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APPUNTI DI FISICA
[ ... dal lavoro di ANNA PAVAN ...]
I VETTORI
Differenze tra:
Segmento orientato
collocazione di coda e testa
Vettore:
applicabile ovunque
Modulo, Direzione e Verso + precisa
Modulo,
Direzione
e
Verso,
ma
Il vettore è il rappresentante di una classe di segmenti
orientati EQUIPOLLENTI e cioè che condividono modulo
(...stessa lunghezza), direzione (...sono collocati su una
medesima retta o su rette parallele) e verso (...condividono
la stessa orientazione relativa su rette parallele).
La relazione di equipollenza lega dunque una
infinità segmenti ed è di equivalenza, visto che gode della
proprietà RIFLESSIVA (un segmento orientato è equipollente
a se stesso), SIMMETRICA (se un segmento orientato è
equipollente ad un altro segmento, quest'altro è equipollente
a quello di partenza) e TRANSITIVA (se un segmento
orientato è equipollente ad un secondo e questo secondo è
equipollente ad un terzo, allora il primo è equipollente al
terzo); una relazione di equivalenza individua all'interno di un insieme una partizione in classi di equivalenza e
a rappresentare ciascuna di queste classi si individua un elemento, che nel nostro caso si chiama vettore.
Se non ci esprimeremo diversamente, i nostri vettori avranno la coda nell'origine e anche il risultato
della loro combinazione (somma, differenza e prodotto vettoriale) si immaginerà ancora applicato (.... o con
la coda su ...) nell'origine di ipotetici assi.
Quale esempio della necessità di usare in FISICA vettori invece
che segmenti orientati possiamo pensare alle forze, grandezze vettoriali
protagoniste nella dinamica, che si occupa di legare le cause agli effetti
del moto di corpi o sistemi; ricordiamo, una per tutte la formula:
f =m⋅
a .
Per spingere la cassa in avanti in assenza di attrito alla velocità
v =5⋅m. / s.2 di direzione orizzontale possiamo applicare la forza
f in due modi diversi, spingendola da dietro oppure trascinandola da
davanti e sempre ottenendo lo stesso effetto: la forza avrà comunque modulo f =10N. , se la cassa da
spingere è di massa m=2kg. ; noi potremo in ogni caso rappresentarla con un vettore di lunghezza
arbitraria sul disegno, dato che è grandezza eterogenea rispetto alle dimensioni spaziali inserite nel disegno.
RAPPRESENTAZIONE
Quella che useremo all'interno
della
rappresentazione
tridimensionale (3D) sarà una terna
levogira, la più presente in natura
Esistono due sistemi di
riferimento per lo spazio euclideo
tridimensionale (3D): quello levogiro,
che è quello cui ci si riferisce
prevalentemente, e quello destrogiro.
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Sono distinguibili sulla base dell'orientazione relativa dei tre assi cartesiani x , y , z , ritenuti in ogni caso
or tonormali e cioè reciprocamente perpendicolari (2 a 2) e dotati della stessa norma e cioè della
stessa unità di misura (metrica). Facendo riferimento alla figura, si può definire levogira quella terna in cui
utilizzando rispettivamente le dita medio, indice e pollice della mano sinistra tese e perpendicolari si
ottengono gli orientamenti degli assi. Facendo la medesima operazione con la mano destra si otterrà la
terna destrogira.
DEFINIZIONI: si definisce versore un vettore di lunghezza unitaria. Fissata la lunghezza, restano
libere di variare solo la direzione e il verso. I versori vengono in effetti utilizzati per assegnare queste due
ultime caratteristiche. Si definiscono
invece componenti di un vettore le
proiezioni lungo due (2D) o tre (3D)
rette che identificano le direzioni di
riferimento ( nel 2D sono le x e y
tradizionali e nel 3D le x,y e z
tradizionali).
SOMMA DI VETTORI
Cominciamo a definire le operazioni tra vettori usando un modo particolare per definire i vettori: dato
che debbono collocarsi con la coda nell'origine, possono essere definiti dalle coordinate della testa e cioè ad
esempio: v =2 ;−1 , con 2 e (-1) che definiscono le coordinate cartesiane della punta del vettore v .
Componendo graficamente con la nota regola del parallelogramma (FIGURA CON VETTORI CHE SI
SOMMANO E SI SOTTRAGGONO) si può evidenziare con molta tranquillità che il vettore somma:
c =
a 
b è tale da avere la testa collocata su ascissa ed ordinata che sono le somme algebriche delle
rispettive coordinate di a
 e 
b e questo è un modo molto diretto e semplice per ottenere il risultato di
questa operazione. In termini algebrici puri:
3
a =3 ; 3 e 
b =5 ;  ,

2
3
3
d =
a −b=3−5 ; 3− =−2 ;  .
2
2
Se:
allora
sarà:
3
9
c =35 ; 3 =8 ; 
2
2
e
Il modo per ricostruire il modulo del vettore composto, somma o sottrazione che sia è quello
garantito dal teorema di Pitagora, secondo la:

2
9
2
c=∣
c∣=∣a 
b∣= 8    . La questione più importante risiede comunque nella seguente
2
affermazione: il modulo del vettore somma non è uguale alla somma dei vettori
ma gli è sempre inferiore, seconda la relazione: ∣
a 
b∣∣a∣∣b∣ , nota
come disuguaglianza triangolare. Si faccia riferimento al noto teorema di
geometria e alla figura per ricordare che in un triangolo la lunghezza di un lato
è inferiore alla somma delle lunghezze degli altri due e nella operazione di
somma vettoriale si compone sempre un triangolo. La relazione di uguaglianza
vale solo nel caso in cui i due vettori che si compongono siano allineati e
concordi (...con lo stesso verso).
Dalla regola di somma di 3 vettori uguali si può intuire che cosa succeda nel momento in cui si
moltiplichi un vettore per un numero ( ... uno scalare): 3⋅a =a
 a a . Il vettore risultante sarà un
vettore lungo 3 volte quello di partenza, con la stessa direzione e lo stesso verso. Nel caso in cui si
moltiplichi per un numero reale negativo, l'unica cosa che cambierà rispetto al caso precedente, sarà il verso
che risulterà opposto, coerentemente col fatto che: −
a coinciderà con l'opposto di 
a e cioè sarà quel
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vettore che se viene sommato ad 
a da come risultato 
0 o 0; dire 
0 o 0 è la stessa cosa dato che il
vettore nullo 
0 ha modulo nullo e direzione indeterminata, visto che a definirlo non sono due punti, ma uno
solo. Riassumendo con uno schema:
k⋅a =
{
modulo=∣k∣⋅a
.
direzione =direzione a
verso=versoa se k 0,−verso 
a se k 0
Immaginando di operare con diverse situazioni di multipli,
sia positivi che negativi, si può riconoscere il fatto che viene
generato dal prodotto un vettore parallelo a quello di partenza,
eventualmente col verso opposto. E' vero anche l'inverso e cioè che,
assegnato un vettore è sempre possibile trovare un vettore con la
medesima direzione che grazie uno specifico scalare lo può generare
col prodotto.
Con la regola fornita dall'espressione con le coordinate
delle punte si ottiene la coerente definizione:

b=⋅a =⋅ x ; y =⋅x ; ⋅y  , che può avere come
esempio:

b=4⋅
a =4⋅ 2 ;−3=4⋅2 ; 4⋅−3=8 ;−6 .
GENERATORI DI VETTORI ORIZZONTALI E VERTICALI
Seguendo su questa strada possiamo individuare il vettore i =1 ; 0 , versore orizzontale per
antonomasia, quale vettore che è in grado di riprodurre tutti i vettori orizzontali e lo stesso tipo di ruolo lo
possiamo assegnare per la direzione verticale al versore j =0 ; 1 .
Ad esempio sarà che il vettore orizzontale
w
 =−3 ; 0 si potrà generare così:


.
w
 =− 3⋅i = 3⋅− i 
Nel completamento relativo alla descrizione di un insieme tridimensionale di vettori (3D), dobbiamo
pensare che i due versori i e j siano da completare nella loro definizione a tre componenti, secondo la:
i =1 ; 0 ; 0 e j=0 ;1 ; 0 e si debba introdurre a completamento per la direzione della profondità,
descritta dalla variabile z, il nuovo versore 
k =0 ; 0 ; 1 .
A proposito del nuovo versore introdotto, al
fine di decidere in modo certo che il suo modulo è
unitario, bisogna generalizzare il teorema di Pitagora
alle tre dimensioni. Se abbiamo: g
 = g x , g y , g z  ,
essendo le tre quantità tra parentesi le coordinate
della punta del vettore, il suo modulo sarà:
mod  
g =  g 2x g 2y  g 2z  . Tale formula, applicata
a 
k farà sì che: k =1 .
Tale formula può essere coerentemente
utilizzata per calcolare la lunghezza di una diagonale di un parallelepipedo.
Dalla genesi di vettori orizzontali e verticali si potrà passare ai vettori obliqui, completando l'insieme
dei vettori generabili, utilizzando la cosiddetta suddivisione del vettore in componenti orizzontali e verticali.
Per arrivare a questa si può partire da quelle che avevamo chiamato proiezioni: se si va a considerare
ciascuno dei vettori individuato sugli assi cartesiani, questo può essere considerato il vettore componente
del vettore di partenza, con la denominazione che traduce il fatto che la scomposizione va considerata
l'operazione inversa della somma vettoriale. Il vettore componente avrà sempre e comunque un modulo
inferiore od eventualmente uguale a quello del vettore di partenza.

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Si potrà dunque scrivere che:
vx =v x⋅i e vy =v y⋅j
Una sorta di ambiguità avvolge le scritture:
vx e v x ; nel primo caso rappresenta il vettore
componente orizzontale, nel secondo la componente scalare
lungo la direzione orizzontale, che nel nostro caso
corrisponde la coordinata ascissa della punta.
Ogni vettore del piano sarà riproducibile con la
forma sopra e cioè come combinazione lineare dei versori
orizzontale e verticale i e j . Le componenti v x e v y e
cioè i coefficienti dei due versori rappresentano le rispettive
coordinate della punta lungo i due assi. Combinazione lineare
significa somma di due termini lineari (... con esponente
unitario) eventualmente preceduti da un coefficiente.
Per il modulo si potrà dire che: v =∣v∣= v 2x v 2y .

