Formulario di Fisica 2

Formulario di Fisica 2
Trentini Francesco
27 giugno 2006
1
Forza elettrica. Campo elettrostatico
2
m1 m2
−11 N m
con
γ
=
6,
67
10
r2
Kg 2
q1 q2
N m2
F
1
Legge di Coulomb (forza elettrostatica): F = k 2 con k =
= 8.98 109
e ε0 = 8.8542 10−12
r
4πε0
C2
m
Tabella atomica:
Legge di Newton (forza gravitazionale): Fg = γ
Carica
Massa
−1.602177335 · 10−19 C 9, 10938975 · 10−31 Kg
+1.602177335 · 10−19 C 1.67262311 · 10−27 Kg
0C
1.67492866 · 10−27 Kg
X 1 qi
F
N
Campo elettrostatico: E(x, y, z) =
u.d.m.
=
ui
q0
4πε0 ri2
C
i
C
Densità spaziale di cariche: dq = ρ(x, y, z)dτ
u.d.m. 3
m
C
Densità superficiale di cariche: dq = σ(x, y, z)dΣ
u.d.m. 2
m
C
Densità lineare di cariche: dq = λ(x, y, z)dl
u.d.m.
m
elettrone
protone
neutrone
Simbolo
e
p
n
Formule estratte dagli esercizi
λl
λ
√
ux e nel particolare caso E(x 2l) =
ux
2
2
2πε
4πε0 x x + l
0x
x
λR
ux
Caso del Anello (R): E(x) =
2ε0 (R2 + x2 ) 23
σ
σ
|x|
Caso del Disco (R): E(x) = ±
1− √
ux e nel particolare caso E(x R) = ±
ux
2
2
2ε0
2ε
R +x
0
Caso del Filo(2l): E(x) =
2
Lavoro elettrico. Potenziale elettrostatico
Z
J
E · ds
Tensione elettrica: T1 (A −→ B lungo C1 ) =
u.d.m.
C
C1
I
Lavoro di un percorso chiuso: W = q0
E · ds = q0 ξ [u.d.m. J]
C
I
C
=V
Forza elettro motrice: ξ =
E · ds che nel campo elettrostatico vale ξ = 0 e W = 0
u.d.m.
m
C
Z B
Differenza di potenziale: ∆V = VB − VA = −
E · ds [u.d.m. V ]
A
1
Z
E · ds = −q0 ∆V
Lavoro: WAB = q0
[u.d.m. W ]
C
Energia potenziale: ∆Ue = −W =Z q0 ∆V , Ue = q0 V [u.d.m. J]
∞
q
[u.d.m. V ]
Potenziale elettrostatico: V (r) =
E · ds =
r
Z ∞ 4πε0 r
q0 q
[u.d.m. J]
Energia potenziale: Ue (r) = q0 V (r) = q0
E · ds =
4πε0 rZ
r
∞
X
Potenziale generato da un sistema di cariche: V (x, y, z) =
E · ds =
qi
[u.d.m. V ]
4πεri
P
i
1 X qi qj
1X
Energia potenziale di un sistema discreto di cariche: Ue (sistema) =
=
qi Vij [u.d.m. eV ]
2
4πεrij
2
i6=j
i6=j
1
Conservazione dell’energia: E = Ek + Ue = mv 2 + q0 V
2
∂V
∂V
∂V
Campo E come gradiente di V : E = −gradV = −∇V = −
ux +
uy +
uz
∂x
∂y
∂z
∂
∂
∂
ux +
uy +
uz
L’operatore ∇ in coordinate cartesiane: ∇ =
∂x
∂y
∂z
I
Z
E · ds =
Teorema di Stokes:
C
∇ × E · dΣ un in particolare se il campo è conservativo su una linea
Σ
chiusa si ha ∇ × E = 0
Momento del dipolo elettrico: p = q a [u.d.m. C m]
p · ur
Potenziale del dipolo elettrico: V (P ) =
4πε0 r2
∂V
2p cos θ
1 ∂V
p sin θ
1 ∂V
Campo elettrico di un dipolo: Er = −
=
, Eθ = −
=
, Eφ = −
=0
3
3
∂r
4πε0 r
r ∂θ
4πε0 r
r sin θ ∂φ
p
vettorialmente E = Er ur + Eθ uθ =
(2 cos θur + sin θuθ ) ed esprimendo il dipolo in
4πε0 r3
1
coodinate polari (p = p cos θur − p sin θuθ ) si ha E =
[3(p · ur )ur − p]
4πε0 r3
∂V
∂V
∂V
Energia elettrostatica del dipolo: Ue = q ax
