P(B)

Università degli Studi del Piemonte Orientale
Corso di Laurea in Infermieristica
Corso integrato in Scienze della Prevenzione e dei Servizi sanitari
Statistica
Lezione 3
a.a 2011-2012
Dott.ssa Daniela Ferrante
[email protected]
La probabilità
• Si definisce probabilità di un dato evento A la frequenza relativa
con cui l’evento si verifica
P(A) = numero di successi / numero totale di prove
Il valore della probabilità è compreso tra 0 ed 1:
Se P(A)=0
A è un evento impossibile
Se P(A)=1
A è un evento certo
0 <= P(A) <= 1
2
Esempi
Qual è la probabilità che una carta da gioco estratta a
caso da un mazzo di 52 sia un asso?
4
P(asso) = = 0,08
52
Qual è la probabilità che una carta da gioco estratta a
caso da un mazzo di 52 sia una figura?
12
P ( figura ) =
= 0,23
52
3
Operazioni sugli eventi
• Dato l’evento A, l’evento corrispondente al non
verificarsi di A viene definito evento complementare
NON A
A
P ( A) = 1 − P ( A)
4
Operazioni sugli eventi
• Dati due eventi, possiamo essere interessati al
verificarsi di entrambi. In questo caso si parla di
intersezione tra eventi
A
(A ∩ B)
B
P( A ∩ B )
5
Operazioni sugli eventi
• Dati due eventi, possiamo essere interessati al
verificarsi di uno qualsiasi dei due. In questo caso si
parla di unione di eventi
(A ∪ B)
P( A ∪ B )
6
Operazioni sugli eventi
• Se due eventi non sono mutuamente esclusivi allora:
A
B
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )
7
Operazioni sugli eventi
• Due
eventi
che
contemporaneamente
esclusivi o disgiunti
non
sono
possono
verificarsi
definiti
mutuamente
A
B
P(A ∩ B ) = 0
P ( A ∪ B ) = P ( A ) + P (B ) − P ( A ∩ B )
8
Esempi
Qual è la probabilità di avere testa o croce ad un lancio di
moneta?
P(testa o croce) = P(Testa) + P(Croce) = 0,5 + 0,5 = 1
Qual è la probabilità di avere un numero <=3 o un pari ad un
lancio di dado è:
P (<=3 o pari) = P (<=3) + P (pari) –P(<=3 e pari)=3/6 + 3/6 – 1/6=5/6=0,83
9
Esempi
Un frigo di un bar contiene 12 coni alla panna, 6 ghiaccioli e
18 biscotti maxibon. Se il barista estrae, a caso, un prodotto
dal frigo calcolate la probabilità che esso sia un biscotto
maxibon oppure un ghiacciolo
Eventi mutuamente esclusivi p(A o B)= p(A) + p(B)
P(maxibon)= n maxibon /n. (gelati + ghiacciolo) = 18/36 = 0,5
P(ghiacciolo)= n ghiaccioli / n. (gelati +ghiaccioli) = 6 /36 = 0,167
P(maxibon o ghiacciolo)= p(maxibon) + p(ghiacciolo) = 0.5 + 0,167
= 0,667
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Probabilità condizionale
• Se siamo interessati a determinare la probabilità che si verifichi
un dato evento B dato che conosciamo il risultato di un
determinato evento A per valutare se il verificarsi di A modifichi
la probabilità di B allora parliamo di probabilità condizionale
P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)
se P(A)≠0
oppure:
P(A ∩ B) = P(B) P(A|B)
P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)
se P(B)≠0
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Probabilità condizionale
• Se il verificarsi di un evento non ha alcuna influenza sul
verificarsi di un altro evento si dice che i due eventi sono
indipendenti.
P(B/A) = P(B) o P(A/B)=P(A)
Allora:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
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Esempi
1. Lancio un dado e una moneta. Qual è la probabilità di
ottenere 3 e testa?
P(dado=3 ∩ testa) = P(dado=3) * P(testa) =
1/6 * 1/2 = 1/12=0,08
2.
Se
in
una
popolazione
P(maschio)=0,52,
P(daltonico)=0,05 e P(D/M)=0,08; qual è la probabilità di
scegliere casualmente un soggetto di sesso maschile e
daltonico?
P(M ∩ D)= P(M) * P(D/M) = 0,52*0,08 = 0,042
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3. Un’urna contiene 16 palline rosse, 44 bianche e 30 verdi.
Calcolate la probabilità di estrarre a caso una pallina rossa.
Calcolate la probabilità di estrarre a caso una pallina rossa
dall’urna precedente e contemporaneamente ottenere un
numero pari dal lancio di un dado a sei facce numerate da 1 a
6.
P(A) = n eventi A / totale eventi possibili
P(rossa) = 16 / 90 = 0,18
Probabilità di ottenere un numero pari nel lancio di un dado a
6 facce.
P(n pari)= 3/6 = 0,5
I due eventi sono indipendenti, quindi applico la formula:
P(A ∩ B) = P(A) P(B)
P(n pari ∩ pallina rossa) = P(n pari) * P(pallina rossa)
14
P(n pari ∩ pallina rossa) = 0,18 * 0,5 = 0,09