Nel caso 3D: v = vx⋅i v y⋅jv z⋅
k
APPLICAZIONI
e
e
v = vx⋅i v y⋅j .
2
2
2
v =∣v∣= v x v y v z .
a =a x⋅i a y⋅j
, allora anche:

b =b x⋅i b y⋅j
a ±b= a x ±b x ⋅i a y ±b y ⋅j .

Se:
Relativamente poi alla prima figura a fianco sarà, dopo un'analisi
opportuna dei semitriangoli equilateri individuabili all'interno di essa:
a = ax  ay =a x⋅i a y⋅j=−5/2⋅i −5 /2⋅ 3⋅j .

Rispetto alla seconda delle figure,
invece:
a =a x⋅i a y⋅j=−5/  2⋅i −5/  2⋅j=−5/  2⋅ i j  .

Per entrambe le figure il modulo del vettore 
a vale 5 nell'unità
opportuna.
Altro esempio da seguire in figura:
c =
a 
b= a x b x ⋅i a y b y ⋅j=39⋅ 3/2⋅i 3⋅ 3−9/ 2⋅j
.
FUNZIONI GONIOMETRICHE
Per definire le espressioni (funzioni) goniometriche
bisogna partire dalla circonferenza di raggio unitario inserita
nel piano cartesiano in modo tale che il suo centro coincida
con l'origine O degli assi. Facendo riferimento alla figura, si
possono introdurre le due espressioni goniometriche e cioè
relative all'angolo, costruendo inizialmente l'angolo secondo la
modalità standard e cioè assegnando come prima semiretta
dell'angolo il semiasse positivo delle ascisse e come seconda
semiretta quella che si sviluppa dall'origine e che dipende
dall'ampiezza dell'angolo stesso. In figura tale angolo è  .
Fatto ciò si passa a definire il coseno dell'angolo (
cos  ) come l'ascissa del punto di intersezione tra la seconda semiretta e la circonferenza di raggio
unitario e il seno dell'angolo ( sen  ) come ordinata dello stesso punto. Con le formule:
cos =

OA

=OA=x
e
A

OB
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sen =

AB
 y A , visto che: OB=1

= AB=
.

OB
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Passando dal triangolo interno a quello esterno, grazie alla chiara similitudine tra i due, si potrà dire
che nel caso in cui il raggio raddoppi, raddoppieranno anche le corrispondenti ordinate e ascisse. Di questo
se ne può tenere conto inseguendo il ragionamento sui triangoli rettangoli, su cui ci cimentiamo al fine di
ottenere legami tra cateti ed ipotenusa, legami che provengono dalle definizioni appena date. Nei triangoli
abbiamo inserito la nomenclatura più usata per i triangoli, quella che vede l'angolo  retto di vertice A e
l'ipotenusa a questo opposta denominata a ; per i cateti si ribadisce tale modo di assegnare i simboli con
l'attenzione per gli elementi opposti. Seguendo le indicazioni che abbiamo appena sviluppato per i triangoli
c=a⋅sen 
b=a⋅sen 
e
, ottenibili dalla seguente serie di
b=a⋅cos  
c=a⋅cos 

 a segue che: A 'B' =sen  ⇒ AB=k⋅
A'B ' .
A 'B' : 1= AB:
simili, possiamo ottenere le relazioni:
relazioni. Dalla proporzione:
La sintesi analitica porta a dire che in triangolo
rettangolo la lunghezza di un cateto è data dal prodotto
dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto oppure
dal prodotto sempre dell'ipotenusa per il coseno
dell'angolo adiacente.
Considerando la definizione:
tg =
sen 
,
cos 
b a⋅sen  sen 
=
=
.
c a⋅cos  cos 
all'interno del triangolo rettangolo si potrà dire che:
Dal confronto delle relazioni proposte sopra si possono dedurre anche i legami:


sen =cos =cos  − =cos 90 °−
2
oppure c=b⋅tg o b=c⋅tg   .
Si può dimostrare anche la tangente goniometrica
tg 
corrisponde alla ordinata del punto Q in figura e cioè dell'intersezione tra
la seconda semiretta che definisce l'angolo e la tangente condotta alla
circonferenza di raggio unitario condotta per il punto A1 ; 0 .
VALORI NOTEVOLI
=0 °
=30°
=45 °
=60°
=90°
cos =1
cos = 3/2
cos = 2 /2
cos =1/2
cos =0
sen =0
sen =1/2
sen= 2/2
sen = 3/2
sen =1
tg =0
tg = 3/3
tg =1
tg = 3
tg  non calcol.
ESPRESSIONE DEGLI ANGOLI IN RADIANTI
Utilizzando una qualsiasi circonferenza si può introdurre una nuova
unità di misura degli angoli che ha il grande vantaggio di esprimere
l'ampiezza di un angolo con un numero puro, permettendo così di
abbandonare la storica unità del grado. La scelta della circonferenza alla
quale far riferimento per la definizione è arbitraria, dato che si definisce:
 RAD=
AB
, essendo AB l'arco e R il raggio della circonferenza; in
R
particolare se l'arco è lungo quanto un raggio si può riconoscere che:
 RAD=1 radiante=1 rad.=
AB R
= =1
R R
e
che,
essendo
in
una
circonferenza presenti 2⋅ raggi, all'angolo giro al centro corrisponderanno 2⋅ radianti. Da
quest'ultima valutazione nasce anche la possibilità di stabilire il legame tra le due serie di misura di angoli ,
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gradi e radianti, che saranno da considerare quali classi di grandezze direttamente proporzionali, secondo la:
2⋅

 RAD : GRA=2⋅: 360 o che darà.  RAD=GRA⋅ o =GRA⋅ o
360
180
o
180 o .
GRA = RAD⋅

Alcuni semplici calcoli mettono in luce le corrispondenze:
GRA
0
30
45
60
90
 RAD
0
/6
/4
/3
/2
PRODOTTI TRA VETTORI
PRODOTTO SCALARE: è la composizione tra due vettori che dà
risultato
uno
scalare,
secondo
la
definizione:


a⋅b=a⋅b⋅cos[a , b] , con l'angolo citato che è il più piccolo tra i due

angoli (uno convesso e l'altro concavo) che restano individuati dai due
vettori. Facendo riferimento alla figura questo tipo di prodotto può essere
ridotto a:
a⋅b=a b⋅b=a⋅b a , con le due grandezze indicizzate che

stanno rispettivamente ad individuare la componente del vettore 
a lungo
la direzione di 
a .
b e quella del vettore 
b lungo la direzione di 
come
Altra versione del prodotto scalare è quella “algebrica”:
a⋅b=a x⋅i a y⋅j⋅b x⋅i b y⋅j=a x⋅b x⋅i ⋅i a x⋅b y⋅i⋅ja y⋅b x⋅j⋅i a y⋅b y⋅j⋅j ;

ora è necessario andare a calcolare i singoli prodotti versore per versore e ottenere:
i⋅i =1⋅1⋅cos 0° =1
i⋅j=1⋅1⋅cos90 ° =0
j⋅j=1⋅1⋅cos 0° =1
j⋅i =1⋅1⋅cos90 °=0 .
Questi esiti fanno diventare l'espressione sopra:
a⋅b=a x⋅b x a y⋅b y .

Caso esemplificativo: 
a⋅b=1,−4⋅−3,1=1⋅−3−4⋅1=−3−4=−7
La doppia definizione del prodotto scalare ci permette di fare addirittura una previsione sul valore
del coseno dell'angolo tra i due e poi dell'angolo, grazie alla calcolatrice tascabile ( funzione: cos−1 ):
a⋅b=a x⋅b x a y⋅b y =a⋅b⋅cos[a , 

b] =>
Nel caso dell'esempio precedente si potrà ottenere:
a ⋅b a ⋅b
cos [ 
a ,
b ]= x x y y .
a⋅b
−7
≈0,5368 e :
116⋅ 91
≈cos−1 0,5368=arccos 0,5368≈122,4° .
cos =
PRODOTTO VETTORIALE: è invece la composizione di due
vettori che dà come risultato un terzo vettore. Scandiamo con
attenzione le caratteristiche del vettore risultante:
c =
a x
b=
a ∧
b sono i simbolismi con i quale si
definiscono il prodotto vettoriale. Vediamone le proprietà di c :
c =
{
modulo=a⋅b⋅sen a , b 
,
direzione c perpendicolare al piano 
a e b 
verso c : regola mano dx , vite destrorsa , terna levogira
con le regole che definiscono il verso del vettore risultante
illustrate anche in figura. Grazie a queste regole si deduce che la
scelta dell'ordine dei fattori è determinante non nella scelta del
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modulo e direzione finale, ma in quella del verso; valgono infatti le relazioni:
a ∧

b=c e b∧a =−c .
Non vale dunque la proprietà commutativa, per la quale cambiando l'ordine dei fattori il prodotto non cambia;
essa viene sostituita dalla proprietà anticommutativa, per la quale cambiando una volta (...numero dispari di
volte) l'ordine dei fattori cambia il segno del risultato; cambiando due volte l'ordine (...numero pari di volte) il
risultato tornerà ad essere quello della prima versione.
Andiamo a vedere anche in questo caso la versione algebrica, coinvolgendo questa volta anche la
terza dimensione:
a ∧

b=a x⋅i a y⋅ja z⋅
k ∧b x⋅i b y⋅jb z⋅
k
anche qui il prodotto si sviluppa secondo diversi addendi, dato che continua a valere la proprietà
distributiva della moltiplicazione rispetto alla somma, che non prendiamo in considerazione se non in casi
particolari significativi:
a ∧

b=a x⋅b x⋅i ∧i ...
Questo termine presenta il prodotto vettoriale del tipo: i ∧ i strutturalmente uguale ai
j∧ j e 
k ∧k , tutti costantemente nulli visto che il modulo del vettore prodotto è sempre 0 causa il
fatto che l'angolo tra versori (... ma tra vettori è la stessa cosa) è nullo (0) e il sen 0 ° =0 e anche
perché con due vettori coincidenti non si riesce a definire un piano. Per gli altri prodotti, invece, il risultato è
diverso e si procede così:
a ∧

