Esercizi 1 – Forza e campo
1. Un campo elettrico verticale e’ applicato in una regione in cui si trova un pendolo,
costituito da una pallina con carica q sospesa a un filo di lunghezza L. Trovare la variazione
nel periodo del pendolo quando il campo e’ diretto:
a. Verso l’alto
b. Verso il basso
Il diagramma mostra le forze agenti sulla pallina. La componente non equilibrata, che da’
origine al moto periodico, si scrive (i segni + e – si riferiscono a campo verso il basso e verso
l’alto, rispettivamente):
Fc = −(mg ± qE )sin θ −(mg ± qE ) θ se θ 1
d 2θ
= −(mg ± qE ) θ
dt 2
d 2 θ mg ± qE
→ 2 +
θ = 0
mL
dt
→ mL
Questa e’ l’equazione del moto armonico; la frequenza angolare del moto e’ data da:
mg ± qE
ω 2 =
mL
→T =
Cosa succede se g ≤ qE m ?
1 2π
L
=
= 2π
ν
ω
g ± qE m
2. Un tipo di quadripolo elettrico e’ costituito da 4 cariche poste ai vertici di un quadrato di
lato a. Trovare il campo elettrostatico a distanza x>>a sull’asse del quadripolo
Il campo e’ quello di 2 dipoli spostati della distanza +a/2 e –a/2. Il primo da’ sui punti
dell’asse x solo la componente y diretta verso il basso, il secondo diretta verso l’alto.
Contributo del primo dipolo:
a2
2q
1
E =
−
2
2
4πε0 ( x − a 2) + (a 2) x − a 2 2 + a 2 2
(
) ( )
1
y
(
12
)
Contributo del secondo dipolo:
a2
2
q
1
E y2 = −
−
2
2
4πε0 ( x + a 2) + (a 2) x + a 2 2 + a 2 2
(
) ( )
(
12
)
Campo totale:
qa
1
E=
−
2
2
4πε0
( x − a 2) + (a 2)
(
+
3
2
2
2
( x + a 2) + (a 2)
1
)
32
(
)
Per x>>a si trascurano i termini (a/2)2 , si tengono solo i termini di ordine x3 e x2 nei cubi
dei binomi, e si sviluppano in serie di Taylor al I ordine in a/2x le frazioni che rimangono
qa
1
1
qa
1
1
E≈
+
+
≈
−
−
4πε0 ( x − a 2)3 ( x + a 2)3 4πε0 ( x 3 − 3x 2 a 2) ( x3 + 3 x 2 a 2)
E≈
qa
1
1
qa 1
a 1
a
≈
−
+
− 1 + 3 + 1 − 3
2
2
2x x
2 x
4πε0 x ( x − 3 a 2) ( x + 3 a 2) 4πε0 x x
E≈
qa
a
a
qa
a
a
6qa 2
−
1
+
3
+
1
−
3
=
−
3
−
3
=
−
2 x
2 x 4πε0 x 3 2 x
2 x
4πε0 x 3
8πε0 x 4
3. Una sottile bacchetta isolante ha forma di arco semicircolare di raggio R. Sulla meta’
superiore e’ distribuita uniforme mente una carica +q, e su quella inferiore una carica –q.
Trovare il campo nel centro della semicirconferenza.
Per il principio di sovrapposizione, il campo totale e’ la somma vettoriale dei contributi
dalle cariche positive e negative.
Cariche positive: il campo risultante deve essere allineato con la bisettrice del quadrante in
alto (freccia rossa). Il contributo elementare della carica dq e’:
dE =
1 dq
cos θ
4πε0 R 2
e il contributo totale
+π 2
E = ∫ dE =
1 dq
cos θ
4πε0 R 2
−π 2
∫
dq = λ ds = λ Rd θ
q
λ=
π
( 2) R
+π 4
→ E = ∫ dE =
→E=
1 λ Rd θ
cos θ
4πε0 R 2
−π 4
∫
1 λ
1 λ
+π 4
sin θ −π 4 =
2
4πε0 R
4πε0 R
Cariche negative: risultato uguale in modulo e direzione come la freccia blu
Quindi: campo totale diretto verso il basso, con modulo:
Etot = 2
1 λ
2
1 2λ
1 2Q
2
=
= 2
4πε0 R
2
πε0 R
π ε0 R 2
