Campi Elettromagnetici

40
Capitolo 7
Linee di trasmissione
7.1
Introduzione
Una linea di trasmissione è costituita da una coppia di conduttori rettilinei immersi in un dielttrico. Nel caso in
cui il conduttore sia perfetto e il dielettrico ideale, allora si dice che la linea di trasmissione è ideale. In generale le
linee di trasmissione connettono un generatore ad un carico. Si può dimostrare che il segnale del generatore si propaga
lungo la linea come un campo elettromagnetico di tipo TEM, con i vettori Ē e H̄ ortogonali tra loro e ortogonali alla
direzione di propagazione.
Quando il conduttore è perfetto, il campo Ē è sempre perpendicolare alle superfici dei conduttori mentre H̄
è sempre tangente. Dall’equazione di continuità appare una corrente superficiale J¯s , che scorre lungo la direzione
di propagazione. La corrente totale i che scorre lungo il conduttore è data dal flusso di J¯s attraverso una superficie
perpendicolare alla direzione di propagazione. Non essendo presente alcun accumulo di cariche, sul secondo conduttore
scorrerà una corrente −i.
Una linea è detta uniforme se la sua sezione non cambia lungo la linea.
Alcuni esempi di linee sono i cavi coassiali (Fig. 7.1) e le microstrisce (Fig. 7.2). Un cavo coassiale è costituito
da due conduttori cilindrici concentrici tra cui viene posto un dielettrico. Se si ipotizza il conduttore come perfetto e
il dielettrico come ideale, allora il cavo coassiale è una linea ideale. Una linea bifilare è costituita da due conduttori
uniformi cilindrici, ed è impiegata nella telefonia.
Figura 7.1: Cavo coassiale
Figura 7.2: Microstriscia
Si considera una sezione di una generica linea di trasmissione, e un circuito ABCD ad una certa quota z tale che
A e D sono due punti sul primo conduttore e B e C due punti sul secondo conduttore (Fig. 7.3). Si può applicare alla
linea chiusa ABCD le equazioni di Maxwell, in particolare quella relativa alla circuitazione del campo elettrico (2.3).
Essendo tuttavia il campo H̄ nullo lungo z l’equazione diventa:
I
Ē ◦ d¯l = 0
ABCD
Nei tratti BC e DA della linea che giacciono sui conduttori si ha che le quantità d¯l e Ē sono perpendicolari tra loro,
quindi il contributo lungo questi tratti è nullo. L’integrale si riduce a:
Z D
Z B
Ē ◦ d¯l +
Ē ◦ d¯l = 0
A
C
41
42
CAPITOLO 7. LINEE DI TRASMISSIONE
Figura 7.3: Circuitazione del campo elettrico
quindi, invertendo gli estremi di integrazione del secondo termine si ha:
Z B
Z C
Ē ◦ d¯l =
Ē ◦ d¯l = V (z, t)
A
D
La quantità V (z, t) è la tensione presente tra il punto A e il punto B, che risulta uguale e contraria a quella tra il
punto C e il punto D. In generale la tensione dipende dalla posizione z e dal tempo.
Figura 7.4: Circuitazione del campo magnetico
Sia l una linea chiusa che circonda un solo conduttore (Fig. 7.4). La circuitazione di H̄ attraverso l è, in base
all’equazione di Maxwell (2.4)
I
Z
∂
H̄ ◦ d¯l = i(z, t) +
D̄ ◦ n̂dS
∂t S
l
La circuitazione è pari al flusso della densità di corrente attraverso S che è uguale a i. Inoltre, il campo E giace nel
piano trasversale e il flusso attraverso S è nullo.
