3x-1
A 1, 2, 3, 4e B 2, 5, 10, 17, y=x2+1
A 1, 2, 3, 4e B 2, 10, 17, y=x2+1
COMPITO
ESERCIZIO11] Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali
1
;
3
2.5(9);
1
;
10
- 0.33;
16
5
-1.544;
4
1
ESERCIZIO12] Dividi il prodotto tra il cubo di e il quadrato di
2
1
3
risultato il cubo di , quindi dividi la somma ottenuta per .
2
4
0.(1);
-1.5(4);
3
1
per il quadrato di
2
1
5
7
1
. Aggiungi al
2
ESERCIZIO13] Semplifica le seguenti espressioni
3
3
1.
3
2
1
3
5
4 2 : 4 1 2
5
4
2
3 8 4 6 3 11 3
:
4 3 4 4
ESERCIZIO14] Il rapporto fra le aree di due rettangoli è
2.
4
1
32
3
3
: 16 2
8
2
1
:
2
2
4
:
1 2 1 2
:
27 3
9
4
: 27 2
4
6
9
. Trova l’altezza del secondo rettangolo sapendo che ha la
16
base di 20 cm e che il primo rettangolo ha i lati lunghi 15 cm e 16 cm.
ESERCIZIO15] In un’azienda il 15% del personale è costituito da impiegati, il 20% da tecnici specializzati e infine ci
sono 273 operai. Quanti sono gli impiegati e quanti i tecnici?
ESERCIZIO16 sul libro pag.106 n.231, 233
ESERCIZIO17 Rappresenta con un grafo le seguenti relazioni e studiane le proprietà
663
a.
Nell’insieme A 3452, 384, 2354, 673, 636, 5423, 834,
“essere formati dalle stesse cifre (anche in ordine diverso)”
b.
Nell’insieme delle espressioni C 3 5, 3 7, 11 6 2, 2 8, 2 , 2 , 2 , 2 , 3
“essere equivalente” (cioè avere lo stesso risultato)
c.
Nell’insieme D 11100, 12 10 , 13400, 988, 10 , 10
“avere lo stesso numero di cifre”
2
4
4
2
2
2
2
0
0
ESERCIZIO18 Verifica che in N la relazione “avere uguale la cifra delle unità” è una relazione di equivalenza. Stabilisci
quali e quante sono le classi di equivalenza che si costruiscono.
ESERCIZIO19 Dato l’insieme A , Δ considerane l’insieme delle parti P(A). In tale insieme si può definire la
relazione di inclusione . Dimostra che è una relazione d’ordine parziale e disegnane il grafo.
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
Scheda n°4 Contenuti: Gli insiemi numerici – Il calcolo letterale: monomi, operazioni con i
polinomi.
Contenuti minimi
Applicazioni
L’insieme dei numeri razionali Q
Operazioni con i numeri razionali
Semplificare espressioni
Monomi e polinomi: definizioni varie
Operazioni con i monomi
MCD e mcm di monomi
Operazioni con i polinomi (addizione e moltiplicazione)
Prodotti notevoli (somma per differenza, quadrato del
binomio e del trinomio, cubo del binomio)
Classificare e determinare il grado di monomi e polinomi
Semplificare espressioni
Calcolare MCD e mcm
Semplificare espressioni
ESERCIZIO1] Semplifica le seguenti espressioni in Q
1.
3
5 1
1
5
4 5 .2
0 .5 0 . 875
6 2 12
24
4
2. 1 . 3 3 . 4 1 . 6 2 2 . 3 2 . 6
5
R -1.2
R -3
3. 0 .08 3 2 . 4 5 4 4 1 3 . 5 3
6 5
4
2
13 5
61
0 .8 6
6 60
4
R -1
3
4.
1 2 1 1 2 2 5 5
1 1 :
2
2 2 6 3 6 2
1 5 2 2
1
1
2
1 2 7 1 2 3 5 2 12 6 3 3
1 1 :
2 6 2 3 2 6
R -2
ESERCIZIO2] La ditta Grandi Affari pratica lo sconto del 30% su un particolare capo d’abbigliamento, mentre la
concorrente La Vera Convenienza sullo stesso capo pratica prima il 20% e poi un ulteriore sconto del 12% sul prezzo
già scontato. Se il prezzo originale del capo in entrambi i negozi è x, scrivi con due espressioni il prezzo finale in
ciascun negozio. Quale negozio pratica uno sconto maggiore?
ESERCIZIO3] Si deve rivestire esternamente di stoffa un contenitore senza coperchio che ha la forma di un
parallelepipedo rettangolo di altezza 30 cm. Se a e b sono le misure in cm dei lati di base, calcola la quantità di stoffa
occorrente.
R:
ab+60a+60b
ESERCIZIO4] In un triangolo ABC, l’altezza relativa ad AB è
3
di AB. Indica con x la misura di AB e con y l’area di
2
ABC ed esprimi y in funzione di x. Se x raddoppia l’area raddoppia?
