20 gennaio 2010

Corso di Laurea in Fisica
Anno Accademico 2009-2010
Compito di Fisica B1 (20/01/2010)
1
−Q
−Q
Un condensatore sferico è riempito per metà (riQ
Q
b
spetto al piano equatoriale, come in Fig.1S) con
b
b
+
un materiale di permittività dielettrica relativa
a
a
2
a
εr . Siano a e b > a i raggi delle armature conduttrici interna ed esterna e ±Q le rispettive
εr
cariche libere totali presenti su di esse.
εr
Calcolare
a) le distribuzioni di carica libera sulle superfici
D
S
delle armature,
Figura 1: Condensatore sferico.
b) il campo elettrico all’interno del condensatore,
c) la capacità del condensatore.
d) Si risponda di nuovo alle domande precedenti nel caso in cui il dielettrico riempia la regione
r > (a + b)/2 all’interno del condensatore, come in Fig.1D.
2
δ
a
σ
h
~ 0 cos ωt
B
Una lamina metallica di forma cilindrica ha raggio a, spessore δ ≪ a e
altezza h ≫ a. Sia σ la conducibilità del metallo. La lamina si trova in
un campo magnetico esterno uniforme e oscillante B0 cos ωt parallelo al
suo asse. (Si assuma che il campo magnetico abbia la stessa simmetria
cilindrica della lamina e quindi che gli assi di simmetria coincidano.)
Calcolare
a) il campo elettrico E e la densità di corrente J nella lamina,
b) la potenza dissipata per effetto Joule nella lamina,
c) la pressione sulla lamina dovuta al campo magnetico (suggerimento:
mostrare preliminarmente dall’espressione della forza di Lorentz e della definizione di J che la forza su un volumetto infinitesimo ∆τ dove è presente J è
data da df = (J × B)dτ ),
d) il campo magnetico B1 prodotto all’interno della lamina dalla densità Figura 2: Lamina cilindi corrente J, discutendo per quali valori della frequenza ω si ha B1 ≪ B0 drica.
ovvero il campo indotto è trascurabile rispetto al campo esterno.
NB Si scriva chiaramente e si giustifichi brevemente ogni passaggio; risultati dati senza commento
non saranno considerati.
1
FORMULE UTILI
Equazioni di Maxwell nel vuoto (µ0 ε0 = 1/c2 )
∇ · E = ρ/ε0 ,
∇ · B = 0,
∇ × E = −∂t B,
∇ × B = µ0 (J + ε0 ∂t E)
Definizione della permittività dielettrica ε = εr ε0 , del vettore D e della relazione con la densità di
carica libera
D = ǫE,
∇ · D = ρlib
(1)
Definizione di capacità (Q carica, V differenza di potenziale)
C ≡ Q/V
Campo magnetico all’interno di un solenoide infinito vuoto avente n spire per unità di lunghezza con
intensità di corrente I
|B| = µ0 nI
Potenza dissipata per unità di volume in un mezzo dove scorre la densità di corrente J in presenza
di un campo elettrico E
wd = J · E
2
SOLUZIONI
1
~ all’interno del guscio sferico è radiale. Quindi la sua componente parallela
a) Il campo elettrico E
alla superficie di separazione dielettrico-vuoto, che deve essere continua, coincide con tutto il campo.
(a)
Alla superficie della sfera di raggio a, indicando con σv la densità superficiale di carica libera che si
(a)
affaccia sul vuoto, e con σd la densità superficiale che si affaccia sul dielettrico, abbiamo
(a)
(a)
Ev =
σv
,
ε0
e Ed =
(a)
(a)
σd
,
ε0 εr
e da Ev = Ed
(a)
segue σd = εr σv(a) .
(2)
Abbiamo poi Q = 2πa2 σv + 2πa2 σd , da cui otteniamo
σv(a) =
Q
,
2πa2 (1 + εr )
(a)
σd =
εr Q
.