b=a x⋅b x⋅i ∧i a x⋅b y⋅i ∧ j ...
{
modulo=1⋅1⋅sen 90 ° =1
i ∧ j= direzione i ∧ j perpendicolare al piano  i e j  , tutte le indicazioni che derivano da
verso 
c : terna levogira
queste caratteristiche portano al versore 
k .
Gli altri prodotti tra versori che non sviluppiamo ma che possono essere facilmente deducibili,
portano alla seguente regola, facile da ricordare:
i ∧ j=k , j∧ 
k =i , k ∧i = j ... e così via; quella che si presenta è cioè una situazione nella
quale il mantenimento dell'ordine ripetuto: i j 
k i j 
k i ... porta sempre ad un prodotto vettoriale
esprimibile secondo il versore che segue nell'ordine; se si cambia l'ordine dei fattori ci si ritrova invece il
versore risultante cambiato di segno nel rispetto della proprietà dell'anticommutatività segnalata.
Dopo tutte queste valutazioni, si può tornare al prodotto vettoriale originale, ottenendo nei
contributi restanti:
c =
a ∧b=a y⋅b z −a z⋅b y ⋅i a z⋅b x −a x⋅b z ⋅j a x⋅b y −a y⋅b x  k .
ESERCIZIO 4, dall'eserciziario
Se. 
a =4⋅i −3⋅jk e 
b=−i j4⋅k Trova:
modo tale che: 
a b
c =0 ?
a b , 

a −
b . Come deve essere fatto
c
in
a b=3⋅i −2⋅j5⋅

ke
a −b=5⋅i −4⋅j−3⋅
k ,


mentre per l'ultimo quesito sarà: c =−a b=−3 i 2 j−5 k .
ESERCIZIO nr, 9 da appunti
Dati i vettori 
a e 
b , le cui coordinate cartesiane sono rispettivamente 4,5 ,−3 e 0,2 ,2 , si
calcolino i prodotti 
a⋅
b, 
a ∧
b ed il valore dell'angolo compreso tra 
a e 
b .
a =4,5 ,−3 e 

b=0,2 ,2
Il prodotto scalare sarà: 
a⋅b=4⋅05⋅2−3⋅2=10−6=4 ...
a ∧b= 4⋅i 5⋅j−3⋅k ∧0⋅i 2⋅j−2⋅k 
... e quello vettoriale: 5⋅2−−3⋅2 i −2⋅4−0⋅−3⋅j4⋅20⋅5⋅
k



16⋅i −8⋅ j8⋅k
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ESERCIZIO nr, 11 da appunti
Nello spazio euclideo sono dati i 3 punti:
Si calcoli l'area del triangolo ABC.
A5,10 ,2 , B1,1 ,2 e C 0,3,5 .
a =5,10 ,12=OA , 

b=1,1,2=OB ,c =0,3 ,5=OC
Facendo riferimento alle formule:
Area Triangolo=
c⋅b⋅sen a⋅b⋅sen   a⋅c⋅sen 
si può
=
=
2
2
2
calcolare l'area del triangolo ABC, collocato nel piano definito dai tre punti citati, si può procedere andando
a costruire i vettori (lati) del triangolo, ricordando le associazioni simboliche standard per i triangoli
qualsiasi:
 OA
 AB=
 OB
 e AB=
 OB−
 OA=−4,−9,0

AB=

 =b= 254919= 83≈9,11
AB=c=
 1681= 97 e AC
 =−5,−7,3. AC = 254981≈12,45
AC
 AB

AC⋅
20630  83
83
... e per l'angolo sarà: cos =
e =arccos
=
=
≈67,67 ° .
AC⋅AB  97⋅ 83  97
97
L'altra espressione goniometrica sarà : sen ≈ sen 67,67° ≈0,925
c⋅b⋅sen  12,45⋅9,11⋅0,925
L'area del triangolo infine sarà: Area ABC =
=
=52,46
2
2

ESERCIZIO nr, 13 da appunti
Due vettori di ugual modulo (≠ 0) soddisfano le relazioni 
a ∧b∣=
a⋅
b ,
a ∧
b=  2⋅k e ∣
ove 
k è il versore perpendicolare al foglio uscente da esso verso il lettore.
• Determinare il modulo dei due vettori.
• Disegnare una coppia di vettori che soddisfano le soprascritte relazioni ed
determinare il valore dell’angolo α formato dalle loro direzioni orientate.
Andando a ricostruire analiticamente le condizioni poste dal testo:
a ∧
b=  2⋅k
∣
a ∧b∣=
a⋅
b= 2
Ma se i due prodotti, scalare e vettoriale, sono uguali allora saranno uguali
anche
il
seno
e
il
coseno
dell'angolo
compreso:
  sen =cos  =45°
{a⋅b⋅sen
a⋅b⋅cos 
e dalla precedente relazione deriverà:
2
a⋅b⋅cos =a⋅b⋅ = 2  a⋅b=2 a⋅a=a 2=2  a=b=  2 .
2
Per cui la loro collocazione nel piano cartesiano xOy prevederà due vettori che formano tra loro un angolo di
45°, ma che potranno essere collocati piuttosto liberamente (vedi figura).
ESERCIZIO nr, 14 da appunti
Si dimostri che i vettori: 
a =2⋅i −4⋅j3⋅
k ,
b=i 2⋅j −k c =−3⋅i 2⋅j−2⋅
k
formano un triangolo.
a =2⋅i −4⋅j3⋅k , b=i 2⋅j−

k e c =−3⋅i 2⋅j−2⋅
k
Se debbono formare un triangolo, la somma o il suo opposto debbono
coincidere col terzo vettore e difatti sarà:

bc =−2⋅i 4⋅j−3⋅
k =−
a .
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ESERCIZIO nr. 57 da testo, pag. 50
Si dimostri che se 
a , b e c rappresentano i vettori sovrapponibili agli spigoli di un parallelepipedo (prisma
con base a forma di parallelogramma), allora l'espressione: 
a⋅ 
b∧
c  rappresenta il volume del solido
stesso.
Riferendoci alla figura, si può notare che: 
a⋅ 
b∧
c =a⋅∣
b∧c∣⋅cos  , con δ che rappresenta l'angolo
tra lo spigolo corrispondente ad 
a e quello relativo a 
b∧c che è perpendicolare al piano che contiene
la base, allora la quantità: a⋅cos  può essere ritenuta l'altezza del parallelepipedo, mentre invece l'area
di base si può ricostruire dal modulo interno, secondo la: ∣
b ∧c∣=b⋅c⋅sen  , dato che è il doppio
dell'area del triangolo che ha per lati b e c e α è l'angolo tra i due lati.
ESERCIZIO nr. 29 da testo, pag. 49
Una stazione radar aggancia un aereo in avvicinamento proveniente da
est. Alla prima osservazione il rilevamento dell'aereo è di 1200m a 40°
sopra l'orizzonte. Come indicato in figura, l'aereo è seguito dal radar per
altri 123° calcolati in un piano verticale orientato est-ovest, finchè
scompare dallo schermo dopo un ultimo rilevamento a 2580 m. . Trovate
lo spostamento dell'aereo mentre era osservato dal radar.
AB=1200⋅cos 40 °≈919,25 m. , CD=2580⋅cos 17° ≈2467,25 m.
BD= ABCD≈919,252467,26=2286,5 m.
ESERCIZIO nr. 43 da testo, pag. 50
Due vettori r e s giacciono sul piano xy . I loro moduli sono rispettivamente di 4,5
e 7,3 unità e le loro direzioni sono rispettivamente di 320°e 85°, misurati in senso
antiorario dal semiasse positivo delle x. Quali sono i valori di r⋅s e r ∧ s ?
r⋅s =r⋅s⋅cos 125 °≈4.5⋅7.3⋅−0,57=−18,84
modulo=4.5⋅7.3⋅sen 125° ≈26,91
r ∧s
direzione : lungo asse z
verso positivo
{
RIPRESA DEL MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO
Si parte dalla ripresa del moto uniformemente accelerato su una dimensione, che ammette il moto
rettilineo uniforme come caso particolare (a=0).
La definizione delle grandezze velocità e accelerazione è generale e non specifica dei particolari moti che si
vogliono introdurre:
v
, dove su ciascuna variazione di tempo (intervallo)  t
t
viene considerata, rispettivamente, la corrispondente variazione di spazio  s e di velocità  v .
v=
s
t
e
a=
Nella loro struttura entrambe le definizioni hanno la funzione di esprimere il valore medio di entrambe le
grandezze su un intervallo discreto (finito) di tempo e di poter essere eventualmente adattate anche al
caso istantaneo con le modalità:
s
v IST =lim
t  ∞ t
v
.
e a IST = lim
 t ∞  t
Nel grafico orario (s,t) le velocità media ed istantanea sono rappresentate dalle pendenze
(coefficienti angolari) delle rette rispettivamente secanti sull'intervallo di tempo  t=t 2−t 2 e tangenti
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all'istante generico t. In quello orario (v,t), invece, le accelerazioni media ed istantanea sono rappresentate
dalle pendenze (coefficienti angolari) delle rette rispettivamente secanti sull'intervallo di tempo
 t=t 2−t 2 e tangenti all'istante generico t.
Il moto uniformemente accelerato ha la proprietà di avere l'accelerazione costante nel tempo e
grazie a questa peculiarità si ha la possibilità di sviluppare le espressioni sopra viste in questo modo:
 v=a⋅ t  v=v oa⋅ t , legge oraria per la velocità
 s=v MEDIA⋅ t  s=s ov MEDIA⋅ t
v  v oa⋅ t 
2⋅v oa⋅ t
s=s o o
⋅ t=s o
⋅ t
.
2
2
2
a⋅ t
s=s ov o⋅ t
legge oraria per lo spazio
2
Se si compongono le due leggi orarie, considerando il tempo t quale parametro eliminabile, si può
ricavare una ulteriore legge, sintetica rispetto alle prime due. Eccola:
{
2
a⋅ t
2
v
 v=a⋅ t   t =
a
 s=v o⋅ t 
{
a⋅ v 2
2
2
2
2
2
v o⋅ v
v o⋅ v  v 2 v o⋅v−v o  v−v o  2⋅v o⋅v−2⋅v ov −2⋅v⋅v ov o
a
 s=