R:
y
3 2
x , x 0 , no, quadruplica
4
ESERCIZIO5 Calcola:
1.
ax ax ax ax : x
2
4 3
2. a b
2
2
2
R0
2
2
4
1
: ab a 4 b 2
5
3
2
25 2
1 2
2
5
: a b b 2 2a 2b
a : 2b
4
5
R 2a 4 b
ESERCIZIO6] Completa
3 5
x y 5 x 2z
2
y in forma normale è …………….……………;
3
il coefficiente numerico è …………;
il grado complessivo è ……….., il grado rispetto a x è …….., rispetto a y …….., rispetto a z ………., rispetto a t
1
3
Dato il monomio 2 x y , scrivi un monomio simile ………………….
il monomio opposto ……………….
un monomio con lo stesso grado ……………….
x 4y 2 5
è un polinomio di grado ……………….. e i suoi termini sono: ……………………………………..
2
Scrivi un trinomio omogeneo di quarto grado ……………….…………………………….
e il suo opposto …………………………….
3
5
4
3
Ordina il polinomio 3 x y 5x y x di grado …………..
rispetto ad x ……………………………………..
rispetto ad y ……………………………………..
ESERCIZIO7 Per ogni coppia di monomi, scrivi tre divisori comuni e il MCD.
Monomi
2
Divisori comuni
4
18a bc ;
3
5
3
4
MCD
2
15a b c d
7x 2 y 3
xy z ;
ESERCIZIO8 Per ogni coppia di monomi, scrivi tre multipli comuni e il mcm.
Monomi
2
Multipli comuni
4
18a bc ;
3
5
3
4
mcm
2
15a b c d
7x 2 y 3
xy z ;
ESERCIZIO9] Completa:
5x y 5x y ...
3
3
2
1 3
2ab x ...
2
3
1
2
2a b x ...
3
2
1
2
2a b 3c ...
2
3x 21 y3x 2 ...
x 1x 1x 1x 1 ...
3x 23x 29x 2 4 81x 4 16 ...
2ab
2
x 4 2ab 2 x 4 ...
ESERCIZIO10] Calcola
1.
1 2a 2a
2.
1
3
3
3
3
3
3
4 2
2
a b a b b a a b a b : ab
3
3.
1
2a b 2c 2 3 2a b 2c 2a b 2c 1 a b 2c 3 a
4
4
2
2
4.
x 3xy x
5.
1 9
1 27 4
2
1
1
3
2x 3x 2 x 2 x x 2 1 x 2 x
x 3x 2 x 3 x 2
9 4
9 4
3
2
2
2
2
2
2
1 2a 2 3 a 3 3 a 1 a a 1
R 10a 2 6a 18
2
R 1
2
2
2
R 6bc
1 x 2 1 x 3 xy 9 x 2 y 2 : x 2 x 4 9y 2 1
R 1
R 2x
COMPITO
ESERCIZIO11] Semplifica le seguenti espressioni
1.
2 1 5 1
4 2 . 6 0 . 625
3 2 8 8
6
7 11
1
1 0 . 75
5
4 4
R -1
3
2
1 3
5
1
:
2
2
2
3
1
11 4 1 3
2
2
1
12 9 36
1 1 1
1
11
3 4 12
2.
R2
ESERCIZIO12 sul libro pag.453: 55,57,62,64
ESERCIZIO13] In un trapezio rettangolo ABCD, la base maggiore AB misura 4 e l’altezza AD è
3
del lato obliquo
5
BC. Indica con x la misura di BC e stabilisci quali valori può assumere x. Indica con y il perimetro del trapezio ABCD;
esprimi y in funzione di x. Stabilisci per quali valori di x il perimetro di ABCD è uguale a 10.
ESERCIZIO14] Calcola:
2
3
2
2 2 3 3 3 2 3 2
7 5 10
1. ab c a bc a bc 2a b c
3
2
4
R
2
3 2
2. 3a : 2a 4a a a
: 5a a : a
2 3
2
2
2
2 2
a a
5 2
2
3. 1 a b b a b : a b
2 2
4
2
3
9
3
3
2
4. x x x 3 x x x
2
4
2
2
2
5
5
2 2
2
5.
x 3 x 2x 4 x 3 3 72x 1x 2
6.
x
7.
a 2b 2 a 2b2 a 2 ab b 2 a 2 ab b 2 3ab 2
2
3
1 1 x2
x
3
6
x2
x
2
2 4
R
3 11 7 12
a b c
8
3 3 27
a
a
20
8
R6
R
27 2
x
4
R 8 x 17
R 2x 4 1
R 17b 4 2a 3 b
2
1
1 10 2
8. x a x a
a 4 a 2 1 x2 1 a2 x 2 2
3
3 9
3
2
2
2
3
9. RAPIDO a b 3a b a b 3a b a b a b
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
R0
R 8a 3
Scheda n°5 Contenuti: Scomposizione di polinomi in fattori. Divisibilità fra polinomi.