2πa2 (1 + εr )
(3)
Analogamente, per la distribuzione di carica libera sulla superficie interna della sfera di raggio b
avremo
Q
εr Q
(b)
σr(b) = −
,
σ
=
−
.
(4)
d
2πb2 (1 + εr )
2πb2 (1 + εr )
b) Dalla (2) abbiamo che il campo elettrico alla superficie di raggio a vale
Ev (a) = Ed (a) = E(a) =
quindi all’interno del guscio varrà
E=
Q
2(1 + εr )πε0 a2
(5)
Q
,
2(1 + εr )πε0 r2
(6)
dove r è la distanza dal centro comune delle due sfere.
c) Il condensatore è equivalente a due condensatori semisferici in parallelo di capacità rispettivamente
Cv = 2πε0
ab
b−a
e Cd = 2πε0 εr
ab
,
b−a
quindi C = Cv + Cd = 2πε0 (1 + εr )
Allo stesso risultato si può arrivare calcolando direttamente
Z b
Q
1 1
Q
≡ .
V =−
E(r)dr =
−
2(1 + εr ) b a
C
a
ab
.
b−a
(7)
(8)
d) In questo caso la distribuzione di carica libera sulle due superfici è uniforme, quindi abbiamo
σ (a) = Q/(4πa2 ) e σ (b) = −Q/(4πb2 ). Il campo elettrico sarà sempre radiale, con una discontinuità
~ quindi D.
~ D
per r = (a + b)/2, dovendo qui essere continua la componente perpendicolare di D,
varrà su tutto il guscio
D=
Q
,
4πr2
quindi E =
Q
4πε0 r2
per a < r <
3
a+b
2
e E=
Q
4πε0 εr r2
per
a+b
< r < b.
2
(9)
Adesso il condensatore è equivalente a due condensatori sferici in serie, di capacità rispettivamente
a+b
a+b
b
a
a2 + ab
ab + b2
2
2
= 4πε0 εr
, e Cd = 4πε0 εr
. (10)
Cv = 4πε0 = 4πε0
a+b
a+b
b−a
b−a
b−
−a
2
2
La capacità complessiva sarà
C=
ab(a + b)
(a2 + ab)(b2 + ab)
Cv Cd
= 4πε0 εr
.
= 4πε0 εr
2
2
Cv + Cd
(b − a)[εr (b + ab) + a + ab]
(b − a)(εr b + a)
Anche in questo caso si poteva procedere calcolando
Z b
Z (a+b)/2
Z b
Q
Q
Q
V =−
E(r)dr =
dr +
dr = . . . ≡ .
2
2
4πε0 r
C
a
a
(a+b)/2 4πε0 εr r
(11)
(12)
2
~ all’interno della lamina abbiamo per la
a) Se consideriamo un percorso circolare perpendicolare a B
forza elettromotrice
dΦB
= πa2 B0 ω sin ωt,
(13)
E =−
dt
da cui
E
1
1
E=
= ωaB0 sin ωt, J = σE = σωB0 a sin ωt,
(14)
2πa
2
2
~ e J~ azimutali.
con E
b) La potenza dissipata per unità di volume vale
~ · J~ = σ 1 ω 2 B02 a2 sin2 ωt,
w=E
4
(15)
quindi la potenza totale dissipata è
W =
π
hδσω 2 B02 a3 sin2 ωt,
2
(16)
essendo 2πahδ il volume del metallo in cui avviene la dissipazione.
c) La pressione sarà
~ = 1 δ σωB 2 a sin ωt cos ωt.
p = δ |J~ × B|
0
2
(17)
d) La lamina è equivalente ad un solenoide con nI = Jδ, quindi
1
B1 = µ0 Jδ = µ0 σ δ ωB0 a sin ωt.
2
(18)
La condizione |B1 | ≪ |B0 | può essere scritta come
ω≪
2c2 τ
aδ
dove τ =
è il tempo di rilassamento del metallo.
4
ε0
= (µ0 σc2 )−1
σ
(19)