Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani CAPITOLO 12 “GONIOMETRIA” 12.1 - Misura degli Angoli e degli Archi 12.01.a) Unità di Misura degli Angoli o degli Archi Dato un angolo, è possibile scegliere come unità di misura un ulteriore (ovviamente) angolo definito in uno dei seguenti modi: Grado È definito come la Novantesima parte dell’Angolo Retto. Si indica con α°, la Misura dell’Angolo in Gradi). N.B. Per il calcolo in Gradi, impostare la calcolatrice su “DEG”. Radiante Data una Circonferenza qualunque, definiamo Radiante l’Angolo al Centro tale che l’Arco Sotteso sulla Circonferenza abbia una lunghezza l pari al raggio (r). Si indica con ρ, la Misura dell’Angolo in Radianti. N.B. Per il calcolo in Radianti, impostare la calcolatrice su “RAD”. 12.01.b) Definizione (Misura in Radianti di un Angolo) ˆ (detta Misura Circolare La Misura in Radianti ρ di un Angolo AOB dell’Arco) è pari al rapporto tra la Lunghezza dell’Arco e quella del Raggio r. l r 4 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani 12.01.c) Osservazione Per la proporzionalità esistente tra Archi e Angoli al Centro Corrispondenti in una stessa Circonferenza di Raggio r, è valida la seguente proporzione: l : 2 r : 360 Da tale relazione è possibile ricavare sia l che α° come segue: r l 180 180 l r 12.01.d) Formula di Trasformazione (“Passerella Deg=>Rad”) 180 Dimostrazione Per [§12.01(c)] si ha: l : 2 r : 360 l 1 l 1 Def. § 12.01(b) 2 r 360 2 r 360 2 360 360 180° 1 2 1 360 180° 1 2 1 180 12.01.e) Formula di Trasformazione (“Passerella Radianti-Gradi”) 180 Dimostrazione Per [§12.01(c)] si ha: l : 2 r : 360 360 l 360 180° l 180 Def. § 12.01(b) 180 1 2 r 2 r 5 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani 12.01.f) Esempi di Conversioni Notevoli Si riportano in questo paragrafo le misure in Gradi e Radianti di alcuni Archi tra i più frequenti nelle applicazioni. Alcune conversioni saranno dimostrate a titolo di esempio, le altre sono lasciate al lettore come esercizio. Misura dell’Angolo in Gradi (α°) 0° 30° 45° 60° 90° 120° 150° Misura dell’Angolo in Radianti (ρ°) 0 6 6 4 3 2 2 3 5 6 180° 270° 3 2 360° 2 6 6 6 Prof. TORTORELLI Leonardo Sperimentazione Tortorelli per la Matematica del Triennio nei Nuovi Licei Scientifici Italiani Esempi di conversione Gradi-Radianti: (120) §12.01(d) con: °=120° (150) §12.01(d) con: °=150° 2 3 5 6 120 2 3 180 150 5 6 180 Conversione di 30' Sessagesimali in Decimi di Grado: (1030') [§12.01(d)] 10 30' 30':60' x :10 x 180 5 decimi di Grado 60' 10,5 105 21 7 7 360 120 180 120 1800 Esempio di conversione Radianti-Gradi: 3 §12.01(e) con: °=120° 2 2 120 2 3 3 180 12.01.g) Indipendenza della Misura in Radianti dalla Circonferenza La Misura in Radianti di un Angolo è indipendente dalla Circonferenza. Dimostrazione Si considerino le Circonferenze in figura (O; r1 ) e (O; r2 ) (cfr. figura) con r1 r2 . Risulta banalmente che: A OB ˆ [§12.01(d)] 1 1 180 [§12.01(d)] A OB ˆ 2 2 ˆ o A OB ˆ Se ne deduce che la Misura in Radianti di A1OB 1 2 2 è indipendente dai Raggi r1 ed r2 delle due Circonferenze considerate e pertanto anche dalle relative Circonferenze (O; r1 ) e (O; r2 ) . 7