+ q ay
+ q az
= −p · E = −p cos θE
∂x
∂y
∂z
Momento agente sul dipolo: M = r1 × F1 + r2 × F2 = (r1 − r2 ) × qE = q a × E =⇒ M = p × E
∂E
∂E
∂E
Forza su un dipolo: F = px
+ py
+ pz
= (p · ∇)E e se p k E =⇒ F = p∇E
∂x
∂y
∂z
Formule estratte dagli esercizi
√
λ
l + l2 + x2
λ
x2
√
Caso del Filo(2l): V (x) =
ln
e quando x 2l si ha V (x1 ) − V (x2 ) =
ln
2
2
4πε0 −l + l + x
2πε0 x1
R
λ
√
Caso del Anello (R): V (x) =
2ε0 R2 + x2
σ p 2
Caso del Disco (R): V (x) =
R + x2 − x
r 2ε0
pE
Dipolo elettrostatico: ω =
I
eE l l
Separatore elettrostatico. Oscilloscopio: d = h + L tan α =
+L
m v02 2
3
La legge di Gauss
Z
q
Ω
4πε0
[u.d.m. steradiante]
E · un dΣ =
Flusso del campo elettrico: Φ(E) =
Σ
Angolo solido: Ω(σ1 , σ2 ) = 2π (cos σ1 − cos σ2 )
2
1
Legge di Gauss: Φ(E) =
ε0
!
X
qi
i
int
dΦ
ρ
=
Divergenza del campo elettrostatico: ∇ · E =
ε
0
I
Zdτ
Teorema della divergenza: Φ(E) = E · un dΣ = ∇ · E dτ
τ
ρ
Equazioni di Maxwell : ∇ × E = 0 , ∇ · E =
ε0
∂2V
∂2V
ρ
∂2V
2
+
+
=−
Equazione di Poisson: ∇ · ∇V = ∇ V =
2
2
∂x
∂y
∂y 2
ε0
∂2V
∂2V
∂2V
Equazione di Laplace: ∇2 V =
+
+
=0
∂x2
∂y 2
∂y 2
∂2
∂2
∂2
+
+
Operatore di Lapace o Laplaciano: ∇2 = ∇ · ∇ =
∂x2
∂y 2
∂z 2
4
Conduttori. Energia elettrostatica
Condizione di equilibrio di un conduttore: E = 0 all’interno
σ
Teorema di Coulomb: E = un
ε0
q
Capacità di un conduttore: C =
[u.d.m. F ]
V
Condensatori in parallelo: Ceq = C1 + C2 + ... + Cn
1
1
1
C1 C2
1
=
+
+ ... +
e nel caso di due condensatori Ceq =
Condendatori in serie:
Ceq
C1
C2
Cn
C1 + C2
1 q2
1
1
2
Energia elettrostatica in un condensatore: Ue =
= CV = qV
2C
2
2
Ue
1
2
Densità di energia elettrostatica: ue =
= ε0 E
τ 2
F
1
N
Pressione elettrostatica: p =
= ε0 E 2
u.d.m. 2
Σ
2
m
Formule estratte dagli esercizi
Capacità di un conduttore sferico isolato: C = 4πε0 R
R2
σ1
=
Densità di carica di due sfere collegate:
σ2
R1
R1 R2
Capacità di un condensatore sferico: C = 4πε0
e per h = R2 − R1 R1 ∼
= R2 = R si ha
R2 − R1
R2
ε0 Σ
=
C = 4πε0
h
h
2πε0 d
Capacità di un condensatore cilindrico: C =
e per h = R2 − R1 R1 ∼
= R2 = R si ha
2
ln R
R1
2πε0 dR
ε0 Σ
C=
=
h
h
ε0 Σ
Capacità di un condensatore piano: C =
h
q2
1
1
Energia elettrostatica in un condensatore sferico: Ue =
−
8πε0 R1
R2
q2
h
Energia elettrostatica in un condensatore piano: Ue =
2ε0 Σ
3
5
Dielettrici
V0
>1
Vκ
E0
Campo elettrico in un dielettrico: Eκ =
κ
Suscettività elettrica: χ = κ − 1
Costante dielettrica assoluta del dielettrico: ε = κε0
Costante dielettrica relativa: κ =
εΣ
Capacità di un condensatore con dielettrico: Cκ = κC0 =
h
Rigidità dielettrica: massimo valore del campo elettrico
che piò
essere applicato a un dielettrico senza
V
che avvengano scariche al suo interno.