Contenuti minimi
Applicazioni
Divisione fra polinomi
Regola di Ruffini, teorema del resto
Eseguire divisioni fra polinomi
Applicare regola di Ruffini e teorema del resto
Raccoglimento totale
Raccoglimento parziale
Riconoscimento di prodotti notevoli
Trinomio particolare, monico e non monico
Somma e differenza di cubi
Metodo di Ruffini
Scomporre polinomi tramite la combinazione dei vari
metodi
MCD e mcm fra polinomi
Determinare MCD e mcm
ESERCIZIO1] Determina quoziente e resto delle seguenti divisioni, applicando la regola generale o, se possibile,
quella di Ruffini:
1.
6x
3
3 x 2x 2 1 : 2x 2 1
2.
2x
3
6 x 1 : x 2
3.
4 x
4
9 x 3 6 x 1 : 2x 3
Q 3 x 1;
R0
Q 2x 2 4x 2; R 3
Q 2x 3
3 2 9
3
17
x x ; R
2
4
8
8
ESERCIZIO2 Senza eseguire le divisioni, calcola il resto applicando il teorema del resto:
1
2
3
x x x : x 2
3
1.
2.
1
1 4 1 3 1 2
x x x : x
4
3
2
2
ESERCIZIO3] Scomponi in fattori i seguenti polinomi (raccoglimento totale e parziale)
2 4 3 2 2 7 4 4 ...
xy
x y
x y
...
3
15
10
30
2. 2abx 2y 8c x 2y
1.
3.
2
3 x a 3b a 3b
2a 2 x 2bx a 2 y by
5. 15a 3 x - 15a 3 y 5a 2 bx - 5a 2 by
4.
6.
4m 4 n - 4m 3 n 2 - 6m 3 n3 6m 2 n 4
ESERCIZIO4] Scomponi in fattori i seguenti polinomi ( … + riconoscimento di prodotti notevoli)
1. 25x 2 16y 2
7. - 3a 3 bx 2 - 9a 3 by 2 12ab3 x 2 36ab3 y 2
2. 8a 5 - 2a 3
8.
3. 4x 4 - 16x 3 y 16x 2 y 2
9. x 4 2x 2 1
10. a 2 9b 2 6b 1
4.
- 5x 8 20x 5 y - 20x 2 y 2
1 3
1
5.
x y 3 x 2 y xy 2
27
3
6. 108x 4 y - 216x 3 y 2 144x 2 y 3 - 32xy 4
4x 2 9y 2 1 12xy 4x 6y
11. x 2 y 2 4y 4
12. a 2 4a 4 ab 2b ax 2x
ESERCIZIO5] Scomponi in fattori i seguenti polinomi (trinomio particolare)
1. x 2 7x 30
2. a 2 4a 12
3. a 4 3a 3 10a 2
4. 3x 2 2x - 8
5. 4x 2 17x 15
6. 2x 2 - 9x - 5
ESERCIZIO6] Scomponi in fattori i seguenti polinomi (metodo di Ruffini)
1. x 3 4x 2 x 6
2. 2x 3 7x 2 7x 2
3. x 4 5x 3 5x 2 5x 6
ESERCIZIO7] Trova MCD e mcm fra i seguenti polinomi
1.
x 3 x 2 x 1;
2x 2 4x 2;
2.
x 3 6x 2 12x 8;
3.
4x 4 16x 3 16x 2 ;
x 2 2x 1
x 2 5x 6;
2x 5 32x;
x2 x 6
6x 3 a 10x 2 a 4xa
ESERCIZIO8] Rispondi motivando o riportando i passaggi
4
4
a.
Senza calcolare il numero, spiega perché 81 77 non è primo
b.
315 313
Calcola, senza usare la calcolatrice 12
3 96
c.
414 40 4
Calcola, senza usare la calcolatrice
412 40 2
R:
b. 12;
COMPITO
ESERCIZIO9 Determina quoziente e resto delle seguenti divisioni, applicando la regola generale o, se possibile,
quella di Ruffini:
1.
6x
3
2.
x
3 x 3 : x 1
3.
4x
5
12x 2 x 1 : 3x 2 1
3
Q 2x 4;
R x3
Q x 4 x 3 2x 2 2x 2; R 2
4 x 2 11x 4 : 2x 1
Q 2x 2 3 x 4; R 0
ESERCIZIO10] Scomponi in fattori
35a 2 bx 3 7ab 3 x 14a 3 x 2 y
15bx 3by 10ax 2ay
12b 3 - 27b
a 4 5a 2 4
25a 2 9x 2 30ax
9a 2 4b 2 20b 25
a 4 4a 2 9 4a 3 6a 2 12a
16a 2 8ax x 2 9
2a 3 b 2 - 12a 2 b 4 24ab 6 - 16b 8
x 5 2x 4 x 2
- 4a 3 b 6 28a 3 b 4 576a 3 b 2
c. 81
ESERCIZIO11] Trova MCD e mcm fra i seguenti polinomi
3 x 3 6 x 2 3 x;
x 3 x;
x4 1
3
2
2. 2x 3x 8x 3;
2x 2 3x 1;
1.