Figura 7.5: Circuitazione del campo elettrico
Si calcola ora la circuitazione di Ē su una linea EFGH tale che E è un punto sul primo conduttore ad una quota
z + ∆z, F è un punto sul secondo conduttore alla stessa quota. I punti G e H sono sui due conduttori alla quota z
(Fig. 7.5). Sia S la superficie il cui contorno è la linea EFGH, quindi
I
Z
∂
¯
B̄ ◦ n̂dS
Ē ◦ dl = −
∂t S
EF GH
Nei tratti FG e HE si ha circuitazione nulla poiché d¯l è parallelo al conduttore, mentre il campo Ē è perpendicolare,
quindi si ha:
Z F
Z H
Z
∂
Ē ◦ d¯l +
Ē ◦ d¯l = −
B̄ ◦ n̂dS
∂t S
E
G
7.1. INTRODUZIONE
43
Il primo integrale sulla parte sinistra dell’equazione costituisce la tensione V alla quota z + ∆z, ovvero V (z + ∆z, t),
mentre il secondo integrale rappresenta la tensione alla quota z, ovvero V (z, t), quindi si ha:
Z
∂
V (z + ∆z, t) − V (z, t) = −
B̄ ◦ n̂dS
∂t S
Si definisce il flusso concatenato per unità di lunghezza la quantità
R
B̄ ◦ n̂dS
Ψ(z, t) , S
∆z
Si può dividere ambo i membri per ∆z e considerare il limite per ∆z → 0, ottenendo
∂V (z, t)
∂Ψ(z, t)
=−
∂z
∂t
(7.1)
Si definisce induttanza per unità di lunghezza, indicata con L∗ la quantità
Ψ = L∗ i
Ψ
L∗ =
i
(7.2)
(7.3)
Nelle linee di trasmissione questa induttanza è distribuita lungo tutta la linea. Sostituendo si ottiene
∂V (z, t)
∂i(z, t)
= −L∗
∂z
∂t
(7.4)
Si considera un conduttore e una cilindro che lo circonda a base circolare di lunghezza ∆z (Fig. 7.6). Si considera
l’equazione di continuità in forma locale 2.17 e la si integra sul volume V totale racchiuso dal cilindro:
Z
Z
∂
¯
ρE dV
(∇ ◦ Je )dV = −
∂t V
V
Figura 7.6: Applicazione della legge di conservazione della carica
Per il teorema della divergenza, l’integrale di volume a primo membro è pari al flusso del campo sulla superficie
chiusa che racchiude V. Questa superficie chiusa è costituita da una superficie laterale e due superfici di base.
Z
I
Z
Z
Z
¯
¯
¯
¯
(∇ ◦ Je )dV =
Je ◦ n̂dS =
Je ◦ n̂dS +
Je ◦ n̂dS +
J¯e ◦ n̂dS
V
S
S1
S2
Sl
L’integrale relativo alla base S1 è pari alla corrente i(z, t) cambiata di segno a causa del verso del versore n̂, mentre
quello relativo alla base S2 è pari alla corrente i(z + ∆z, t). L’integrale relativo alla superficie lateriale è nullo.
Sostituendo si ha:
Z
∂
i(z + ∆z, t) − i(z, t) = −
ρE dV
∂t V
Si definisce la carica totale per unità di lunghezza la quantità
R
ρE dV
Q(z, t) , V
∆z
Dividendo l’equazione precedente per ∆z e considerando il limite per ∆z → 0 si ottiene
i(z + ∆z, t) − i(z, t)
∂
= − Q(z, t)
∆z
∂t
44
CAPITOLO 7. LINEE DI TRASMISSIONE
considerando il limite per ∆z → 0 si ha:
∂i(z, t)
∂Q(z, t)
=−
∂z
∂t
(7.5)
Si definisce capacità per unità di lunghezza, indicata con C ∗ la quantità
Q = C ∗V
Q
C∗ =
V
(7.6)
(7.7)
Sostituendo si ottiene
∂i(z, t)
∂V (z, t)
= −C ∗
∂z
∂t
(7.8)
Lungo una linea di trasmissione si possono quindi definire tensioni e correnti che sono legate dalle precedenti
equazioni (7.4, 7.8), che prendono il nome di equazioni dei telegrafisti.
