Testo

Cosa bisogna sapere/ricordare a proposito di
•
n A  x
:
se n è pari:
•
il radicale è definito solo se A x ≥0 (condizioni di esistenza);
• il segno di
definito
n A  x
è sempre positivo o nullo per ogni valore di x per cui A(x) è
• se n è dispari:
• il radicando può anche essere negativo e quindi il radicale è definito per ogni valore
reale di x per cui A(x) è definito;
•
n A  x
ha il segno di A(x)
Equazioni irrazionali
Equazioni del tipo
n A  x=B x
, con n≥2 intero
n dispari: l'equazione si risolve elevando alla potenza n-esima entrambi i membri, cioé:
1.
n A  x=B x
è equivalente a
A  x=[B  x]n (se n è dispari)
2. n pari: bisogna considerare che perché il radicale esista (condizioni di esistenza del
radicale) è necessario che
A x≥0
e quindi (condizione di concordanza di segno)
B x≥0
Se sono soddisfatte queste condizioni si possono allora elevare alla potenza n-esima entrambi i membri
per ottenere un'equazione equivalente.
In definitiva, se n è pari, l'equazione è equivalente al sistema:
A x≥0
B x≥0
A x =[ B x]n
In realtà, i valori di x che soddisfano la terza equazione soddisfano anche la prima, quindi la prima
equazione è superflua. Infatti, se A x=[ B x]n ed n è pari, [B x]n≥0 quindi A x≥0
Esempio 1: (es. n. 509 pag. 63)
3 x 3−2=1x
è equivalente a x 3−2=1x3 .
Svolgendo il cubo del binomio si arriva ad una equazione di secondo grado il cui discriminante è
negativo, quindi l'equazione non ammette soluzioni reali.
Esempio 2: (es. n. 510 pag. 63)
3−4x−  x 2−1=4−3x
Bisogna arrivare alla forma standard:
 x2−1=−x−1
Si studia ora il sistema composto dalle condizioni di esistenza del radicale:
x 2−1≥0 ossia x≤−1 e x≥1
dalle condizioni di concordanza di segno:
−x−1≥0 ossia x≥−1
e dalla equazione seguente ottenuta elevando al quadrato entrambi i membri:
x 2−1=−x−12 che ha soluzione
L'equazione
3−4x−  x 2−1=4−3x ha pertanto come soluzione x=−1
Equazioni del tipo
n A  x=±m B x C x 
, con n , m≥2 intero
Bisogna cercare di eliminare le radici. Nel caso di radicali con indice dispari il radicale è sempre
definito, mentre nel caso di radicali con indice pari bisogna determinare le condizioni di esistenza del
radicale. E' possibile che si debbano eseguire diversi elevamenti a potenza.
Esempio 2: (es. n. 518 pag. 63)
3 x 2−x=2 x
Il radicale di sinistra ha indice dispari, pertanto il radicale è sempre definito (il radicando è un
polinomio). Il radicale di destra ha indice 2 (pari) quindi bisogna imporre che il radicando sia maggiore
o uguale a 0:
x≥0 (Condizioni di Esistenza)
Se si elevano al cubo entrambi i membri si ottiene:
2 3
2
2
2
x −x= x ossia x −x=x  x
Elevando ora al quadrato entrambi i membri si ottiene:
x 4 −3 x 3 x 2=0
Si scompone in fattori:
x 2  x 2−3 x1
Questa equazione ha due soluzioni coincidenti per
x=0 e altre due soluzioni per x=
3± 5
2
3 5
rispettano le condizioni di esistenza perciò sono accettabili
2
3− 5
mentre la soluzione x=
non lo è.
