CAPITOLO 12 “GONIOMETRIA”

Prof. TORTORELLI Leonardo
Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani
CAPITOLO 12
“GONIOMETRIA”
12.1 - Misura degli Angoli e degli Archi
12.01.a) Unità di Misura degli Angoli o degli Archi
Dato un angolo, è possibile scegliere come unità di misura un ulteriore
(ovviamente) angolo definito in uno dei seguenti modi:
 Grado
È definito come la Novantesima parte dell’Angolo Retto.
Si indica con α°, la Misura dell’Angolo in Gradi).
N.B. Per il calcolo in Gradi, impostare la calcolatrice su “DEG”.
 Radiante
Data una Circonferenza qualunque, definiamo
Radiante l’Angolo al Centro tale che l’Arco Sotteso
sulla Circonferenza abbia una lunghezza l pari al
raggio (r). Si indica con ρ, la Misura dell’Angolo in
Radianti.
N.B. Per il calcolo in Radianti, impostare la calcolatrice su “RAD”.
12.01.b) Definizione (Misura in Radianti di un Angolo)
ˆ (detta Misura Circolare
La Misura in Radianti ρ di un Angolo AOB
dell’Arco) è pari al rapporto tra la Lunghezza dell’Arco e quella del Raggio r.

l
r
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12.01.c) Osservazione
Per la proporzionalità esistente tra Archi e Angoli al Centro Corrispondenti in
una stessa Circonferenza di Raggio r, è valida la seguente proporzione:
l : 2 r    : 360
Da tale relazione è possibile ricavare sia l che α° come segue:
  r 
l
180
 
180  l
 r
12.01.d) Formula di Trasformazione (“Passerella Deg=>Rad”)


180

Dimostrazione
Per [§12.01(c)] si ha: l : 2 r    : 360



l
1 l
1



 
  Def. § 12.01(b) 
 

2 r 360
2 r 360
2
360


360 180°

1 2
1


360 180°

1 2
1


180

12.01.e) Formula di Trasformazione (“Passerella Radianti-Gradi”)
 

 180

Dimostrazione
Per [§12.01(c)] si ha: l : 2 r    : 360

360  l 360 180° l
180
  

   Def. § 12.01(b) 
    180
1


2 r
2  r
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12.01.f) Esempi di Conversioni Notevoli
Si riportano in questo paragrafo le misure in Gradi e Radianti di alcuni Archi
tra i più frequenti nelle applicazioni. Alcune conversioni saranno dimostrate a
titolo di esempio, le altre sono lasciate al lettore come esercizio.
Misura dell’Angolo
in Gradi (α°)
0°
30°
45°
60°
90°
120°
150°
Misura dell’Angolo
in Radianti (ρ°)
0
6

6

4

3

2
2

3
5

6
180°

270°
3

2
360°
2
6
6
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 Esempi di conversione Gradi-Radianti:
 (120)  §12.01(d) con:  °=120° 
 (150)  §12.01(d) con:  °=150° 
2
3
5
6
120
2
  
3
180
150
5
  
6
180
Conversione di 30' Sessagesimali in Decimi di Grado:

 (1030')  [§12.01(d)] 
  
10  30'
 30':60'  x :10  x 
180
 5 decimi di Grado 


60'


10,5
105 21 7
7
 
 

360 120
180
120
1800
 Esempio di conversione Radianti-Gradi:
3 


     §12.01(e) con:  °=120° 
2
2
120
2




3
3
180
12.01.g) Indipendenza della Misura in Radianti dalla Circonferenza
La Misura in Radianti di un Angolo è
indipendente dalla Circonferenza.
Dimostrazione
Si considerino le Circonferenze in figura
(O; r1 ) e (O; r2 ) (cfr. figura) con r1  r2 .
Risulta banalmente che:
 A OB
ˆ  [§12.01(d)] 
1
1

180
   [§12.01(d)]   A OB
ˆ
2
2
ˆ o A OB
ˆ
Se ne deduce che la Misura in Radianti di A1OB
1
2
2 è indipendente
dai Raggi r1 ed r2 delle due Circonferenze considerate e pertanto anche dalle
relative Circonferenze  (O; r1 ) e  (O; r2 ) .
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