Esiste un’importante distinzione tra i circuiti a parametri concetrati e i circuiti a parametri distribuiti. Un
condensatore a parametri concentrati è costituito da due superfici con cariche uguali e opposte situate sulle armature,
tra cui è interposto un dielettrico. La capacità C è definita come Q = CV .
Analogamente, un induttore a parametri concentrati è costituito da un avvolgimento su cui scorre una corrente I
che genera una campo B̄.
In entrambi i casi si ipotizza che gli effetti elettromagnetici siano concentrati all’interno della superficie limite
del componente. Nelle linee di trasmissione sono presenti due conduttori separati da un dielettrico, che generano un
effetto capacitivo ed induttivo distribuito sull’intera linea.
7.1.1
Soluzione delle equazioni dei telegrafisti
Le equazioni dei telegrafisti legano le tensioni e le correnti:
∂i(z, t)
∂V (z, t)
= −L∗
∂z
∂t
∂i(z, t)
∂V
(z,
t)
= −C ∗
∂z
∂t
(7.9)
(7.10)
Si effettua la derivata parziale della prima equazione rispetto a z, considerando L∗ costante:
∂ 2 V (z, t)
∂ ∂i
∂ ∂i
= −L∗
= −L∗
∂z 2
∂z ∂t
∂t ∂z
Si sostituisce la seconda equazione nell’ultimo termine, ottenendo:
∂ 2 V (z, t)
∂V (z, t)
= L∗ C ∗
2
∂z
∂t2
Si può notare che la struttura di questa equazione è simile a quella dell’equazione delle onde (4.6), quindi la tensione
si propagherà lungo la linea di trasmissione sotto forma di un’onda che parte dal generatore e si propagaerso il carico.
Effettuando la derivata parziale rispetto a z della seconda equazione si ottiene
∂ 2 i(z, t)
∂ ∂V
∂ ∂V
= −C ∗
= −C ∗
2
∂z
∂z ∂t
∂t ∂z
sostituendo la prima equazione si ottiene
∂ 2 i(z, t)
∂i(z, t)
= L∗ C ∗
∂z 2
∂t2
che è una equazione analoga a quella per la tensione riferita in questo caso alla corrente. Siccome la corrente soddisfa
una equazione delle onde, anch’essa si comporterà come un’onda che si propaga dal generatore verso il carico.
7.1.2
Regime sinusoidale stazionario
In regime stazionario si possono associare i fasori V (z) e I(z) alle quantità che rappresentano la tensione e la corrente.
Le equazioni delle onde per la tensione e la corrente diventano, in regime stazionario,
∂ 2 V (z)
= L∗ C ∗ (−ω 2 )V (z)
∂z 2
∂ 2 I(z)
= L∗ C ∗ (−ω 2 )I(z)
∂z 2
(7.11)
(7.12)
7.1. INTRODUZIONE
45
La costante L∗ C ∗ ω 2 viene detta costante di propagazione ed indicata con γ 2 , quindi
∂ 2 V (z)
+ γ 2 V (z) = 0
∂z 2
∂ 2 I(z)
+ γ 2 I(z) = 0
∂z 2
Sono due equazioni differenziali del secondo ordine, la cui soluzione è
(7.13)
(7.14)
V (z) = V1 e−γz + V2 eγz
In regime sinusoidale, l’equazione dei telegrafisti relativa alla corrente (7.4) diventa:
∂V
= −L∗ (ω)I(z)
∂z
1 ∂V
I(z) = −
ωL∗ ∂z
sostituendo il valore di V (z) si ottiene:
I(z) = −
1
[V1 (−γe−γz ) + V2 (γeγz )]
ωL∗
svolgendo i calcoli ed effettuando le semplificazioni si ottiene
V1
V2
I(z) = q e−γz − q eγz
L∗
C∗
L∗
C∗
q
L∗
La quantità Zc =
C ∗ dimensionalmente si misura in [Ω] e viene detta impedenza caratteristica della linea,
quindi l’equazione precedente può essere riscritta come:
I(z) =
V1 −γz V2 γz
e
−
e
Zc
Zc
Come per le onde elettromagnetiche, si presentano due termini. Uno è relativo ad un’onda progressiva e uno ad
un’onda regressiva.