2
Le soluzioni
x=0 e x=
Disequazioni irrazionali
Disequazioni del tipo
n A  xB x
e
n A  xB x
, con n≥2 intero
1. n dispari: la disequazione si risolve elevando alla potenza n-esima entrambi i membri,
senza cambiare il verso della disequazione, cioé:
n A  xB x
n A  xB x
è equivalente a
A  x[B  x]n (se n è dispari)
è equivalente a
A  x[B  x]n (se n è dispari)
2. n pari: bisogna distinguere le due disequazioni:
n A  xB x
n A  xB x
La condizione di esistenza del radicale impone
che:
A  x≥0
n A  x≥0
La condizione di esistenza del radicale impone
che:
A  x≥0
n
Poiché  A  x≥0 , non ci sono vincoli sul segno
di B x che, quindi, può essere sia positivo che
B x0
A patto che siano verificate queste condizioni si può negativo che nullo.
affermare che la disequazione è equivalente alla
Per i valori di x che rendono B x0 le
disequazione:
soluzioni della disequazione saranno pertanto
n
quelle che soddisfano il sistema
Poiché
deriva che deve essere
A  x[B  x]
In definitiva, bisogna risolvere il sistema seguente:
A  x≥0
B x0
A  x[B  x]n
A  x≥0
B x0
Se, invece,
risolvere è:
B x≥0 , allora il sistema da
A x≥0
B x≥0
A  x[B  x]n
Se è verificata la terza disequazione è verificata
anche la prima, quindi la prima disequazione è
superflua.
In definitiva, la disequazione iniziale
n A  xB x con n pari ha come soluzioni
l'unione delle soluzioni dei due sistemi precedenti.
Ovviamente, se le disequazioni hanno segno ≤ o ≥ bisogna modificare di conseguenza i segni delle
disequazioni dei sistemi.
Esempio 3: (es. n. 549 pag. 65)
2  x 2−5x7≤2x−4 equivalente a  x2−5x7≤x−2
Bisogna allora risolvere il sistema:
x 2−5x7≥0
x−2≥0
x 2−5x7≤ x−22
La prima disequazione è verificata per ogni valore di x. La seconda disequazione è verificata per
x≥2 . La terza disequazione è verificata per x≥3 .
Il sistema (e quindi la disequazione iniziale) ha come soluzione
x≥3
Esempio 4: (es. n. 557 pag. 65)
x≤−1 12x equivalente a  12x≥ x1
I sistemi da risolvere sono:
12x≥0
x1≥0
x10
12x≥ x12
Il primo non ha soluzione. Il secondo ha soluzione
x=0 . La soluzione della disequazione è x=0
Disequazioni con più radicali
Si risolvono facendo ragionamenti analoghi a quelli fatti per i casi precedenti e a quelli fatti per risolvere
le equazioni irrazionali.
Esempio 5: (es. n. 589 pag. 67)
 x25x−14  x24x3
Bisogna determinare innanzitutto le condizioni di esistenza di ciascun radicale e, quindi, bisogna
risolvere il sistema:
x 25x−14≥0
x 24x3≥0
La soluzione di questo sistema è
x≤−7
V
x≥2
Una volta determinate le condizioni di esistenza si può notare che sia il primo membro che il secondo
sono positivi, perciò si possono elevare al quadrato sia il primo che il secondo membro,
ottenendo:
x 25x−14x 24x3
che ha come soluzione
x17 , compatibile con le condizioni di esistenza
Esempio 6:
 x−1− 2x  3−x
Per determinare le Condizioni di Esistenza:
x−1≥0
2x≥0
3−x≥0
La soluzione di questo sistema è:
1≤x≤3
SI fa ora in modo da avere tutti termini dello stesso segno a sinistra e a destra:
− 2x− 3−x− x−1
Si cambia il segno (e il verso della disequazione):
 2x  3− x  x−1
A questo punto, sia a sinistra che a destra si hanno valori positivi, quindi si possono elevare al
quadrato entrambi i membri e si ottiene:
2x3− x2  2x 3− xx−1
ossia:
2  2x 3− x−4
e questa è ovviamente una disequazione impossibile.