3.
2
11 x 2 25 x 2 25 ;
2x 2 5 x 3
3x 2 30x 75;
x 2 5ax 5x 25a
ESERCIZIO12 sul libro pag.452:59,67,68,69
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
Scheda n°6 Contenuti: Frazioni algebriche.
Contenuti minimi
Applicazioni
Frazioni algebriche
Determinazione delle CE, frazioni equivalenti,
semplificazione di frazioni
Semplificazione di espressioni
Operazioni con le frazioni algebriche
ESERCIZIO1] Completa
4x 3 4x 2 3x
x2
...
5x
...
3)
2x 3 2x 3
1)
x .... x ....
x ....
5x 1
...
2
x 2 x 5x 6
x2
...
4)
2
x3 x 9
2)
x .... x ....
x .... x ....
2
5)
x 3 x 3
x5
...
x .... x ....
ESERCIZIO2] Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo aver determinato le CE. Indica anche per quali valori
ciascuna frazione si annulla.
1.
4x 2 1
1 4x 4x 2
2.
6ax 4x 3a 2
3a 2 13a 10
3.
a 2 2a 1 ax x
a 2 2a 1 x 2
4.
a 3 8 6a 2 12a
a 3 a 2a 2 2
5.
a 4 5a 2 4
a2 a 2
ESERCIZIO3] Indica con a e b due numeri reali e scrivi l’espressione algebrica che corrisponde alla seguente frase
“dividere la somma dei reciproci dei due numeri per il quadrato della somma dei due numeri e moltiplicare il risultato
ottenuto per la somma dei cubi dei due numeri”. Determina il dominio (CE) dell’espressione e semplificala. Determina
il valore che assume l’espressione per a=-2 e b=-4.
CE : a 0,b 0, a b 0;
a 1
ESERCIZIO4] Considera le due espressioni a2 1 e
a 1
a.
b.
c.
sono equivalenti
hanno significato per gli stessi valori di a
sono una la frazione reciproca dell’altra
d.
a 1
hanno prodotto
a 1
a 2 ab b 2 3
;
ab
2
a 1
. Individua le affermazioni VERE e quelle FALSE:
a 1
a2 1
2
R:
ESERCIZIO5] Semplifica le seguenti espressioni. Ricordati di determinare le CR
3a 1 6a 2 1 a 2 1
1.
: 2
a 2
a 4 a 2
R:
2a
a2
F;
V (a1);
F;
V
2.
2a 3 3a 2 8a 12
16 a 4
9 12a 4a 2
:
:
5a 2 5
2a 3 3a 2 2a 3 a 2 3a 2
3.
x 2 6x 4 10x 3x 2 4 3x 2
8x
2
3
2
2 x x 2x 2 4x 8
x 4
x 4x 4
2
2
1 m-1
1 1
m +1
4. 2
2
: 2
m 2m 2 m m 2m 2 m m 4
R:
R:
2
R:
5.
2
x2
20x - 30
: x - 8 + 2
x
+
1
x
2
1 - x
x 3
x 2x 3
6.
x -1
1
3 2x
1
1
1
:
:
2
2x x 1 2x - 1 2x 1 x 3x 2 x - 1 2 x
a 1
52 - a
x-2
x2
1
m4
R :1
R:
2
4
a 2 3a 2 a 2 3a 2
4a
20
:
7. 2
2
2
a a 2 5 5a 3a
a 1 a a 2
2
R:
2x - 3
2
25
9a 2
2
2
1
1
1
1
10a
a 4
8. 2
2
2
2
: 2
2
a a 2 a a 6 a 4a 3 a 6a 9 a 9 a 5a 6
COMPITO
ESERCIZIO6] Completa
3x 1
...
x ....
5x
5x 2
3x
...
2)
x ....
x 5 2x 10
3x
...
3)
2
x .... x ....
x 1 x 1
1)
x2
...
3
x .... x ....
3
x
5x x 4
a3
...
5)
a .... a ....
aa 5 a5 a
4)
6)
x 10 10 x
3x 8
...
x ...
ESERCIZIO7] Semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo aver determinato le CR.
a 3 a 2 a 1 ab 3b a 2 9
a 3 4a 2 a 6
;
;
a 3 a 2 a 1 a 3 3a 2 a 3
a 2 4a 3
ESERCIZIO8] Semplifica le seguenti espressioni.
1.
49
1
1
a
: 2
1
2
49 14a a 14a + 70 a 2a 35 7
2.
4 + 2x
x
3
2
2
2
x 4 x 5x 6 3 x x 2
R:
R:
2
x-2
1
2
R :1
3.
2x
x 9 3x x 2
x
2
:
2
x + 1 3 3x 3x 3 1 x
R:
3
1
2 x 2 10x 25
x-5
4. 2
1
20x
x 5x 5 x 5
5.
x-3
3x
2
R:
16
5x x - 5
z+2
1 2z + 1
1
2
1
:
:
2
z 3z 4 z + 4 1 z z 3z 2 z z 1
R:
2
z
z-6
3
1+ y
y2 1
1
8y
3
6. 2
:
3
3
2
3y 1
8y
y 6y 9 9 y 3 y 3 y
5x 45
4x + 4
7. 2
2
x 8x 9 81 18x x
8.