L’impedenza di ingresso di una linea di trasmissione, indicata con Zin è l’impedenza che si vede ai morsetti di
ingressom ovvero il rapporto tra tensione e corrente. Fissato un asse z, allora si ha:
Zin ,
V (z = 0)
I(z = 0)
Esempio
Data una linea di trasmissione infinita, non esiste onda riflessa, quindi in z = 0 si ha V (z = 0) = V1 e la corrente è
V1
, quindi
I(z = 0) = Z
c
V1
Zin = V1 = Zc
Zc
L’impedenza di ingresso è pari all’impedenza caratteristica di una linea se questa fosse infinita.
Esempio
Dato un carico ZL , connesso ad una linea di trasmissione di lunghezza finita L, allora fissando un asse z con origine
sul carico si ha:
V (z = −L)
V1 eγL + V2 e−γL
Zin ,
=
ZC
I(z = −L)
V1 eγL + V2 e−γL
Applicando la formula di Eulero si ha:
= ZC
(V1 + V2 ) cos(γL) + (V1 − V2 ) sin(γL)
(V1 − V2 ) cos(γL) + (V1 + V2 ) sin(γL)
L’impedenza di carico ZL è:
V (z = 0)
V1 + V2
=
ZC
I(z = 0)
V1 − V2
Dividendo il numeratore e il denominatore per V1 − V2 e moltiplicando per ZC l’equazione dell’impedenza di ingresso
diventa:
ZL cos(γL) + ZC sin(γL)
Zin = ZC
ZC cos(γL) + ZL sin(γL)
questa espressione fornisce l’impedenza di ingresso Zin dato il carico ZL , l’impedenza caratteristica ZC e la lunghezza.
ZL =
46
CAPITOLO 7. LINEE DI TRASMISSIONE
7.1.3
Velocità di propagazione
√
Nell’equazione delle onde si ha k = ω µ e v = √1µ . La velocità di propagazione delle onde in una linea di trasmissione
si ottiene considerando l’analoga equazione delle onde per le linee:
v=√
1
L∗ C ∗
√
quindi la costante γ = ω L∗ C ∗ si può scrivere come:
γ=
ω
2πf
2π
2π
=
=
=
v
v
vT
λ
la lunghezza d’onda λ è definita come la distanza percorsa dall’onda in un periodo di tempo, quindi λ = vT .
Esempio
Si consideri una linea con ZC = 50Ω e un carico ZL = 100Ω. Si suppone che la linea abbia lunghezza L = λ4 . Quanto
vale l’impedenza d’ingresso Zin ?
Applicando la formula si ottiene:
2π λ
π
γL =
=
λ 4
2
Quindi
100 cos π2 + 50 sin π2
Zin = 50
= 25Ω
50 cos π2 + 100 sin π2
7.1.4
Trasmissione e riflessione
La quantità VV21 , che rappresenta l’ampiezza dell’onda riflessa divisa l’ampliezza di quella incidente, viene indicata con
ρ ed è chiamata Coefficiente di riflessione. In generale ρ ∈ C e 0 ≤ |ρ| ≤ 1. Se ρ = 0 non esiste onda riflessa,
mentre se ρ = 1 l’onda incidente viene completamente riflessa.
Questo coefficiente di riflessione è simile al coefficiente Γ utilizzato nelle onde piane. Nella pratica si preferisce non
avere riflessioni nelle linee: oltre a dispendi di energia le riflessione possono causare problemi tecnici.