=

=

=
a
2
a
2⋅a
a
2⋅a
2⋅a
v
 v=a⋅ t  t=
a
e alla fine:
{
v 2−v 2o
 s=
2⋅a⋅ s=v 2 −v 2o
2⋅a
, con la forma ricavata che permette di
v
 v=a⋅ t  t=
a
decidere come sia possibile dire che il prodotto
dell'accelerazione costante per lo spazio percorso in un
certo intervallo di tempo nel moto è equivalente alla
variazione della velocità al quadrato nel medesimo
intervallo di tempo; sarà relazione molto utile tra
qualche tempo, oltre che in alcuni degli esercizi.
ES. nr. 9 pag. 27 del testo
Calcolate la velocità media di un atleta per questi due
casi: (a) marcia per 80 m. a 1,2 m./s. e poi corre
per altri 80 m./ s. a 3 m./s. su una pista rettilinea
e (b) marcia per 1 min. a 1,2 m./s. e corre per
1 min. a 3 m./s. , sempre in rettilineo. (c)
Tracciate la curva x t  per i due casi e indicate
come si trovano graficamente le velocità medie.
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Pag.10 di 26
Per il primo tratto sarà:  x 1=80 m. e v 1=1.2m./ s. ,
mentre per il secondo:  x 2=80 m.e v 2=3m. / s.
Se vogliamo calcolare la velocità media dobbiamo rifarci alla definizione, senza farci ingannare dalla possibile
media aritmetica delle velocità, secondo la:
vM=
 x  x 1 x 2  x1 x 2
160
=
=
=
≈1,71 m./s.
 t  t 1 t 2  x 1  x 2 80 80


1.2 3
v1
v2
Mentre invece se si tratta di calcolare con la medesima formula la velocità media, conoscendo però gli
intervalli di tempo:
vM=
 x  x 1 x 2 v1⋅ t 1v 2⋅ t 2 1.2⋅13⋅1
=
=
=
≈2,1 m./s.
 t  t 1 t 2
 t 1 t 2
11
ESERCIZIO nr. 17 pag. 27 del testo
Il grafico della figura rappresenta un armadillo che si muove a balzi a
sinistra e a destra lungo un asse x. (a) Indicate in quali intervalli di
tempo si troverà (se si troverà) a sinistra dell'origine sull'asse delle x.
Dite anche se e quando la sua velocità sarà (b) negativa, (c) o (d) nulla.
Andando ad osservare il grafico e ricordando che il significato geometrico
della velocità media va colto nel coefficiente angolare della retta secante
e quello della velocità istantanea nel coefficiente angolare della retta
tangente
nel
punto
in
questione:
vM=
s x
=
t t
e
s
, si può ragionare sul grafico considerando che
v IST =lim
t  ∞ t
nella parte antecedente all'istante t=3 s. l'inclinazione della retta
tangente alla curva resta negativa, mentre dopo il medesimo istante
diventa positiva. Nel punto di minimo l'inclinazione della tangente va a
zero.
ESERCIZIO nr. 57 pag. 30 del testo
All'uscita da una curva, il macchinista di un treno che sta viaggiando a
100 km./h. si accorge con raccapriccio che una locomotiva è entrata
erroneamente nel binario da una diramazione posta 0.42 km. più avanti,
come appare in figura. La locomotiva viaggia a 18 km./h.. Il macchinista
aziona immediatamente la frenatura rapida. (a) Quale deve essere il
valore assoluto minimo dell'accelerazione costante impressa dal freno
per evitare una collisione ? (b) Poniamo che il macchinista si trovi in
posizione x=0 quando, al tempo t=0, avvista la locomotiva. Tracciate le
curve x(t) indicative per la locomotiva e per il treno per l'ipotesi che si eviti di misura la collisione. Aggiungete
una curva che rappresenti ciò che accade se l'intensità della frenata non è sufficiente a impedire lo scontro.
Possiamo partire costruendo le equazioni orarie dei moti per lo spazio percorso e per la velocità, rettilineo
uniforme della locomotiva, uniformemente accelerato del treno:
{
y L=0.4218⋅t
e
a
y T =0100⋅t− ⋅t 2
2
{
v L =18
.
v T =100−a⋅t
Lo scontro avverrà non solo se le due coordinate spaziali sono uguali: y L= yT o  y=0 , ma anche se si
“allineano” anche le velocità: v L =v T o  v=0 ; questo deve succedere in quanto il treno deve arrivare
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addosso alla locomotiva senza mai toccarla né sorpassarla. Sarà allora:
{
{
a
100⋅t− ⋅t 2=0.4218⋅t
2
82
18=100−a⋅t t=
a
82 a 82 2
6724−3362
3362
82⋅ − ⋅  −0.42=0 0.42=
 a=
≈8004,76 km./h. 2
a 2 a
a
0.42
82
t=
a
Dobbiamo ora tradurre in unità di misura note:
a=
3362
8004,76⋅1000
2
2
2
≈8004,76 km./ h. =
m./ s. ≈0.61 m./ s.
2
0.42
3600
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LA DESCRIZIONE DEL MOTO NEL PIANO E NELLO SPAZIO
Nel piano e nello spazio la descrizione del moto e cioè tutto quell'apparato formale che va sotto il
nome, in fisica, di CINEMATICA, ripete le leggi del moto unidimensionale nello loro struttura. L'introduzione e
l'uso del calcolo vettoriale contribuiscono a rendere le leggi molto sintetiche, ma, dal punto di vista dello
studente, elementi di complessità descrittiva.
Anche nel caso bi (tri) dimensionale si può partire dal concetto di
traiettoria, intesa come insieme di punti raggiunti dal punto materiale
descritto nello sviluppo del moto: ricordiamo che il punto materiale è
rappresentativo in ogni caso dell'oggetto in moto, anche se questo è un corpo
esteso o un sistema di corpi: in questi casi più complessi il punto
materiale che si muove è il baricentro, rappresentativo di tutto l'insieme,
ma è sempre un punto.
Per descrivere un movimento è allora necessario saper assegnare la coordinata posizione in ciascun
istante del moto e cioè, in 2D e 3D, dare il vettore:
r t , detto appunto vettore posizione. Esso è costituito dal segmento orientato che ha la
coda nell'origine e la testa nel punto dove è presente il punto materiale.
Lo spazio percorso nella visione pluridimensionale diventa anch'esso un vettore, definito al solito come
una variazione di posizione:  r =r2− r1 ottenuta in un certo intervallo di tempo  t ; da tali
definizioni, anche per analogia, discendono quelle sulla velocità e accelerazione media:
 v
; nel caso di riduzione del  t  0 si riesce a pervenire alle
t
 r
 v
corrispondenti versioni di grandezze istantanee: vi = lim
e ai= lim
. Del concetto di
t 0  t
t 0  t
vM =
 r
t
e
aM =
accelerazione istantanea ci occuperemo solo in parte; fondamentale risulta invece quello di velocità
istantanea, che ha un preciso significato nell'interpretazione di molti fenomeni. Dall'osservazione della figura
a fianco possiamo trarre tutte le conclusioni che ci servono: prendendo come riferimento il punto P nella
traiettoria e partendo da esso per far passare l'intervallo di tempo  t , si può notare che al diminuire di
tale intervallo di tempo il vettore  r , collocato sempre sulla secante che taglia in P e in P i la
traiettoria, tende a diventare sì sempre più corto, ma soprattutto tende a a collocarsi al tendere di P i a
P lungo la tangente alla traiettoria. Il risultato limite è proprio questo: la direzione del vettore velocità
istantanea ad un certo istante è la tangente alla traiettoria nel punto occupato in quel particolare istante.
Ci potrebbe essere il dubbio che il modulo di vi tenda a 0, ma in realtà il rimpicciolirsi contemporaneo dei
 r e dei  t fa sì che il loro rapporto tenda ad una quantità precisa che rappresenta il modulo del
vettore velocità istantanea. La scrittura:
vi = lim
t 0
 r d r
=
 t dt
vuol riproporre
proprio questo: la velocità istantanea è il rapporto di due quantità, una vettoriale e
l'altra scalare, entrambe molto piccole ma in grado di dare un risultato finito.
Andando a ricordare tutte le definizioni costruite sulle componenti, le grandezza
cinematiche appena definite diventano:
r =x⋅i  y⋅j ...z⋅
k
...e nel tempo: r t= x t⋅i  y t ⋅j ...z t⋅
k .
In queste relazioni x, y e z rappresentano le componenti secondo gli assi del
vettore posizione e x(t), y(t) e z(t) le componenti vengono intese come dipendenti dal
tempo (funzioni della variabile t). Conseguentemente:
 r = x⋅i  y⋅j ... z⋅
k


 r = x 2−x 1 ⋅i  y 2− y 1⋅ j ... z 2−z 1 ⋅
k
Per la velocità e accelerazione media sarà invece:
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Pag.13 di 26
 r  x i  y j  x   y 
=
=
⋅i 
⋅ j=v x⋅i v y⋅j
t
t
t
t
 v  v x⋅i  v y⋅j  v x   v y 
aM =  =
=
⋅i 
⋅ j=a x⋅i a y⋅j .
t
t
t
t
vM =
Come si vede, relazioni identiche a quelle note per il caso monodimensionale, non appena si vadano ad
analizzare le singole componenti.
MOTO UNIFORMEMENTE ACCELERATO IN DUE (TRE) DIMENSIONI
Si può ripartire proprio dalla considerazione di fondo appena fatta, per costruire nello spazio 2D e 3D
le equazioni orarie per il moto uniformemente accelerato, col suo caso particolare di moto rettilineo
uniforme.
Infatti cambia poco dalle relazioni note:
 r =vm⋅ t  r =rovm⋅ t

v =am⋅ t  v = vo am⋅ t
a o meglio, per chiarire che è costante in
Se ammettiamo poi che l'accelerazione sia costante: am =
tutte le sue tre caratteristiche, intensità, direzione e verso, possiamo dire uniforme, allora sarà:
a⋅ t
v = vo
 vo voa⋅ t 
t2
r = ro
⋅ t r = ro vo⋅ t
a⋅
2
2
Tutto è dunque come nei casi già visti, ma la struttura delle equazioni orarie è cambiata: ora siamo di
fronte a equazioni vettoriali, che debbono in ogni caso prevedere confronti, equivalenza tra grandezza
vettoriali: in tali confronti da una parte e dall'altra del segna di uguale si trovano vettori equipollenti e
cioè uguali in intensità, direzione e verso. Come però in molte altre situazioni è possibile ridurre il livello di
complessità passando a descrivere il tutto con un certo numero di equazioni scalari che corrispondono in
tutto e per tutto a quelle vettoriali, 2 nel caso di dimensione doppia (piano cartesiano) e 3 nel caso di
dimensione tripla (spazio euclideo).
Ecco lo sviluppo nelle due dimensioni in termini di formule, che sono da considerare valide in tutti i casi
di moto uniformemente accelerato:
v = vo
a⋅ t v =v ox⋅i v oy⋅ja x⋅i a y⋅j⋅ t
v =v x⋅i v y⋅j=v ox a x⋅ t⋅i v oy a y⋅ t ⋅j
Considerando che nell'ultima espressione perchè sia garantita l'uguaglianza, le quantità a sinistra
moltiplicate per il versore orizzontale i dovranno equivalere alle corrispondenti a destra e lo stesso sarà
vero per quelle moltiplicate per il versore verticale j . Dopo questa considerazione si può passare alle
equazioni scalari secondo la:
{
v x =v ox a x⋅t
. Questa coppia di equazioni unite a sistema sostituisce in tutto e per tutto
v y =v oy a y⋅ t
l'equazione vettoriale originale e rende molto comodo il riferimento alle grandezze scalari, rappresentate da
soli numeri. Attenzione comunque al passaggio, dato che è necessario recuperare in modo attento l'utilizzo
delle componenti lungo gli assi coordinati.
E' importante ricordare che nel caso in cui il moto si sviluppasse coinvolgendo pure la terza
coordinata spaziale, sarebbe necessario elaborare anche la terza equazione scalare facendo diventare il
sistema sopra:
{
v x =v ox a x⋅ t
v y =v oy a y⋅ t
v z=v oz a z⋅ t
Per ciò che riguarda l'equazione oraria della posizione sarà:
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 t2