u.d.m.
m
Momento di dipolo elettrico: pa = Z e x
C
Polarizzazione del dielettrico lineare: P = ε0 (κ − 1) E = ε0 χE
u.d.m. 2
m
Densità superficiale di carica di polarizzazione: σp = P · un = Pcos θ
C
Induzione dielettrica: D = ε0 E + P e si ricava che E k P k D
u.d.m. 2
m
I
Legge di Gauss per il vettrore D: ∇ · D = ρ e
D · un dΣ = q
Proprietà dei dielettrici lineari : ρp = −∇ · P = 0, in un dielettrico lineare le cariche di polarizzazione
sono distribuite esclusivamente sulla superficie.
Formule estratte dagli esercizi
Condensatore con un dielettrico non totalmente pieno (s): D = ε0 E0 = εE = κε0 E
1
h−s
s
1
1
V
=
=
+
=
+
q
C
ε0 Σ
ε0 κΣ
C0
Cκ
Condensatore con due dielettrici totalmente pieno: D = ε0 κ1 E1 = ε0 κ2 E2 = σ0 = .... =
1
V
1
d1
d2
1
+
=
=
+
=
q
C
ε 0 κ1 Σ ε 0 κ2 Σ
C1
C2
6
Corrente elettrica
Intensità di corrente: i = lim
∆q
dq
=
∆t dt
[u.d.m. A]
A
Densità di corrente: j = n+ e vd
u.d.m. 2
m
Z
Flusso della densità di corrente: i =
j · un dΣ = ΦΣ (j)
Σ
I
∂qint
Principio della conservazione della carica: i = j · un dΣ = −
∂t
I
Condizione di stazionarietà: i = j · un dΣ = 0
∆t→0
Regime stazionario: ∇ · j = 0
eτ
σ
Velocità di deriva: vd = −
E=−
E
ne
m
2
ne τ
S
1
u.d.m.
Conduttività: σ =
=
m
m
Ωm
Legge di Ohm: j = σ E oppure E = ρ j
1
Resisitività del conduttore: ρ =
[u.d.m. Ω m]
σ
4
ε 0 κ1 κ2 V
κ2 d 1 + κ1 d 2
h
Resistenza di un conduttore: R = ρ
[u.d.m. Ω]
Σ
Σ
1
1
=
u.d.m. S =
Conduttanza: G =
R
ρh
Ω
Legge di Ohm per i conduttori metallici : V = R i
Effetti termici : ρ = ρ20 (1 + α ∆t) con il cooefficente termico α =
1 ∆ρ
ρ20 ∆t
k
J2
= L T con il numero di Lorenz L = 2.5 · 10−8 2 2
σ
C K
dW
V2
2
Potenza: P =
= V i = Ri =
dt
R
Effetto Joule: W = R i2 t
Resistori in serie: Req = R1 + R2 + ... + Rn
1
1
1
R1 R2
1
=
+
+ ... +
e nel caso di due resistenze Req =
Resistori in parallelo:
Req
R1
R2
Rn
R1 + R2
I A
dF∗
Forza elettromotrice: ξ =
E∗ · ds definendo come campo elettromotore E∗ =
dq
Z A B
Resistenza interna:
(E∗ + Eel ) · ds = r i
B
t
t
ξ
Carica di un condensatore: Vc (t) = ξ 1 − e− τ e i(t) = e− τ
R
t
t
ξ
Scarica di un condensatore: Vc (t) = ξ e− τ e i(t) = e− τ
R
Legge di Wiedemann-Franz :
7
Forza magnetica. Campo magnetico
I
u.d.m. T m2 = W b
B · un dΣ = 0
Flusso del campo magnetico: Φ =
Divergenza del campo magnetico: ∇
Z
Z·B=0
Il campo magnetico è solenoidale:
B · un dΣ1 =
Σ1
Z
B · un dΣ2 = ..... =
Σ2
B · un dΣi
Σi
Forza di Lorentz : F = q (E + v × B)
Moto in un campo magnetico uniforme: r =
=
m v sin θ
m vn
=
qB
qB
con passo dell’elica
