R - ICampus - Ingegneria Civile

Prova Scritta di Fisica
Facoltà di Ingegneria, Università della Calabria, 11 Luglio 2013.
problema 1 Una palla è lanciata orizzontalmente con velocità di modulo v0 = 2 m/s da un’altezza di h = 20 m rispetto
al terreno. Calcolare le componenti del vettore velocità quando la palla tocca il suolo.
problema 2 Una sfera di massa m = 1 kg e raggio R = 10 cm è lanciata con velocità iniziale v0 = 2 m/s e con velocità
angolare iniziale nulla su un piano orizzontale scabro. Dopo un tratto iniziale, la sfera inizia un moto di
puro rotolamento e, rotolando, sale su un piano inclinato di θ = π/6 rispetto all’orizzontale. Determinare
la lunghezza del percorso che la sfera compie sul piano inclinato prima di fermarsi.
Il momento di inerzia di una sfera rispetto al centro di massa vale Icm =
2mR2
5 .
problema 3 Un filo carico con densità ρl = 10−6 C/m è sagomato a forma di semicirconferenza di raggio R = 10 cm
avente ai lati due tratti rettilinei di lunghezza L = 2R. Calcolare il campo elettrico e il potenziale al centro
della semicirconferenza (prendendo, per quest’ultimo, lo zero all’infinito).
problema 4 Una sbarretta di massa m = 10−2 kg e lunghezza L = 20 cm scivola su delle rotaie conduttrici collegate nel
loro punto più alto e poste su un piano inclinato di θ = π/6 rispetto all’orizzontale. Dopo una fase iniziale
di moto accelerato, la sbarretta scende a velocità costante. Sapendo che il piano inclinato si trova in una
regione in cui è presente un campo magnetico uniforme di modulo |B| = 2 T, orientato in verticale e che
la resistenza del circuito costituito dalle rotaie e dalla sbarretta vale R = 50 Ω, calcolare la velocità della
sbarretta, trascurando l’attrito tra di essa e le rotaie.
y
B
R
x
-3R
-R
R
3R
(a)
θ
(b)
Figura 1: (a) problema 3; (b) problema 4.
Soluzioni
soluzione 1 La coordinata√verticale della palla cambia nel tempo secondo la legge y(t) = h − gt2 /2, per cui essa atterra
al tempo t = 2h
g = 2 s. In questo istante, le componenti del vettore velocità sono:
vy (t) = −gt = −
vx (t) = v0 = 2 m/s ,
√
2hg = −20 m/s .
soluzione 2 Detta f la forza d’attrito (dinamico) agente sulla sfera, si ha
macm = −f ,
⇒
Iα = f R
vcm (t) = v0 −
f
,
m
ω(t) =
fR
.
I
La condizione di rotolamento viene soddisfatta nell’istante t̃ tale che
v(t̃) = Rω(t̃)
⇒
t̃ =
2mv0
.
7f
Da questo istante in poi, il corpo inizia a rotolare senza più cambiare la sua velocità angolare ne’ la velocità
del centro di massa che valgono
ωrot = ω(t̃) =
5 v0
,
7R
vrot = v(t̃) =
5
v0 .
7
L’altezza massima a cui la sfera riesce ad arrivare sul piano inclinato si trova dalla conservazione dell’energia:
1
1
mv 2 + Iω 2 = mgh
2 rot 2 rot
⇒
La lunghezza del percorso effettuato sul piano è, quindi L =
h=
h
sin θ
=
5 v02
.
14 g
2
5 v0
7 g
≃ 0.28 m.
soluzione 3 I due contributi dei tratti orizzontali al campo elettrico si cancellano; mentre il campo elettrico prodotto
dalla semicirconferenza sarà orientato nel verso opposto all’asse y, per simmetria. Descrivendo la semicirconferenza tramite un angolo θ ∈ [0, π] e considerandola suddivisa in tratti infinitesimi di lunghezza
dl = Rdθ, aventi carica dq = ρl dl si ha
∫
∫ π
dq
ρl R dθ
ρl
E = −ûy
sin
θ
=
−û
sin θ = −ûy
= −18 × 104 N/m ûy .
y
2
2
4πε0 R
2πε0 R
0 4πε0 R
Nel caso del potenziale, invece, i due tratti rettilinei danno lo stesso contributo:
∫
3R
V =2
R
ρl dx
+
4πε0 x
∫
π
0
ρl R dθ
ρl
ρl
=
ln 3 +
≃ 48 × 103 V .
4πε0 R
2πε0
4ε0
soluzione 4 Per la legge di Faraday, nel circuito scorre una corrente indotta. Detta x la posizione della sbarretta sul
piano inclinato (a partire dal punto più alto) e scelto il verso di percorrenza antiorario per la spira, si ha
⇒
Φ(B) = BLx
f.e.m. = −BLv cos θ
⇒
I=−
BLv cos θ
.
R
La corrente scorre, dunque, in senso orario, cosicché sulla sbarretta si esercita una forza magnetica contraria
al moto. La seconda legge di Newton per la sbarretta risulta, quindi ma = mg sin θ − |I|LB. Poiché ci
interessa la condizione di regime, in cui la velocità è costante e l’accelerazione nulla, si ha
mg sin θ = |I|LB
⇒
mg sin θ =
L2 B 2 v
cos θ
R
⇒
v=
mgR
tan θ ≃ 36 m/s .
L2 B 2