3
y3
2
81 x 2
49 49x
2
2
9 x 18 7x x x 2
R:
R : x 16
1
2
1 1
x
1
1
2
a
2
1 2
ax 2a ax 2a x 4
x a a x a a
R:
2x
a 2 x
2
ESERCIZIO9] Semplifica
2 x 1 x 2 1 1
x2
2x 2 x 2
2
3
: x 1 x 2 2x 1 x 3 3x 2 3x 1
x
x
x
2
1
3
1
1 2
2x 2x 4
x
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
R:
x - 12 x 2
x 1
Scheda n°7 Contenuti: Equazioni numeriche intere e fratte di primo grado. Problemi
Contenuti minimi
Applicazioni
Equazioni e loro soluzioni
Principi di equivalenza
Equazioni numeriche intere e fratte di primo grado
Equazioni letterali intere e fratte di primo grado
Forme normali e verifica delle soluzioni
Determinazione delle soluzioni di una equazione
Determinazione della soluzione di una equazione letterale
e risoluzione di semplici equazioni parametriche
Risoluzione di problemi algebrici e geometrici con
equazioni di primo grado
Problemi con equazioni di primo grado
ESERCIZIO1 Trova per ciascuna equazione la sua forma normale, il grado e verifica che i valori a fianco indicati
sono soluzioni dell’equazione.
a.
x 12
b.
2x 12x 14 x 2 1 4 x 2 12
c.
x2x 12x 1
x3 1
4
1
5
1
x
2
xx 3
x
x 4
ESERCIZIO2 Risolvi in R le seguenti equazioni numeriche
a.
x 22 x 3 2 x 2 2x 12 6 x 13 x 2 3
b.
2x 1 2x 1 1 1 5 2x 1 2x 1 4
x
3 2 3 6 2
3 3
2
S R
c.
x 12 12 x 12
: 1
x
12
12 x
S R 0;12
d.
x 5
5 x 2
1
1
1 2 x 5
x 2 5 x x 2 5 x 5 x x 5 x
: 5x 1
x 2
1
1
1
x 1
1 x 4x 8
1
1
x 2 3x 2
1
1
x
x
5
x 4
1
e.
S
ESERCIZIO3
2
1. Trova per quali valori di a l’equazione a 1 x a 2a 3 nell’incognita x risulta:
a. Indeterminata
b. Impossibile
c. Determinata. In tal caso trova la soluzione
a.
a 1; b. per nessun valore di a; c. a 1, x a 3
2. Considera l’equazione k x 2 1 x nell’incognita x e determina per quale valore di k tale equazione:
a. Ammette come soluzione x=1
b. Ammette come soluzione x=2
c. È impossibile
a.
k 0; b. per nessun valore di k; c. k 1
2
k
0 nell’incognita x.
x 1 x
3. E’ data l’equazione fratta
a. Per quali valori di k l’equazione è impossibile?
b. Per quali valori di k la soluzione è x=3?
3
a. k 2, k 0; b. k 2
4. Ricava x in ciascuna delle seguenti espressioni:
a. x x 1 a x x 1
b.
c.
ax
a 1
x 1
2a
a 1
0
x2
x
1
2a 1
1
a. x 2 a; b. CE : x 1, x a 1; c. CE : x 2 x 0, x 3a 1 con a 3
1
k 2kx rispetto ad ogni lettera che vi compare.
2
k 4 x 1
se x 0; x k
se a 2k ; k 2ax se x 1
a
2x
2a 2k
4x 1
4
5. Risolvi l’equazione ax
ESERCIZIO4] Risolvi i seguenti problemi con equazioni di primo grado
1. Una rockstar nella sua tourneè annuale ha raccolto nei suoi ultimi 4 concerti 600.000 spettatori, raddoppiandoli a
ogni concerto. In quanti hanno assistito all’ultimo concerto?
2. L’età di una madre supera di 18 anni la somma delle età delle due figlie e l’età della figlia maggiore è i
5
dell’età
3
della sorella. Determina le loro età sapendo che fra due anni l’età della madre sarà il triplo di quella della figlia
maggiore.
3. Un segmento è diviso in due parti tali che
1
2
di una è uguale ai
dell’altra. Sapendo che l’intero segmento è lungo
4
7
cm 30, determinare le lunghezze delle due parti.
5
della base superano di 17 cm l’altezza; determina perimetro e area del rettangolo, sapendo
4
3
3
che la somma dei
della base con i
dell’altezza è 18 cm.
5
4
4. In un rettangolo i
5. Cinque amici, Aldo, Bruno, Carlo, Dario ed Enzo uniscono le loro forze in denaro per realizzare una gita domenicale:
Bruno dà i
2
5
di quello che ha dato Aldo, Carlo i
di quello che ha dato Bruno, Dario la metà di quello che hanno
3
4
dato Bruno e Carlo insieme, Enzo dà 11 euro. Alla fine si contano 50 euro: quanto ha dato ciascuno?