r =x⋅i  y⋅ j= x o⋅i  y o⋅ jv ox⋅i v oy⋅ j⋅ t  a x⋅i a y⋅ j⋅
2
Con l'opportuno raggruppamento scalare, analogamente a prima, sarà:
{
t2
x=x o v ox⋅ ta x⋅
2
t2
y= y ov oy⋅ ta y⋅
2
con la consueta precisazione che si tratta del caso bidimensionale
che può essere esteso anche al caso tridimensionale.
Il caso particolare del moto parabolico
Quando un oggetto viene lanciato con una velocità iniziale non
nulla e non verticale ed è soggetto alla sola accelerazione, allora
si svilupperà un moto a traiettoria parabolica, che sta sempre
su un unico piano. Si tratta di un buon esempio, come quello che
si vedrà successivamente, di un moto piano.
Il caso di riferimento, che è in grado di far da riferimento tutte
le situazioni, è il lancio di un proiettile da parte di una bombarda
(cannone), che per comodità noi possiamo sistemare nell'origine
degli assi. Vedremo che la declinazione dei vari moti parabolici
avverrà anche grazie ad una scelta opportuna dei sistemi di
riferimento.
Ecco la presentazione del caso, adattata alla scelta appena conclusa degli assi. Si tenga conto che l'angolo
 rappresenta il cosiddetto “alzo” della bombarda e cioè l'angolo che si viene a formare tra la direzione
orizzontale e quella relativa allo sviluppo longitudinale dell'arma che spara, coincidente con la direzione della
velocità iniziale del proiettile che esce dalla canna.
Considerando che il proiettile parte dall'origine x o= y o=0 , le equazioni orarie adattate sono:
{
t2
x =x ov ox⋅ ta x⋅
=v ox⋅ t
v x =v ox a x⋅ t=v ox
2
v y =v oy a y⋅ t=v oy −g⋅ t
t2
t 2
y=v oy⋅ ta y⋅
= y ov oy⋅ t−g⋅
2
2
Considerando che è presente anche l'alzo  e considerando le componenti del vettore velocità, secondo le
v ox=v o⋅cos 
relazioni:
, le leggi orarie sulle componenti della posizione saranno:
v oy =v o⋅sen 
{
{
{
x
v o⋅cos 
 t2
y=v o⋅sen ⋅ t−g⋅
2
x=v o⋅cos ⋅ t   t=
Il tempo che è già stato esplicitato nella prima equazione; se infatti consideriamo il tempo alla stregua di un
parametro, il sistema diventa di equazioni parametriche; individuando quell'unica equazione che può derivare
eliminando il parametro e facendo sopravvivere le due coordinate spaziale variabili, è possibile ottenere
l'equazione della traiettoria. Per facilitare la costruzione, decidiamo che quando il proiettile si trova in
corrispondenza dell'origine, l'istante di tempo è nullo di modo che:  t=t −t o=t−0=t .
Si otterrà:
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{
x
v o⋅cos 
x2
v 2o⋅cos 2 
x
g
y=v o⋅sen ⋅
−g⋅
=tg ⋅x−
⋅x 2
2
2
v o⋅cos 
2
2⋅v o⋅cos 
t=
Questa equazione rappresenta una parabola dai coefficienti: a=−
g
, b=tg  e c=0
2⋅v ⋅cos 2 
2
o
e
quindi priva di termine noto (... e in effetti il proiettile parte dall'origine), con la concavità rivolta verso il
basso e con:
x=−
b
=
2⋅a
2
2 
2
2
tg 
sen   2⋅v o⋅cos  v o⋅sen ⋅cos  v o⋅sen 2 
=
⋅
=
=
2⋅g
cos 
 2⋅g
g
2⋅g
2
2
2⋅v o⋅cos 
che
rappresenta l'equazione dell'asse di simmetria della parabola. Lunghezza caratteristica della traiettoria
parabolica è la gittata, che coglie la distanza orizzontale percorsa dal proiettile prima di ritoccare terra;
causa la specifica simmetria della parabola rispetto all'asse, la sua ascissa, che è anche la distanza
dall'origine, sarà doppia di quella corrispondente all'asse di simmetria e cioè:
v 2o⋅sen ⋅cos  v 2o⋅sen 2
x G =2⋅
=
g
g
Il valore della gittata a parità di condizioni è massimo quando l'alzo =45 o , dato che per tale valore
sen 2  matura il suo valore massimo unitario.
Altra grandezza importante è costituita dalla massima altezza altezza raggiunta, individuabile nel vertice
della parabola e ottenibile con la formula:
b2 −4ac
b2

, essendo il termine noto nullo.
=−
=−
4a
4a
4a
2
2
2
2
b2
tg 2 
sen 2  v o⋅cos  v o⋅sen 
y V =− =
=
⋅
=
;
4a
4⋅g
2⋅g
2⋅g
cos 2 
2
2
2⋅v o⋅cos 
y V =−
Da qui:
in termini di angolo questa coordinata raggiunge il massimo ad alzo verticale e cioè per
=90o .
ES. nr. 14 pag. 70 del testo
Una particella parte dall'origine al tempo t=0 con velocità iniziale di 8⋅j m./s. e si muove nel piano xy
con un accelerazione costante di 4⋅i 2⋅j  m./s. 2 . (a) Qual è la sua coordinata y nell'istante in cui la
sua coordinata x vale 29 m. ? (b) Qual è la velocità scalare della particella in quell'istante ?
Si tratta di un moto ad accelerazione costante (uniforme, con modulo, direzione e verso che si mantengono
nel corso del moto: a=  42 22 =  20=2⋅ 5 m. / s.2 ). Quel che ci interessa però è la coppia di equazioni
orarie delle componenti della posizione:
Se la coordinata x vale
{
t2
t2
x=x o v ox⋅ ta x⋅
=4⋅
=4⋅ t 2
2
2
.
 t2
t2
y= y ov oy⋅ ta y⋅
=8⋅ t2⋅
2
2
29 m. , allora sarà:
{
 