2 π m v cos θ
q
e ω=− B
qB
m
N
Forza agente per unità di volume: Fτ = j × B
u.d.m. 3
m
Seconda legge elementare di Laplace: dF = i ds × B
J
2
Momento magnetico di una spira: m = i Σ un
u.d.m. A m =
T
Energia potenziale del dipolo: Up = −m · B = −m B cos θ = −i Σ B cos θ
Momento agente su un dipolo: M = m × B = i Σ un × B
Principio di equivalenza di Ampère: dm = i dΣ un
j
F
Campo di Hall : EH =
= vd × B =
×B
e
ne
jBb
iB
B b VA − VB
Tensione di Hall : ξH = EH b =
=
=
ne
ne ,a
neρ
d
5
p = vp T =
Formule estratte dagli esercizi
k s0
N iΣB
e la corrente i =
n=Sn
k
N ΣBl
1 q E L2
q B L2
2E m
Spettrometro di massa: y =
e
x
=
e si ha che y = 2 2 x2
2 m v2
2mv
L B q
m
Spettrometro di Dempster : B 2 r2 = 2 V
q
E m
Selettore di velocià: r =
B0 B q
qB
Ciclotrone: ωRF =
m
Galvanometro: θ =
8
Sorgenti del campo magnetico. Legge di Ampère
H
Permeabilità magnetica: µ0 = 4 π km ∼
= 1.26 · 10−6
m
µ0 i ds × ur
µ0 i ds
Prima legge elementare di Laplace: db =
=
ut × ur
2
4
π
r
4
π r2
I
Z
ds × ur
µ0
j × ur
µ0 i
=
dτ [u.d.m. T ]
Legge di Ampère-Laplace: B =
4π
r2
4 π τ r2
1
µ0 qv × ur
= 2v × E
Campo magnetico di una carica in moto: B =
2
4π
r
c
1
Velocià della luce: c2 =
ε0 µ0
µ0 i a
µ0 i
µ0 i
√
Filo indefinito: Legge di Biot-Savart: B =
uφ e se a → ∞: B =
uφ =
ut × un
2
2
2πR
2πR
2πR R + a
µ0 2 m
µ0 i R2
un e se x R: B(x) =
Spira circolare: B(x) =
4 π x3
2 (x2 + R2 )3/2
d
Solenoide rettilineo: BO = µ0 n i √
e se d R: B∞ = µ0 n i
d2 + 4R2
µ0 i1 i2
Forza per unità di lunghezza Fd =
2 π rZ
I
Legge di Ampère:
B · ds = µ0 i = µ0
j · un dΣ e il rotore ∇ × B = µ0 j
Σ
Coefficente di autoinduzione: Φ = L i [u.d.m. Ω sec = H]
Legge di :
9
Proprietà magnetiche della materia
m
∆m
A
=
= nm
u.d.m.
τ
∆τ
m
B
Permeabilità magnetica relativa:
= κm
B0
Suscettività magnetica: χm = κm − 1
Cρ
Prima legge di Courie per le s. diamagnetiche: χm =
T
I
Corrente di magnetizzazione:
M · ds = im e anche js,m = M × un
A
B
− M ovvero B = µ0 (H + M)
u.d.m.
Campo magnetizzante H: H =
µ0 I
m
Legge di Ampère per il campo H: H · ds = i e ∇ × H = j e la loro relazione diventa M = χm H
Magnetizzazione: M =
6
Tablella pag 278 e formule inizio pagina.......
Legge di :
Legge di :
Formule estratte dagli esercizi
10
Campi elettrici e magnetici variabili nel tempo
Formule estratte dagli esercizi
11
Oscillazioni eletriche. Correnti alternate
12
Fenomeni ondulatori
Formule estratte dagli esercizi
13
Onde elettromagnetiche
Formule estratte dagli esercizi
14
Riflessione e rifrazione delle onde
Formule estratte dagli esercizi
7