RISULTATI
1. 320.000
2. 34; 10; 6
3. 16 cm; 14 cm
4. 56 cm; 160 cm2
5. Aldo 12 euro, Bruno 8 euro, Carlo 10,00 euro, Dario 9,0 euro
COMPITO
ESERCIZIO5 Risolvi in R le seguenti equazioni
1.
3 2
2.
x
2
3
x
5
5
x 27
2
2
S R
2
x 2 x 2 1 x 1 2x 3
3
1 2 1
1
1
3
1
3. x x x x x x x
2
4
2
2
2
4
2
5
4 1 x 1 x 1 x
4.
3
1
1 3
1
1
4
2
2
6x 3
6x 1
x 2 2x
5.
2x 2 5x 3 x 2 4 x 3 x 3 2x 2 5 x 6
x 2
x
x 6
x 1
6.
5
1
20x 2 27
1
2
2
4
2
4x 4 x 1 4x 4 x 1 16 x 8x 1 1 4 x 2
x 1
7.
3 x 3x 2 2x 2
2x
x2
3x x 2
2
x 3 x 1
1 x
x 2 2x 1
x 0
8.
2
2
1
1
10 x 20
2x
2 3x
x
:
2
2 3x
4 4x x 2 9 x
3
x
S
ESERCIZIO6 sul libro di testo pag.648 n.41, 42
ESERCIZIO7
1. Considera l’espressione
k 2k 1
.
x
x 1
a. Per quali valori di x l’espressione non ha significato?
b. Ricava x
c. Ricava k
2. Considera la formula I
a.
b.
c.
d.
nV
.
R nr
Calcola I per n=2
Calcola I per R=r
Ricava n
Ricava R
ESERCIZIO8] Risolvi i seguenti problemi con equazioni di primo grado
1. Miscelando una soluzione A contenente il 60% di alcol e una soluzione B contenente il 10% di alcol, si vogliono
ottenere dieci litri di una soluzione C contenente il 43% di alcol. Quale quantità di ciascuna delle due miscele A e
B si devono utilizzare?
2. In una classe le ore complessive di italiano e di matematica sono 15 alla settimana. In un giorno di assenza
dell’insegnante di matematica, le sue due ore di lezione sono state condotte dall’insegnante di italiano e così la
classe quella settimana ha fatto un numero di ore di italiano quadruplo rispetto a quelle di matematica. Quante ore
di matematica e di italiano sono previste per quella classe alla settimana?
3. Determina la misura degli angoli di un triangolo sapendo che il primo è
5
del secondo e che il terzo angolo supera
4
di 15° la metà del secondo.
4. Aumentando il lato di un quadrato di 5 cm la sua area aumenta di 275 cm2 . Calcolare il lato del quadrato.
5. In una famiglia l’età del padre supera di 3 anni quella della madre e, fra 5 anni, sarà il triplo di quella del figlio.
Sapendo che tutti e tre insieme oggi hanno 108 anni, qual è l’età di ciascuno dei tre?
6. In un numero di due cifre la cifra delle unità supera di 5 quella delle decine. Scambiando le cifre, il numero che si
ottiene è
8
del numero iniziale. Qual è questo numero?
3
7. Il resto, il quoziente e il divisore di una divisione sono tre numeri consecutivi. Se si scambiano tra loro il quoziente
e il resto, il dividendo diminuisce di 6. Quali sono le due divisioni?
8. Nel magazzino di un negozio di articoli per bambini ci sono 35 fra tricicli e biciclette e si contano 89 ruote: quanti
sono i tricicli e quante le biciclette?
9. Se apro il rubinetto e chiudo lo scarico, la vasca da bagno vuota si riempie in 5 minuti; se poi chiudo il rubinetto e
apro lo scarico, la vasca da bagno si vuota in 4 minuti. Se apro il rubinetto e lo scarico, in quanto tempo si vuota la
vasca piena?
10. Ho 4 litri di acqua borica al 3%: per diluirla al 2% quanta acqua devo aggiungere?
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
Scheda n°8
Contenuti: scrittura in simboli; teoremi su rette parallele e perpendicolari;
definizione di simmetria assiale e sua applicazione su disegni.
Contenuti minimi
Applicazioni
Enti geometrici e loro costruzione
Scritture in simboli
Assiomi
Teoremi su rette parallele e rette perpendicolari
Teoremi su distanze e oblique
Definizione di simmetria assiale
Rappresentare graficamente situazioni geometriche
Tradurre scritture geometriche dal linguaggio verbale al
linguaggio simbolico e viceversa
Semplici dimostrazioni con l’utilizzo di questi teoremi
Costruzione grafica di figure simmetriche; individuazione
degli assi di simmetria di una figura
ESERCIZIO1] Completa la figura con le ulteriori costruzioni indicate e la tabella con il linguaggio mancante.