x
29
=
≈2,7 s.
4
4
y≈8⋅2,77=28,54 m.
x=4⋅ t 2   t=
Interpretando la velocità “scalare” come modulo della velocità in quell'istante, dobbiamo usare le leggi orarie
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delle componenti della velocità, adattate all'istante:
t= t ≈2,7 s. .
{
v x =v ox a x⋅ t≈4⋅2,7=10,8 m.s.
,
v y =v oy a y⋅ t≈82⋅2,7=13,4 m./ s.
v = v 2x v 2y ≈ 10,8 213,42≈17,21 m./ s.
con il modulo della velocità che diventa:
ESERCIZIO nr. 17 pag. 70 del testo
Una particella A si sposta sulla retta y=30m. a velocità costante
v di modulo v =3 m./s. e direzione parallela all'asse x, come in
figura. Una seconda particella B parte dall'origine, con velocità iniziale
nulla e accelerazione 
a di modulo a=0.4 m./s. 2 , nello stesso
istante in cui la particella A attraversa l'asse delle y. Quale angolo 
fra 
a e il verso positivo dell'asse delle y potrebbe provocare una
collisione fra le due particelle?
Impostiamo intanto le equazioni orarie scalari secondo le due direzioni, orizzontale e verticale sia per la
velocità (le unità di misura saranno inserite alla fine):
{
vA=3⋅i
vB=a x⋅i a y⋅j ⋅ t=0.4⋅sen ⋅i 0.4⋅cos ⋅j⋅t
... che per la posizione:
{
rA=3⋅i⋅t30⋅j
 a ⋅i a y⋅j⋅t 0.4⋅sen ⋅i  0.4⋅cos ⋅j⋅t 2 1
rB= v ox⋅i v oy⋅j⋅t x
=
= ⋅ sen ⋅i cos ⋅j⋅t 2
2
2
5
2
Affinchè le due particelle collidano, dovranno trovarsi nel medesimo istante allo stesso punto e, a livello di
1
5
2
equazione dovrà essere: ra=3⋅i⋅t 30 j = ⋅ sen ⋅i cos ⋅j ⋅t = rb ; ma da questa equazione se ne
{
1
15
3⋅t= sen ⋅t  2 t =
5
sen 
possono ricavare 2, secondo:
; regola della
1
cos ⋅225
3⋅cos 
2
30= cos ⋅t 150=
 2=
5
sen 2 
sen 2 
goniometria, considerata la relazione fondamentale:
sen 2 cos 2 =1 sen 2 =1−cos 2  ; la
sostituzione dà:
3⋅cos 
2
2
 2⋅1−cos =3⋅cos  2⋅cos 3⋅cos −2=0 , equazione di secondo grado che si
2
1−cos 
può
risolvere
tranquillamente
nella
variabile
cos  :
−3± 916
−35 1
cos =
 unica soluzione :cos =
= =60 ° .
4
4
2
2=
ESERCIZIO nr. 25 pag. 71 del testo
Un proiettile è lanciato con la velocità iniziale di 30 m./ s. con un alzo di 60o rispetto al piano
orizzontale. Calcolate modulo e direzione della sua velocità (a) dopo 2 s. e (b) dopo 5 s. dal lancio.
Per risolvere questo problema è sufficiente applicare le formule introdotte per le componenti della velocità,
adottando gli opportune adattamenti relativi alla situazione iniziale:
{
v x 2=v o⋅cos 60o 0⋅ t=30⋅0.5=15 m./ s.
e
v y 2=30⋅3/2−9.81⋅2≈6.36 m./ s.
{
v 5=15 m./ s.
v y 5=30⋅ 3/2−9.81⋅5≈−23.07 m./ s.
Note le componenti si può passare ad individuare le direzioni e i moduli corrispondenti, secondo le:
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{
vy
6.36
=arctg
≈23.0o
vx
15
e
−23.07
o
 5=arctg
≈−57.0
15
2≈arctg
{
v  2≈  1526.36 2≈16,29 m. / s.
v 5≈ 152 23.072≈27.05 m. / s.
ESERCIZIO nr. 28 pag. 71 del testo
Una palla viene lanciata direttamente contro un muro con una velocità iniziale di 25m./s. ad un angolo di
40 ° rispetto al suolo orizzontale , come indicato dalla figura. Il muro si trova a 22 m. dal punto di
lancio. (a) Per quanto tempo rimane in aria la palla prima di colpire la parete ? (b) Quanto più in alto del
punto di lancio colpisce la parete ? (c) Quali sono le componenti orizzontale e verticale della sua velocità
all'istante in cui colpisce la parete ? (d) In questo istante ha già superato il vertice della traiettoria?
Per calcolare il tempo in cui la palla resta in aria, il cosiddetto
“tempo di volo”, è sufficiente prendere in considerazione il moto
orizzontale, che per sua natura è rettilineo uniforme e il calcolo
conseguente del tempo può essere ottenuto così:
 t=t f =
s
22
=
≈1,15 s. .
v ox 25⋅cos 40 °
Per ottenere lo sbalzo verticale, sarà necessario considerare
l'equazione scalare lungo l'asse verticale, adattandola per
l'ennesima volta alla situazione particolare:
2
2
t
1,15
 y=v oy⋅ t−g⋅
≈25⋅sen 40°⋅1,15−9,81⋅
≈18,48−6,48=12m.
2
2
Andando alle componenti orizzontale e verticale del vettore velocità a quell'istante, si usano la tradizionali
equazioni orarie:
{
v x =v ox a x⋅ t≈25⋅cos 40 °0⋅1,15≈19,2 m.s.
v y =v oy a y⋅ t≈25⋅sen40 ° −9,81⋅1,15≈16,1−11,3=4,8 m./s.
Essendo la componente verticale della velocità ancora positiva, vuol dire che siamo nella fase di salita prima
di arrivare al vertice della traiettoria parabolica, punto dal quale comincia la discesa e la componente
verticale della velocità comincia ad essere e resta negativa nelle traiettorie paraboliche complete.
ESERCIZIO nr. 44 pag. 73 del testo
Un aeroplano, volando a 290 km./h. con un angolo di 30o verso il basso rispetto al piano orizzontale,
sgancia un falso bersaglio radar, come illustrato in figura. La distanza orizzontale fra il punto di rilascio e il
punto in cui il falso bersaglio colpisce il terreno è di 690 m. (a) A che quota si trova l'aereo al momento
dello sgancio ? (b) Per quanto tempo è rimasto in aria il falso bersaglio ?
Anche in questa situazione la scelta dell'opportuno sistema di riferimento
garantisce l'opportuna semplificazione della risoluzione: se si adotta
quello che ha per origine O il punto di sgancio del proiettile, asse delle
ascisse quello orizzontale da sinistra verso destra e asse delle ordinate
quello verticale dall'alto verso il basso si ottengono i seguenti sistemi di
equazioni:
{
x =290⋅cos30 o ⋅ t
 t2
y=290⋅sen30o ⋅ t g⋅
2
km. ≈69,8⋅t
m.
km. ≈40.3⋅t4.91⋅t 2
m.
Si faccia attenzione nelle formule alla scelta dei segni delle quantità (in particolare l'accelerazione do gravità
g) coerente con il sistema di riferimento.
Andiamo ora a rispondere al quesito (a) , partendo dall'equazione della traiettoria, ricavabile dalle equazioni
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appena costruite:
{
x
69.8
40.3
4.91 2
2
y≈40.3⋅t4.91⋅t =
⋅x
⋅x ≈0.58⋅x10−3⋅x 2
2
69.8
69.8
x≈69.8⋅t t ≈
Inserendo in quest'ultima equazione l'ascissa del punto di contatto, si potrà ottenere quello della ordinata e
cioè dell'altezza dalla quale è stato sganciato l'oggetto:
y 690m.=hsgancio≈0.58⋅69010−3⋅690 2=876.3 m. .
Per l'altro quesito, il (b), si può far riferimento semplicemente alla equazione oraria sulla ascissa, or ora
esplicitata e ricavare:
t volo=
x volo 690
=
=9.9 s. .
69.8 69.8
Aspettando il moto circolare uniforme...
Diventa molto utile, al fine di ridurre l'ampiezza della trattazione sul moto circolare uniforme e su quello
armonico, introdurre le formule di addizione e sottrazione del coseno e del seno, facendo ricorso alle
definizioni che abbiamo dato di prodotto scalare e vettoriale.
Se pensiamo al prodotto scalare dei due versori rappresentati in figura,
il primo Ver1 che forma un angolo  col semiasse positivo delle x e il
secondo
Ver2 che invece forma un angolo  con lo stesso
semiasse, possiamo notare come tra i due si possa identificare l'angolo
− e la moltiplicazione tra vettori possa diventare:
Ver1⋅Ver2=1⋅1⋅cos−=cos ⋅cos sen ⋅sen  ,
conformemente alla doppia definizione del prodotto scalare, dato che i
coseni stanno a rappresentare le componenti orizzontali dei versori e i seni quelle verticali; la formula della
cosiddetta “sottrazione” del coseno è rappresentata dai secondi due membri:
cos −=cos ⋅cos sen ⋅sen 
Ecco tre casi particolari:
cos −=cos ⋅cos sen ⋅sen =−1⋅cos 0⋅sen =−cos 



cos  −=cos ⋅cos sen ⋅sen =0⋅cos 1⋅sen =sen 
2
2
2
0
0
0
cos −=cos  −=cos ⋅cos sen ⋅sen =1⋅cos 0⋅sen =cos  .
2
2
2
Coi medesimi due versori assoggettati al prodotto vettoriale e determinati nel modulo del vettore risultante
dal calcolo si può ottenere:
∣Ver1∧Ver2∣=1⋅1⋅sen−=∣cos ⋅sen−sen ⋅cos ⋅k∣=cos ⋅sen −sen⋅cos 
Sembrerebbe corretto, ma invece deve essere considerato con attenzione; il prodotto vettoriale non è
commutativo e nel modo in cui abbiamo proceduto la copertura dell'angolo più piccolo con le note regole del
verso assicura che il risultato andrebbe orientato secondo il verso negativo dell'asse delle z , per cui il
modulo sarebbe da contare col segno contrario rispetto a quello che abbiamo appena visto: la regola di
“sottrazione” per il seno diventa allora:
sen −=sen ⋅cos −cos ⋅sen 
I casi notevoli corrispondenti a quelli del coseno saranno:
sen −=sen ⋅cos −cos ⋅sen=0⋅cos −−1⋅sen=−sen 



sen  −=sen ⋅cos −cos ⋅sen =1⋅cos −0⋅sen =cos 
2
2
2
sen −=sen0−=sen0⋅cos −cos 0⋅sen =0⋅cos −1⋅sen =−sen 
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Per le regole cosiddette di “addizione” si usa invece un semplice trucco:
cos =cos−−=cos ⋅cos −sen⋅sen−=cos ⋅cos −sen ⋅sen 
sen =sen−−=sen ⋅cos −−cos ⋅sen −=sen ⋅cos cos ⋅sen .
Sono regole che permettono di individuare le regole con cui la sottrazione e la addizione tra angoli si riflette
sul risultato del calcolo delle espressioni corrispondenti.
Vediamo come ulteriore applicazione un calcolo che già conosciamo:
sen 2⋅=sen =sen ⋅cos cos ⋅sen=2⋅sen  cos  ; per il coseno invece:
2
2
cos 2⋅=cos =cos ⋅cos −sen ⋅sen =cos −sen  .
Il moto circolare uniforme
Tra i moti che si possono descrivere sopra un piano cartesiano troviamo anche quel moto che ha per
traiettoria un'altra conica molto conosciuta nello studio della geometria analitica e cioè la circonferenza; se
su questa si garantisce anche il mantenimento del modulo della velocità, allora si può ottenere il cosiddetto
moto circolare (→ traiettoria) uniforme (→ velocità costante in modulo).
Gli esempi di questo moto sono frequentissimi: il cavallino
sulla giostra del luna park, la luna attorno alla terra, la
terra attorno al sole, il lazo di Tex Willer, .... Tutti esempi
che diventano adatti non appena siano in condizione di
regolare ripetitività: le terra gira attorno al sole su una
traiettoria ellittica a velocità non costante; per una
descrizione approssimata però può andare bene prendere
come riferimento un moto che si sviluppa su un circolo a
modulo di velocità costante.
Nonostante la sua facile introduzione, questo moto richiede l'introduzione di molte grandezze nuove o quasi
(periodo, frequenza, velocità angolare e scalare, accelerazione centripeta e centrifuga) e soprattutto un
impianto descrittivo elaborato e che pesca in modo ampio dall'insieme delle conoscenze di goniometria con
tutte le espressioni di seno e coseno complete.
Andiamo sulle definizioni brevi:
periodo T: è l'intervallo di tempo necessario a completare un
circonferenza completa (un giro) e si quantificherà in sec. ;
frequenza n (f): è il numero di giri che vengono compiuti in quel
particolare intervallo di tempo che è il secondo e si quantificherà in
sec.−1  Hertz  H. .
Alla figura riportata invece si può far riferimento per introdurre la
velocità angolare:
=