In una linea di trasmissione la tensione e la corrente sono:
V (z) = V1 e−γz + V2 eγz
(7.15)
V1 −γz
V2 −γz
e
−
e
ZC
ZC
ZL è il rapporto tra la tensione e la corrente del carico, ovvero:
i(z) =
ZL =
(7.16)
V (z = 0)
I(z = 0)
si può scrivere, sostituendo V (z = 0) = V1 + V2 e i(z = 0) =
ZL = ZC
V1
ZC
−
V2
ZC ,
quindi
V1 + V2
Z1 − V2
dividendo per V1 si ottiene
ZL = ZC
1+
1−
V2
V1
V2
V1
= ZC
1+ρ
1−ρ
Si può ottenere una espressione del coefficiente di riflessione data l’impedenza della linea ZC e del carico ZL :
ZL (1 − ρ) = ZC (1 + ρ)
ZL − ρZL = ZC + ρZC
ρ(ZC + ZL ) = ZL + ρZC
ρ=
7.1.5
ZL − ZC
ZL + ZC
Casi notevoli
Linea chiusa su un corto circuito
C
L’impedenza del carico è ZL = 0. Il coefficiente di riflessione è: ρ = −Z
ZL = −1. Si verifica una riflessione totale, con
un’onda riflessa con la stessa ampiezza dell’onda incidente. C’è uno sfasamento di π.
7.2. CIRCUITO EQUIVALENTE
47
Linea chiusa su un corto circuito
L’impedenza del carico è ZL → ∞, quindi
1
ZL
= 0. Il coefficiente di riflessione è pari a:
ρ=
1−
ZL − ZC
=
ZL + ZC
1+
ZC
ZL
ZC
ZL
=1
Si verifica una riflessione totale senza sfasamento.
Linea adattata
Una linea è detta adattata con una impedenza di carico pari all’impedenza caratteristica della linea. Quindi, se
ZC = ZL si ha:
ZL − ZC
ρ=
=0
ZL + ZC
Esempio
Si considera una linea con ZL = 100Ω e con un carico pari a ZC = 50Ω. Il coefficiente di riflessione è:
50
1
100 − 50
=
= ' 0.33
100 + 50
150
3
ρ=
Nella linea viene generata un’onda riflessa con ampiezza pari ad un terzo di quella incidente sul carico.
Esempio
Data una linea di lunghezza pari a l, con ai capi un corto circuito (equivalente ad una carico ZL = 0), il coefficiente
di riflessione viene calcolato in questo modo:
Si considera un asse z con origine sul corto circuito (sul carico):
ZL =
V (z = 0)
V1 + V2
=
ZC = 0
I(z = 0)
V1 − V2
deve essere quindi nullo il numeratore, poiché ZC 6= 0, allora V1 + V2 = 0. Da questo deriva che V1 = −V2 e dunque
ρ = −1. C’è riflessione totale.
Esempio
Data una linea con un carico ZL pari a ZC . Allora si ha:
ZL =
V1 + V2
ZC = ZC
V1 − V2
quindi, deve essere
(V1 + V2 )ZC = (V1 − V2 )ZC
ovvero V2 = 0, e quindi ρ = 0.
Quando il carico è uguale all’impedenza ZC della linea non c’è onda riflessa, come se la linea fosse infinita.
7.2
Circuito equivalente
Le linee di trasmissione possono essere modellate con circuiti equivalenti a parametri concentrati, ovvero circuiti fittizi
che hanno lo stesso comportamento. Un tratto di linea di lunghezza ∆z può essere modellato tramite il seguente
circuito (Fig. 7.7)
Figura 7.7: Circuito equivalente per un tratto di linea ideale
48
CAPITOLO 7. LINEE DI TRASMISSIONE
dove l’induttore ha induttanza L∗ ∆z e il condensatore capacità C ∗ ∆z. Sia i(z) la corrente che entra nell’induttore
e i(z + ∆z) quella uscente. Per l’equazione di Kirkoff della maglia si ha:
v(z + ∆z) + VL − v(z) = 0
v(z + ∆z) − v(z) = −VL
l’equazione caratteristica dell’induttore è:
VL = ωLi(z) = ωL∗ ∆zi(z)
quindi
v(z + ∆z) − v(z) = −ωL∗ ∆zi(z)
dividendo ambo i membri per ∆z e calcolando il limite per ∆z → 0 si ottiene l’equazione dei telegrafisti. La seconda
equazione dei telegrafisti può essere ricavata attraverso l’applicazione della legge di Kirkoff per le correnti nel nodo B.
