Equazioni di Maxwell

Nome file d:\scuola\corsi\corso fisica\equazioni di maxwell\equazioni di maxwell.doc
Elaborato il 23/05/2002 alle ore 10.26 ,
salvato il 23/05/02 17.15
Creato il 15/05/2002 8.00
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stampato il 23/05/2002 10.26
Andrea Zucchini
Web: http://digilander.iol.it/profzucchini
Equazioni di Maxwell
Quadro iniziale
Teorema di Gauss per E
Circuitazione del campo conservativo E
Γ E =0
1
Φ S E = ∑ qk
ε0 k
()
()
Teorema di Gauss per B
ΦS B = 0
Teorema di Ampere
Γ B = µ 0 ∑ ik
()
()
k
Affinché in una circuito circoli corrente dovremo avere all’interno
E
del conduttore la presenza di un campo elettrico .
Considero una spira immersa in un campo magnetico variabile. La
variazione di campo magnetico comporta la variazione di flusso
concatenato e quindi l’insorgere del campo elettrico E indotto a cui è
F indotto
.
associata una forza elettrica indotta E indotto =
q
La f.e.m. è il lavoro per unità di carica compiuto dalle forze agenti
sulle cariche; nel nostro caso la forza è di tipo non elettrostatico.
f .e.m. =
W
q
F
∫ indotto ⋅ dl da cui
Il calcolo di W sarà W = ∫ F indotto ⋅ dl da cui f .e.m. =
q
F indotto
f .e.m. = ∫
⋅dl e infine
q
f .e.m. = ∫ E indotto ⋅ dl = Γ E
()
dΦ S B
si deduce
Dalla legge di Faraday-Neumann f .e.m. = −
dt
dΦ S B
Γ E =−
dt
()
()
()
che andrà a far parte delle equazioni del campo elettromagnetico (o di Maxwell)
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Set di equazioni quasi “complete”
Le equazioni che possono essere assunte alla base dell’elettrostatica e di una parte dell’elettrodinamica sono qui
riassunte
Legge di Faraday-Neumann
dΦ S B
Γ E =−
dt
()
()
Teorema di Ampere
Γ B = µ 0 ∑ ik
()
k
Teorema di Gauss per E
1
Φ S E = ∑ qk
ε0 k
()
B
Teorema di Gauss per
ΦS B = 0
()
Le equazioni presentano alcune evidenti asimmetrie:
sappiamo già che cariche magnetiche non sono ancora
state trovate e quindi il Teorema di Gauss per B ci
porta ad un flusso nullo, ma per simmetria è
ipotizzabile che così come la variazione nel tempo di
flusso concatenato del campo magnetico genera
Γ E ≠ 0 , così la variazione nel tempo di flusso
()
concatenato del campo elettrico generi campo
magnetico
dΦ S E
≠0⇒Γ B ≠0
dt
()
()
, anche in assenza di correnti; ora questa considerazione per
quanto dedotta solamente per valutazioni di tipo quasi estetico
trova corrispondenza con la realtà !
Il termine trovato è detto “corrente di spostamento” e si
determina valutando quanto accade sui piatti di un condensatore
a cui è applicata una tensione alternata.
Osserviamo innanzi tutto che la circuitazione del campo
magnetico attorno ad un filo che carica il condensatore ha una
discontinuità sui piatti: quando il filo è concatenato alla linea
d’integrazione Γ B ≠ 0 mentre quando calcolo la circuitazione
()
fra le due armature la linea non concatena nulla e quindi
Γ B = 0 . E’ possibile una così forte discontinuità ? risposta:
()
NO !
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Durante la carica del condensatore la carica sui piatti aumenta e questo porta ad un aumento del flusso del
campo elettrico calcolato su una superficie contenente p.es. un piatto del condensatore.
Si ha
∆Φ S E = S∆E
()
dato che nell’intorno di un condensatore il campo elettrico è presente solo fra i piatti ma per il teorema di
Gauss si ha
1
∆Φ S E = S∆E = ∆q
ε0
()
da cui dividendo per ∆t si ha
S
e quindi tornando alla precedente si ha
∆E 1 ∆q 1
=
= i
∆t ε 0 ∆t ε 0
∆Φ S E
ε0
=i spostameto
∆t
()
Set di equazioni di Maxwell
Tenendo conto della corrente di spostamento il set di equazioni si trasforma nel seguente:
Legge di Faraday-Neumann
Teorema di Gauss per E
dΦ S B
1
Φ S E = ∑ qk
Γ E =−
ε0 k
dt
()
()
()
Teorema di Ampere