, ovvero il rapporto tra la ampiezza
t
angolare   spazzata dall'oggetto mobile e l'intervallo di tempo  t necessario a spazzarla. Per
contrasto la velocità lungo la traiettoria estende la sua denominazione a velocità lineare. La velocità
angolare si quantifica in radianti /sec. se l'angolo si esprime appunto in radianti o addirittura in
sec.−1 come la frequenza, dopo aver considerato che il radiante è un numero puro.
Con la definizione appena data per la velocità angolare si può costruire il
conseguente legame con la velocità lineare. Partendo dal presupposto che
entrambe sono costanti e possono essere riferite entrambe all'intero circuito
circolare secondo le:
semplice confronto:
2⋅
2⋅⋅R
e v=
. Dalle due si deduce per
T
T
2⋅⋅R
v=
=⋅R . Nella struttura delle relazioni il
T
=
legame è addirittura di natura vettoriale, che contiene al suo interno la relazione appena vista e che
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coerente con la rappresentazione della figura dove il verso del vettore 
 viene deciso in tale modo: se ci si
pone coi piedi sul centro del moto e con la testa nel verso corretto il risultato è quello di osservare il moto
secondo il senso antiorario. Il legame vettoriale è il seguente: v =∧
 r .
La descrizione del moto circolare uniforme ha le sue complessità, ma, una volta compreso, darà ampie
agevolazioni nella descrizione del moto armonico, indispensabile a sua volta per comprendere il moto
ondulatorio.
La questione prioritariamente fondamentale è capire come possa una
velocità istantanea, pur cambiando continuamente direzione,
mantenersi costante in modulo: in altri termini, qualcosa la fa
cambiare, riuscendo tuttavia a non modificarne il modulo: nella scala
gerarchica delle grandezze cinematiche è l'accelerazione che stabilisce
come possa variare la velocità ed è proprio su questa che si concentra
l'attenzione.
La specificità del vettore velocità in tutti i punti della traiettoria, rende
irrinunciabile la determinazione del vettore accelerazione istantanea: inseguendo l'oggetto in movimento e
ricostruendo il vettore accelerazione media come variazione del vettore velocità lineare, e poi facendo tendere
 t  0 , dal disegno si evince che aist tende ad assumere una direzione che collega il punto sulla
traiettoria al centro della circonferenza e il verso orientato dal punto verso il centro: in altri termini
l'accelerazione viene detta centripeta. La sintesi prevede appunto che rispetto a traiettorie di una
qualsiasi forma il vettore accelerazione può essere riconosciuto in ogni punto avere componenti tangenziali
(dirette cioè lungo la prosecuzione quasi puntuale della traiettoria) e centripete (dirette
perpendicolarmente alla prosecuzione puntuale traiettoria): la prima decide la variazione in modulo della
velocità e la seconda in direzione. Nel caso del moto circolare uniforme siamo in presenza in ogni punto
(istante) di pura accelerazione centripeta e dunque di variazione sistematica della velocità in direzione.
Ma qual è il modulo della aist =acentripeta ? Per dedurlo facciamo la seguente
costruzione: possiamo pensare di collocare tutti i vettori vist con la loro
coda in un medesimo punto C: in tal modo, descrivendoli tutti, possiamo
capire come possano riempire in un giro completo un cerchio di centro C e
raggio R=v ist , per il fatto che ogni direzione è possibile una volta che ci si
muova su tutti i punti della traiettoria a forma di circonferenza. Prese due
velocità (direzioni) vicinissime, come abbiamo appena visto, e cioè a breve
distanza temporale sulla circonferenza (  t  0 ) la

v sarà
rappresentata dal segmento tangente alla stessa curva che, al rimpicciolirsi
del  t diventerà un pezzo ridotto di circonferenza. Componendo tutti
questi pezzi si potrà dire che la variazione del vettore velocità lungo un
intervallo di tempo coincidente col periodo T è rappresentata dalla lunghezza della circonferenza del raggio R
segnalato sopra e si arriverà a costruire la seguente formula:
a centripeta =a ist =
 v 2⋅⋅v 2⋅⋅v v 2 2⋅R 2
=
=
= =
= 2⋅R
, con tale modulo che resta costante
t
T
2⋅⋅R R
 R
v
nel corso del moto. Anche la direzione dell'accelerazione è destinata a mutare punto a punto lungo tutta il
giro, assumendo tutte le possibili direzioni e mantenendosi sempre perpendicolare al vettore velocità
istantanea e alla sua sinistra.
La cinematica del moto circolare uniforme è invece elaborata e prendiamo a considerarla riadattando la
descrizione e osservandola in figura, nella quale era presente un oggetto che percorreva una traiettoria
circolare con verso antiorario e ad un certo istante occupava la posizione P  R⋅cos  , R⋅sen  ,
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individuato dal vettore posizione: r =R⋅cos ⋅i R⋅sen ⋅j .
Dalla nuova figura, più grande e più chiara, si può notare, per il gioco degli angoli, che la velocità istantanea è
descritta
v=
dal
vettore:
v =−v⋅sen⋅i v⋅cos ⋅j=−
2⋅⋅R
2⋅⋅R
⋅sen ⋅i 
⋅cos ⋅j , con
T
T
2⋅⋅R
=⋅R che rappresenta il modulo della velocità, costante in tutto il movimento; a concludere
T
abbiamo la facilità di dire che il vettore accelerazione istantanea, centripeta, ha lo stessa direzione del
vettore posizione r ma verso opposto e cioè:
2
2
2
v
v
v
a =−a⋅cos ⋅i −a⋅sen⋅j=− ⋅cos ⋅i − ⋅sen⋅j=− ⋅cos ⋅i sen ⋅j .

R
R
R
Questa forma può essere modificata in:
2
2
v
v
a =− ⋅ cos ⋅i sen ⋅j =− 2⋅R⋅cos ⋅i sen ⋅j=−2⋅r

R
R
Grazie a queste equazioni e a quelle che mostrano la regolarità della variazione dell'ampiezza angolare
secondo la sua definizione:  =− o=⋅ t , diviene possibile creare il set delle equazioni orarie di
questo moto. Queste, a differenza di ciò che succedeva nel moto parabolico, presentano anche
l'accelerazione che dipende dal tempo:
{
r =R⋅cos ⋅t⋅i R⋅sen⋅t ⋅j
2⋅⋅R
v2


,
con:
t
,

=0,
v=
,
a=
v =−v⋅sen ⋅t ⋅i v⋅cos⋅t ⋅ j

o
o
T
R


a =−a⋅cos ⋅t⋅i −a⋅sen⋅t⋅ j

Si tratta di relazioni elaborate, che danno modo di ricostruire
un moto su traiettoria arcuata, trattano il caso di un moto
ad accelerazione variabile che si ripete con cadenza fissa
(periodico).
Traduciamo con un caso particolare la potenza descrittiva
delle nostre formule: ci sia il cavallino (osserviamo dall'alto la
sua posizione iniziale in figura) fissato sopra una giostra in
rotazione con un periodo pari
T =20s. a distanza
dal
centro
di
rotazione
e
che
occupa nell'istante
R=4m.
iniziale
t o=0 la posizione inclinata di
=

. Se, sulla
6
base di tali dati iniziali, cerchiamo di dire quale sia il vettore
accelerazione, velocità istantanea e posizione all'istante
t 1=15s. , siamo di farlo con immediatezza secondo le:
=o⋅ t=o
{
2⋅
 2⋅
 
 3⋅ 5⋅
⋅ t = 
⋅t=  ⋅15= 
=
.
T
6 20
6 10
6
2
3
5⋅ 
5⋅  R  R⋅ 3 
⋅i R⋅sen
⋅ j= ⋅i −
⋅j
3
3
2
2
5⋅ 
5⋅ 
v⋅ 3  v 
v =−v⋅sen

⋅i v⋅cos 
⋅ j=
v=
⋅i  ⋅ j
3
3
2
2
5⋅ 
5⋅  −a  a⋅ 3 
⋅i −a⋅sen
⋅ j= ⋅i 
⋅j
a =−a⋅cos 
3
3
2
2
con:
r =R⋅cos 
R=4m. , v=

2⋅
2
2
⋅4=
m./ s. e a= 2⋅R=
⋅4= m./s. 2 .
10
5
100
25
ESERCIZIO nr. 63 pag. 74 del testo
Doc. Walter Manzon per la 3 L
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Calcolate il modulo dell'accelerazione dovuta alla rotazione della terra per una persona che si trovi a
latitudine di 40 o N. e il vettore accelerazione totale nel medesimo punto. Si trascuri l'accelerazione di
Coriolis ( ... se la si conosce !).
La questione più importante affrontata in questo esercizio è relativa alla
distanza dall'asse attorno al quale avviene la rotazione. In questo caso (vedi
figura) si è tentati di considerare la circonferenza rappresentativa del profilo
della terra quale traiettoria: in realtà non lo è, dato che la rotazione di ciascun
oggetto collocato sulla superficie della terra
avviene attorno al punto intersezione tra l'asse
polo sud-polo nord della terra stessa con il piano
che contiene la traiettoria di rotazione e quindi il
piano che idealmente contiene il parallelo
corrispondente alla latitudine. Nel nostro caso il raggio di rotazione sarà:
R= RTerra⋅sen 90o −40 o=RTerra⋅sen 50o ≈6370⋅0.76=4.841⋅106 m. .
Fatto questo calcolo, relativamente alla prima richiesta, la conclusione è semplice:
2
v2
2⋅⋅R 2 1 
2⋅ 2 

ac = ⋅−i =−
 ⋅ ⋅i =−
 ⋅R⋅i =−
 ⋅4.841⋅10 6 i ≈−0.026⋅i m./ s. 2
R
T
R
24 h.
12⋅3600
Relativamente alla seconda richiesta invece sarà necessario fare la somma vettoriale delle accelerazioni nel
punto; c'è da tener conto però che la persona che è in rotazione sentirà l'effetto dell'accelerazione centrifuga
opposta a quella centripeta appena calcolata, per cui il risultato sarà:
atot = a centrifuga
g =0.026⋅i −9.81⋅sen 50o⋅i −9.81⋅cos 50o⋅j=−7.49⋅i −6.31 j m./ s.2
 
dato che: 
g è diretta verso il centro della terra.
Un gioco da tavolo (vedi figura) è pensato in questo modo: c’è un basetta di
forma rettangolare, sulla quale è montato un cerchio di raggio
R = 10cm. che viene fatto ruotare attorno al proprio centro O con
velocità angolare costante (senso antiorario) che la porta a fare
ciascun giro in un periodo: T = 2sec. . Sulla verticale sopra il cerchio
sta un birillo. L’abilità del giocatore consiste nello sganciare la
pallina, abbassando con un meccanismo il chiodino che tiene
bloccata la pallina proiettile, al punto giusto in modo da farla
schizzare verso il birillo ed abbatterlo.
Fissato un sistema di assi cartesiani orientati in modo tradizionale
e con origine O nel centro del cerchio, si pensi che nell’istante iniziale
la pallina-proiettile si trova nel punto più in alto e cioè verticalmente sopra O. Il gioco parte cioè con
la pallina sistemata nel punto più in alto del cerchio.
(a) Si ricavino le grandezze caratteristiche del moto circolare uniforme descritto (frequenza,
velocità angolare e moduli di velocità e accelerazione);
(b) Si assegni la legge che descrive la variazione dell’angolo che individua la posizione, considerando il
punto di partenza;
(c) Si ricavi il vettore posizione e accelerazione centripeta all’istante: t = 4,5sec. ;
(d) Se si ammette che la posizione corretta di sgancio della pallina è quella corrispondente al
vettore posizione inclinato di 30o rispetto al semiasse positivo delle ascisse, si preveda la
posizione del birillo sulla verticale del centro e il tempo impiegato dalla pallina per urtare lo
stesso.
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Applichiamo le formule per ottenere le risposte al quesito (a):
1 1
2⋅
f == = =0.5 Hz. , =
=2⋅⋅= rad./ s.
T 2
T

v2
2
2
v =⋅R=⋅0.1= m./s. , a= =
= m./ s.2
10
R 100⋅0.1 10
Considerato che il punto di partenza è posto sulla verticale di O, grazie al tradizionale modo di intendere
l'angolo nullo quando si è sulla parte positiva dell'asse delle ascisse, si avrà
che:
 o=

