prima presentazione

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Abbiamo incontrato tre curve piane, ricche di
proprietà e applicazioni: parabola, ellisse e iperbole.
Parabola
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Ellisse
Iperbole
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Ecco ora una simulazione che mostra un’origine
comune di queste tre curve.
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Si ottiene facendo ruotare
la retta verde (generatrice)
attorno alla retta rossa
(asse)
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Se il piano taglia il cono una
sola volta seguendo una curva
chiusa si ottiene un’ellisse
ELLISSE
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Se il piano taglia il cono una
sola volta seguendo una curva
aperta si ottiene una parabola
PARABOLA
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Se il piano taglia il cono due
volte si ottiene un’iperbole
IPERBOLE
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Così parabola, ellisse e iperbole si ottengono come
sezioni di un cono, cioè come sezioni coniche; per
questo prendono il nome collettivo di CONICHE.
CONICHE
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Qui il cono non è simulato: è formato da fili elastici.
Il piano che taglia il cono è una ‘lama di luce’
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Qui il cono è formato dai raggi di luce e ha il
vertice nella lampadina.
La parete è il piano che taglia il cono.
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Qui il cono è di vetro: è una clessidra.
Il piano per tagliare il cono è la superficie del
liquido o della sabbia.
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Parabola, iperbole ed ellisse sono tutte sezioni coniche, ma
le loro equazioni cartesiane appaiono diverse una dall’altra.
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Hanno qualcosa in comune le equazioni delle coniche?
La prossima attività è dedicata a rispondere a questa
domanda.
Dividetevi in gruppi di 2 – 4 persone; a ogni gruppo è
data una scheda di lavoro da completare.
Avete 30 minuti di tempo.
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Intersezioni di una conica con una retta
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Rispondere alle domande
Perché il sistema?
Perché risolvere un sistema di due equazioni in due
incognite x e y vuol dire ‘trovare tutte le coppie ordinate
di numeri reali che soddisfano entrambe le equazioni’
Vogliamo capire meglio il significato di questa frase?
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Rispondere alle domande
Riflettiamo su alcuni esempi
P(0; 1) appartiene SOLO alla
parabola perché la coppia (0; 1)
‘soddisfa SOLO l’equazione
della parabola’, cioè si trova
SOLO nella tabella della
parabola.
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N(-1; 1) NON appartiene alla
retta NÉ alla parabola perché la
coppia (-1; 1) NON soddisfa
nessuna delle due equazioni.
B(1; 0,5) appartiene alla retta
E alla parabola perché la
coppia (1; 0,5) soddisfa tutte e
due le equazioni.
Q(4; 3,5) appartiene SOLO
alla retta perché la coppia
(4; 3,5) soddisfa SOLO
l’equazione della retta.
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Rispondere alle domande
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Una proprietà algebrica
comune a tutte le coniche
L’equazione cartesiana di una conica si può sempre scrivere
nella forma di un polinomio di 2° grado uguagliato a zero.
ESEMPI
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Significato geometrico della
proprietà algebrica.
- Si dice che ‘le coniche sono curve del 2° ordine’
- Una retta interseca una conica al massimo in due punti
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Intersezioni retta – conica ‘in movimento’
File: Coniche_Geogebra_Presenta1a
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Sistemi e intersezioni retta - conica
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Sistemi e intersezioni retta - conica
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Sistemi e intersezioni retta - conica
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Intersezioni retta – conica che fanno pensare
File ‘Coniche_Geogebra_Presenta1b’
La retta s è parallela
all’asse di simmetria
della parabola.
La retta s d’equazione x = 2 interseca la
parabola solo nel punto A, ma è secante,
Perché B è ‘fuggito all’infinito’
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Intersezioni retta – conica che fanno pensare
File ‘Coniche_Geogebra_Presenta1b’
La retta b è parallela ad uno
degli asintoti dell’iperbole.
La retta b d’equazione x = -4 interseca
l’iperbole solo nel punto G, ma è secante,
perché H è ‘fuggito all’infinito’
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Intersezioni retta – conica che fanno pensare
File ‘Coniche_Geogebra_Presenta1b’
Trovo i punti di intersezione che ‘fuggono all’infinito’ solo
con parabola e iperbole, che sono curve aperte. Ecco che
cosa succede con l’ellisse, che è una curva chiusa.
La retta d’equazione x = -4 interseca l’ellisse
in due punti coincidenti, perciò è tangente.
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