Costruisci l’asse s di EA che interseca il segmento in M; costruisci la bisettrice b dell’angolo DEA che interseca r in
F; costruisci il punto medio N di DC; prolunga ED dalla parte di E di un segmento EG congruente ad ED
Linguaggio verbale
Linguaggio simbolico
D appartiene alla retta a
I punti D, P, C sono allineati
DE // r
AB ed r si intersecano in un punto
s è asse di EA
Ss : E A
b è bisettrice dell’angolo DEA
EM MA M EA
DE è perpendicolare ad a
I segmenti AB ed ED non hanno punti in comune
ED ed EG sono adiacenti e congruenti
DC a
P appartiene a DC ma non è il suo punto medio
Le rette a ed r sono perpendicolari e si intersecano in P
Le rette DE e CB sono parallele e non coincidenti
N è punto medio di DC
ESERCIZIO2] Completa la tabella in relazione ai segmenti disegnati in figura, utilizzando i teoremi sulla distanza di un
punto da una retta e sulle oblique.
a) Completa:
Distanza di A da rBC:
…
;
Oblique da A su rBC:
…
;
Distanza di P da rAC:
…
;
Oblique da P su rAC:
…
;
b) Completa
affermazione
…
…
;
Distanza di P da rBA:
…
;
Distanza di B da rPD:
…
;
Oblique da B da rPD:
…
;
…
.
;
spiegazione
AC<AB
PA<AB
PA>PD
AB>PC
c) Disegna: la distanza di D da r; la distanza di D da rBC; la proiezione ortogonale di B su r; la proiezione ortogonale del
segmento PC su rBA.
ESERCIZIO3] Nell’esercizio seguente rappresenta la situazione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simboli,
dimostra le tesi. Completa inoltre dove richiesto.
Dato un triangolo isoscele ottusangolo ABC di base BC, traccia la bisettrice dell’angolo ABC (esiste ed è …………...
per …...…………………………………..…………………………….) che incontra AC in D. Da D traccia la perpendicolare
a BC (esiste ed è …………….. per ……………………………………………………..………) che incontra la base in E. Da
A traccia l’altezza AH e da B l’altezza BK (con HBC e KrAC). Infine da K traccia la parallela a DE (esiste ed è
…………….. per ……………………………………………..………) che interseca la base BC in F. Dimostra che:
a. AH e DE sono parallele
b. BD > DE
c. KF < BD
d. la retta KF è perpendicolare alla base del triangolo e parallela alla retta AH
Disegno
Ipotesi
Tesi
a.
b.
c.
d.
Dimostrazione
ESERCIZIO4] Esegui le simmetrie indicate (copia tre volte il disegno sul quaderno)
Disegna l’immagine di ABC in SCD
Disegna l’immagine di BCD in SAC
Disegna l’immagine di ABC in SBC
Trova l’immagine FGHIL di
ABCDE nella simmetria di asse r e
successivamente l’immagine
QRSTU di FGHIL nella simmetria
di asse a.
ESERCIZIO5] Individua gli assi di simmetria di alcuni segnali stradali
Segnali di divieto
Segnali di obbligo
Segnali di pericolo
Segnali di precedenza
COMPITO
ESERCIZIO6] Sia O un punto del prolungamento del segmento AB, del quale M è punto medio. Dimostra che
OM
OA OB
2
ESERCIZIO7] Nell’esercizio seguente rappresenta la situazione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simboli,
dimostra le tesi. Completa inoltre dove richiesto.
Nel piano siano dati una retta r e un punto P che non le appartiene (esiste perché ……………………………………….).
Da P traccia una retta s perpendicolare ad r (esiste ed è …………….. per ………………………………………..………)
che la interseca in H. Preso un punto Q di r diverso da H (esiste per ………………………………………………………),
traccia la retta per P e Q (esiste ed è ……………… per …………………………………………). Sia M il punto medio di
QH (esiste ed è …………………… per …………………………………..………………………..), K la proiezione di H su
PQ. Traccia infine da P la retta a parallela ad r (esiste ed è ……………. per ……………………….………………………)
e da Q la retta b perpendicolare ad r. Dimostra che:
a. PH<PQ e HQ<PQ
b. PQ<PH+QH
c. KH<PM<PQ
d. a è perpendicolare a s
e. s è parallela a b
f. a e b sono perpendicolari e incidenti
ESERCIZIO8] Fra tutte le lettere in stampatello maiuscole dell’alfabeto individua quelle che hanno un asse di
simmetria.
ESERCIZIO9] Esegui le simmetrie indicate e rispondi alle domande
a. Disegna l’immagine EFGH di ABCD in Sr
b. Disegna l’immagine ILMN di ABCD in Sa
c. Indica quali parti della figura ottenuta nella Sr confermano
che (fornisci, se possibile, un esempio per ogni richiesta)
1. si conserva il parallelismo fra rette
2. rette parallele all’asse si trasformano in parallele
all’asse
3. rette corrispondenti si incontrano sull’asse
4. rette perpendicolari all’asse sono unite
d. Ripeti l’esercizio al punto c in riferimento alla figura
ottenuta nella Sa.