2
e la legge richiesta in (b) per la variazione dell'angolo sarà:

= o⋅t= ⋅t , assegnato: t o=0 .
2
All'istante t = 4,5sec. saranno invece passati esattamente un numero di
periodi pari
90o o
a:
n p=
4.5
1
=2 , così da far sistemare la pallina
2
4

rad. più avanti, nel punto orizzontalmente più a sinistra e coi
2
vettori posizione ed accelerazione orizzontali. Le loro espressioni, senza molti
calcoli saranno:

 ⋅9
2
= ⋅4.5= 
=5⋅ e r 5=−0.1⋅i m. , ac =a⋅i = ⋅i .
2
2
2
10
Per l'ultimo quesito, il (d) si può far invece riferimento alla geometria del problema: osservando nell'ulteriore
figura riportata, si nota che, dovendo la pallina, lasciata libera dal vincolo, prenderà a seguire la direzione
della tangente e percorrerla fino a giungere ad abbattere il birillo. La tangente risulta perpendicolare alla
traiettoria a forma di circonferenza e verrà a formarsi un semi-triangolo equilatero OTB, di lato OB: tale OB
sarà di lunghezza doppia rispetto alla semi-base OT, lunga R=0.1 m. ; le
coordinate del punto B (posizione del birillo) saranno dunque B 0,0.2 m. .
Per il tempo impiegato invece si può dire che la velocità dal momento del distacco
al momento dello scontro col birillo non cambierà e il tratto TB sarà percorso
nella
modalità
del
moto
rettilineo
uniforme,
con
la
legge:
 s=v⋅ t  t=
triangolo
s
. Il tratto percorso rappresenta l'altezza del semiv
equilatero
appena
0.2⋅ 3
=0.1⋅ 3 m.
2
10
3
 t=0.1⋅ 3⋅ =  s. .
 

 s=TB=
decritto
e
sarà
ampio:
e l'intervallo di tempo richiesto diventerà:
ESERCIZIO nr. 64 pag. 74 del testo
Una particella P viaggia a velocità costante su un cerchio di raggio
R=3m. , come si può vedere dalla figura, compiendo una rivoluzione ogni
20 s. . Passa per il punto O all'istante t o=0 . Trovate modulo e
direzione dei seguenti vettori: (a) posizione rispetto ad O per
t=5 s. , 7.5 s. e 10 s. . Quindi per l'intervallo  t=5 s. dalla fine del
o
o
5 secondo alla fine del 10 secondo, (b) spostamento e (c) velocità
media.
E infine all'inizio e alla fine di questo intervallo, (d) velocità istantanea e (e)
accelerazione istantanea.
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La complicazione di tale problema risiede nel riferimento cartesiano scelto,
solitamente al centro della traiettoria a forma di circonferenza; si sceglie invece
il punto O, estremità inferiore del circolo. E' altrettanto vero però che ogni
vettore posizione descritto rispetto a O è il risultato della somma vettoriale del
vettore che congiunge O col centro della circonferenza e di quello che congiunge
tale centro col punto sulla traiettoria in questione, come si può vedere dalla
 OC
 CP
 ); per cui rispetto alla usuale descrizione
figura affiancata ( OP=

(vettore CP non si fa altro che operare una traslazione di vettore).
Andiamo ai quesiti: i tempi coinvolti ( 5, 7.5 e 10 s.) prevedono il trascorrere di
un quarto, 1.5 quarti e un mezzo del periodo: allora le posizioni coinvolte,
rispetto ad O, saranno individuate dalle corrispondenti frazioni di angolo giro e
cioè angolo retto (A) , angolo retto più mezzo angolo retto (... 135o ...) (B) e
 R⋅j , i vettori posizione saranno:
angolo giro (D) . Essendo poi: OP=
(A):
 OC
 CA=R⋅

jR⋅i = R⋅[ i j ] m.OA=R⋅ 11=3⋅ 2 m.e OA=arctg 1/1=45
rA=OA=
 OC
 CB=
 R⋅jR⋅cos 45o⋅i R⋅sen 45o⋅j=3⋅[  2⋅i   2 1⋅j] m.
rB=OB=
2
2
 2 1
(B):
1 1
2
 22 =67.5 o
OB=3⋅  1 2=3⋅ 2 2≈5.55 m. e OB =arctg
=arctg
2 2
2
2
2
 OC
 CD=R⋅

jR⋅j=2⋅R⋅j OD=2⋅R=6 m. e OD=90o
(D): rD =OD=
o

Individuati i due vettori posizione all'inizio e alla fine dell'intervallo segnalato e
cioè rA e rD , il calcolo sullo spostamento e velocità media, quesiti (b) e (c) in
questo intervallo è veloce. Sullo spostamento:
r =rD −rA=2⋅R⋅j−R⋅ i j=R⋅−i j=3⋅−i j m.
e sulla velocità:
vm=
 r 3⋅−i j

=
=0.6⋅−i j m./ s.
t
5
Procedendo con i calcoli sulle grandezze istantanee, quesito (d) ed (e),
collocandosi queste in posizioni chiare della traiettoria come illustrato anche in
figura e non dipendendo le grandezze velocità e accelerazione dal sistema di riferimento sarà:
2⋅⋅R  6⋅ 3⋅ 
−3⋅ 
⋅j=
=
j m./ s. e vDi=−v⋅i =
i m./ s. ;
T
20
10
10
9⋅2
2
2
2
v
100 
3⋅ 
3⋅ 
aAi =−a⋅i =− ⋅i =−
⋅i =−
⋅i m./s. 2 e aDi=−a⋅j=−
⋅ j m./ s.2
R
3
100
100
vAi =v⋅j=
Il moto armonico
Grazie alla precisa descrizione del moto circolare uniforme abbiamo l'opportunità di descrivere la cinematica
del moto armonico, che deve il suo nome alla regolarità con la quale si ripropone nel tempo: esso infatti è un
moto periodico, le cui specificità si ripetono ad infinito nel tempo. Si tratta di un'occasione interessante: la
sua introduzione nella dinamica, e cioè nel settore della fisica che si occupa di ricostruire le cause dei moti,
dovrebbe partire dalla forza elastica, la quale presenta elementi di una certa complessità. Meglio darci
un'occhiata in anticipo...
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Il moto armonico ha come ambiti notevoli di realizzazione quelli di un pendolo che oscilla con angoli rispetto
alla verticale piccoli e quelli dei moti oscillatori (peso agganciato ad una molla che va su e giù e delle onde).
Nella nostra ottica sarà semplicemente la proiezione del moto circolare uniforme lungo una delle due
direzioni, quella orizzontale o quella verticale: da un punto di vista cinematico è tutto!
Siamo dunque già in possesso delle equazioni del moto e tutto ciò che faremo sarà dedicare un'attenzione
particolare a quelle grandezze che prima avevano un significato di un certo tipo e nel nuovo moto dovranno
essere rivisitate.
Prima di presentare le equazione del moto, però, dedichiamo
una breve parentesi alla visualizzazione del moto armonico:
esso può essere ottenuto grazie ad una rotazione di un angolo
retto del piano sul quale si sviluppa il moto circolare uniforme
fino a mostrarci solamente uno dei diametri possibili della
circonferenza-traiettoria: grazie all'immagine qui a fianco tale
rotazione è simulata grazie alla proiezione di una luce dalla
sorgente (light source) sulla pallina che è in rotazione sul
tavolo (turntable) che permette di immaginare il moto
progressivo sullo schermo (screen) sistemato sullo sfondo, in
corrispondenza del quale si può riconoscere come equivalente al
movimento della pallina che oscilla sul pendolo.
Le leggi del moto armonico saranno allora:
{
{
x =R⋅cos  o⋅t
y=R⋅cos o ⋅t 
v x =−v⋅sen o⋅t  o
v y =−v⋅sen o ⋅t  , dipendentemente dalla coordinata scelta.
a x =−a⋅cos o ⋅t 
a y =−a⋅cos o⋅t
In queste relazioni v e a rappresentano la velocità e l'accelerazione di punta del moto, assunte
rispettivamente nei casi in cui diventano opportunamente unitari i valori del seno e del coseno. Invece o
è rappresentativo della posizione iniziale anche se perde la connotazione di angolo iniziale, visto che lungo un
segmento non se ne può riconoscere una corrispondente; anche la “vecchia” velocità angolare  perde il
suo carattere per diventare la grandezza “pulsazione”, più aderente al ripetersi di un fenomeno periodico. Il
valore iniziale del tempo è naturalmente: t o=0 .
Osservate da vicino, le relazioni ripropongono delle grandezze descritte ancora una volta da leggi orarie che
generano valori continuamente diversi; la continua variabilità dell'accelerazione rende questo un moto vario.
La prima grandezza, e cioè la posizione nella vecchia descrizione, sarà ora definita “elongazione”, in quanto
sarà destinata ad individuare collocazioni di un oggetto rispetto ad un centro di oscillazione, grazie
all'allungamento qualche volta virtuale di un molla che lo tratterrebbe.
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