Se la linea non è ideale, perché non è ideale il dielettrico o non è perfetto il conduttore, si verifica una dissipazione
per effetto joule, ovvero un effetto resistivo. In questo caso la linea può essere modellata con il seguente circuito (Fig.
7.8)
Figura 7.8: Circuito equivalente per un tratto di linea non ideale
dove le unità di misura di R∗ e G∗ sono, ripettivamente
(Fig. 7.9)
Ω
m
e
S
m . Il circuito è a sua volta equivalente al seguente
Figura 7.9: Circuito equivalente per un tratto di linea non ideale
dove l’impedenza Z ∗ è pari a: Z ∗ = ωL∗ + R∗ e l’ammetenza Y ∗ è pari a Y ∗ = ωC ∗ + G∗ . Introducendo il valore
γ̃ ∈ C, definito come:
√
γ̃ = ω Z ∗ Y ∗
allora si può sostituire questo valore nell’espressione di V (z) (7.15):
V (z) = V1 e−γ̃z + V2 e−γ̃z
poiché è un numero complesso, può essere scritto come γ̃ = β − α. Sostituendo nell’espressione di V (z) si ha:
V (z) = V1 e−αz e−βz + V2 eαz eβz
Il termine e−αz rappresenta l’attenuazione dell’ampiezza dell’onda dovuta alla dissipazione. Il temine eαz non deve
essere interpretato come un’amplificazione, che non ha significato fisico, ma un’attenuazione, poiché la direzione
dell’asse z è invertita.
Una linea non ideale ha un’impedenza caratteristica ZC pari a:
r
Z∗
ZC =
∈C
Y∗
ZC e γ dipendono dalle caratteristiche fisiche della linea, come:
• forma
• dimensioni
• dielettrico
7.2. CIRCUITO EQUIVALENTE
49
La velocità di propagazione dell’onda elettromagnetica nella linea è:
V =√
1
L∗ C ∗
Si può dimostrare che se il dielettrico è uniforme e omogeneo, le due velocità (propagazione nella linea e dell’onda)
coincidono. Poiché nel dielettrico la velocità di propagazione è:
1
V =√
µ
quindi si ha: L∗ C ∗ = µ. Conoscendo le caratteristiche del dielettrico e conoscendo L∗ o C ∗ è possibile ricavare l’altro
termine.
Esempio
Una linea a piani paralleli è costituita da due conduttori piani (Fig. 7.10).
Figura 7.10: Linea con conduttori piani e paralleli
La capacità per unità di lunghezza C ∗ equivale alla capacità del conduttore per unità di lunghezza.
C∗ = ε
∆
d
dove ∆ è l’area dell’armatura e d è la distanza tra le armature. In questo caso si ha:
C∗ = ε
si ricava L∗ =
µε
C∗
a
b
= µ ab , quindi
r
ZC =
L∗
=
C∗
r
µb
εa
Esempio
Una linea di tipo coassiale (Fig. 7.11) ha una capacità per unità di lunghezza data dalla formula
C∗ =
2πε
R2
ln
R1
Figura 7.11: Linea costituita da due cilindri coassiali
50
CAPITOLO 7. LINEE DI TRASMISSIONE
dove R2 è il raggio dell’armatura esterna e R1 quello dell’armatura interna. Si ha:
L∗ =
µ
R2
ln
2π R1
L’impedenza caratteristica è:
R2
µ R1
ZC =
ε 2π