NOTA BENE Per la prossima volta ripassa i contenuti della prossima scheda
Scheda n°9
Contenuti: Applicazioni della simmetria assiale
Contenuti minimi
Applicazioni
Proprietà della simmetria assiale
Dimostrazioni con l’utilizzo della simmetria assiale e delle
Proprietà caratteristiche dell’asse di un segmento e della proprietà relative
bisettrice di un angolo
Negli esercizi che seguono rappresenta la situazione con un disegno scrivi tutte le ipotesi e le tesi in simboli, dimostra
le tesi. Completa inoltre dove richiesto.
Le correzione di tutti gli esercizi dal numero 1 al numero 8 sono presenti nel file delle correzioni/soluzioni.
ESERCIZIO1] Traccia gli assi di due segmenti AB e BC, consecutivi ma non adiacenti. Dimostra che i punti A, B, C
sono equidistanti dal punto di incontro O degli assi dei due segmenti. (Il punto O esiste per …………………..…)
ESERCIZIO2] Traccia gli assi s e r di due segmenti AB e BC, consecutivi ma non adiacenti. Indica con M il punto medio
di BC e con O il punto d’incontro degli assi. Traccia la bisettrice dell’angolo sÔr indica con P il punto di intersezione
fra la bisettrice e la retta BC. Da P traccia la parallela ad AB che incontra s in N. Dimostra che i segmenti PN e PM sono
congruenti come pure gli angoli PM̂N e PN̂M .
ESERCIZIO3] Dato il segmento AB sia r il suo asse e O un punto dell’asse. Considera una retta r’ perpendicolare ad r
non passante per O che interseca la retta OA in A’ e la retta OB in B’. Dimostra che r è asse di A’B’
ESERCIZIO4] Dimostra che se il quadrilatero ABCD ha la diagonale AC bisettrice degli angoli in A e in C, allora le sue
diagonali sono perpendicolari.
ESERCIZIO5] Traccia la bisettrice OC dell’angolo convesso AOB e da un suo punto P traccia la perpendicolare ad
OP che incontra la retta rOA in M e la retta rOB in N. Dimostra che NOM è isoscele.
ESERCIZIO6] Nel triangolo isoscele ABC sia r l’asse della base BC che interseca BC nel punto H. Considera un punto
P di r interno al triangolo e siano C’ e B’ rispettivamente i punti di intersezione fra la retta CP e AB, e la retta BP e AC.
Dimostra che:
a.
b.
c.
d.
Gli angoli AB̂C e AĈB sono congruenti
A appartiene ad r;
BC’ CB’;
C’B’ è parallelo a BC.
ESERCIZIO7] Sia ABC un triangolo rettangolo in A e AD l’altezza relativa all’ipotenusa BC. Costruisci i punti E ed F
simmetrici di D rispetto ad AB e ad AC. Dimostra che DF è perpendicolare a DE e che AF AE.
ESERCIZIO8] Sia ABCD un trapezio rettangolo di base maggiore AB perpendicolare a BC. Sia r l’asse di AB che
interseca AB in M. Costruisci il simmetrico A’B’C’D’ di ABCD nella simmetria assiale di asse AD e indica con M’ il
trasformato di M. Considera un punto P sul prolungamento di AD dalla parte di A e il punto E comune a r e alla retta
AD. Dimostra che:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
La retta r è perpendicolare alla retta DC
A’B’ e B’C’ sono perpendicolari
PB e PB’ sono congruenti
I segmenti A’B’ e D’C’ sono paralleli
Le rette BB’ e CC’ sono parallele
Il triangolo EAB è isoscele di base ………………………….
come pure EAB’
g. EM<EA
h. Il punto E appartiene all’asse di A’B’
i. rAD è bisettrice dell’angolo MEM’
j. il punto di intersezione fra le rette BC e B’C’ appartiene alla
retta rAD
k. Il triangolo MAM’ è isoscele e MM’ è perpendicolare ad rAD
l. D è equidistante da AB e AB’
Indicato con H il punto di intersezione fra MM’ e la retta AD, dimostra che:
m. AE>MH e deduci che il perimetro di ABE è maggiore del perimetro di AMM’
ESERCIZIO9] (senza correzione) Sia ABC un triangolo isoscele di base AC. Traccia da A le rette r e x rispettivamente
perpendicolari a BC e ad AB; traccia da C le rette s e y rispettivamente perpendicolari a AB e ad BC. Indica con F il
punto di intersezione fra s e AB, con G il punto di intersezione fra r e BC e con D il punto di intersezione fra x e y.
Dimostra che:
a. i lati del quadrilatero AECD sono parallele a due a due, dove E=rs;
b. BF e BG sono congruenti;
c. I triangoli AGC e AFC sono congruenti;
d. La retta ED è asse di AC;
e. AEC e ADC sono triangoli isosceli;
f. BAG BCE ;
g. AC>AD e AC>AG; è possibile confrontare AD e AG?