dΦ S E 

Γ B = µ 0  ∑ ik + ε 0
dt
 ,
k

 correnti reali corrente di spostamento 
()
()
Teorema di Gauss per B
ΦS B = 0
()
Il set di equazioni di Maxwell descrive il legame fisico-funzionale fra campi elettrici e magnetici e unifica il
tutto nell’unica entità chiamata “campo elettromagnetico”.
Questa è stata la prima grande unificazione delle forze fondamentali della Natura a cui tutti i fisici sperano
sempre di farne seguire altre.
Fra le tante “qualità” esse prevedono la possibile esistenza delle onde elettromagnetiche !
Dalle equazioni di Maxwell si ricava che i campi elettrico e magnetico possono soddisfare all’equazione delle
onde
∂2E 1 ∂2E
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
∂2B 1 ∂2B
=
∂x 2 c 2 ∂t 2
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dove come velocità si è assunta la velocità della luce c = 3× 108
m
, grandezza correlata alla costante dielettrica
s
del vuoto ε 0 e alla permeabilità magnetica µ 0 dlala relazione c =
Avremo
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E = E ( x − ct )
1
m
≈ 3 × 108
s
ε 0 µ0
B = B( x − ct )
e i campi elettrico e magnetico, o meglio il campo elettromagnetico si propagherà nello spazio, anche nel vuoto.
Le onde elettromagnetiche esistono anche in assenza di cariche statiche e in movimenti, ovvero in assenza di
correnti.
Osserviamo che le equazioni di Maxwell, nell’ipotesi
∑q
k
k
=0 e
∑i
k
= 0 , acquistano una forte simmetria
k
Legge di Faraday-Neumann
dΦ S B
Γ E =−
dt
Teorema di Gauss per E
ΦS E = 0
Teorema di Ampere
dΦ S E
Γ B = µ 0ε 0
dt
Teorema di Gauss per B
ΦS B = 0
()
()
()
()
()
()
Se in un punto dello spazio varia il campo elettrico, il teorema di Ampere implica la creazione di campo
magnetico che sarà perpendicolare alla direzione del campo elettrico.
Successivamente la variazione di campo magnetico indotto provoca una variazione di flusso Φ S B e
()
conseguentemente la creazione di campo elettrico perpendicolare al campo magnetico.
Questo processo in cascata genera campi elettrici e magnetici a partire dal set di equazioni di Maxwell
precedentmente semplificato, ma implica la possibilità che le onde elettromagnetiche si propaghino a velocità
c ≈ 3×10 8
m
.
s
Va notato che le relazioni che legano la velocità della luce a permeabilità e costante dielettrica del vuoto
implicano che le equazioni di Maxwell del campo elettromagnetico contengono al loro interno tale velocità e in
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conseguenza di questo le equazioni di Maxwell si “modificano” al variare del sistema rispetto a cui vengono
scritte secondo le trasformazioni di Galileo dato che le velocità della luce e dei sistemi di riferimento rispetto ai
quali si rappresentano si compongono sommandosi o sottraendosi.
1 dΦ S E
ΓB = 2
c
dt
()
()
D’altra parte una evidenza sperimentale è la costanza del valore della velocità della luce in qualsiasi sistema di
riferimento inerziale.
Il problema fu: sono sbagliate le trasformazioni di Galileo o sono sbagliate le equazioni di Maxwell ?
La risposta fu trovata da Einstein il quale analizzò la relatività dei sistemi di riferimento inerziali è ricavò le
nuove equazioni di trasformazione formulando la teoria della relatività ristretta.
 x′ = x − vt
 y′ = y

Trasformazioni di Galileo 
 z′ = z
t ′ = t
x − vt
 ′
x =
v2

1− 2

c
 y′ = y

Trasformazioni di Lorentz  z ′ = z

v

t− 2 x
t ′ =
c

v2

1− 2

c
In realtà quando Einstein formulo la teoria della relatività ristretta le trasformazioni di Lorentz erano già note
ma non avevano una motivazione fisica; erano semplicemente “le trasformazioni rispetto alle quali le equazioni
di Maxwell sono invarianti”.
Einstein motiva fisicamente le trasformazioni definendo una teoria completa che comporta anche molte
conseguenze cinematico-dinamiche che troveranno una completa verifica sperimentale.
Va anche sottolineato come le trasformazioni di Galileo corrispondano alle trasformazioni di Lorentz per basse
x − vt
 ′
= x − vt
 x = lim
v
2
→0
v
c

1− 2

c
 y′ = y

velocità, infatti  z ′ = z

v

t− 2 x
t ′ = lim
c
=t
v

2
→0
v
c

1− 2

c
5/5