Potenziale elettrostatico - Dipartimento di Fisica e Geologia
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Energia potenziale elettrostatica Se una particella di carica qp si muove sotto l’effetto di un campo elettrico creato da una carica q, questo compie un lavoro; Il lavoro è dato dal prodotto scalare di forza e spostamento, quindi ~ · d~x = qp E ~ · d~x dW = F Se il campo è generato da una carica puntiforme ~ = E q ~r 4πε0 r 3 In questo modo il lavoro fatto dal campo elettrico diventa dW = qp q ~r · d~x 4πε0 r 3 Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Lo spostamento si può spezzare in una parte perpendicolare ad ~r , che ha prodotto scalare nullo con questo, e perciò non contribuisce al lavoro, ed una parte parallela ad ~r La variazione di d~x parallela ad ~r è semplicemente la variazione della distanza dalla carica che origina il campo, moltiplicata per il versore radiale d~xk = dr r̂ il lavoro svolto dal campo elettrico vale quindi dW = qp q r dr qp q dr = 3 4πε0 r 4πε0 r 2 Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Proprietà del lavoro Come si vede, il lavoro compiuto dipende solo dal valore assoluto del raggio Calcolando un lavoro finito, si integra da un punto A ad un punto B ottenendo Z qp q rB dr qp q 1 1 WA→B = = − 4πε0 rA r 2 4πε0 rB rA Il risultato precedente ci dice che il lavoro fatto dipende solo dai punti di partenza e di arrivo, e quindi il campo elettrico è una forza conservativa. Posso quindi definire un’energia potenziale U,attraverso la relazione qp q 1 1 ∆U = UA − UB = −WA→B = − 4πε0 rA rB da cui ricaviamo che qp q 1 U(r ) = +C 4πε0 r dove C è una costante che può essere scelta arbitrariamente Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Energia potenziale Il risultato precedente vale per il potenziale generato da una carica puntiforme; Ogni distribuzione di cariche, però, può essere pensata come una somma di cariche puntiformi; Il campo elettrico totale è, per il principio di sovrapposizione, la somma dei campi elettrici di queste cariche; Il lavoro fatto è quindi la somma dei lavori fatti dal campo elettrico di ciascuna di queste cariche, ed è perciò indipendente dal percorso fatto. Il campo elettrico è quindi espressione di una forza conservativa, ed ammette un’energia potenziale (nel caso elettrostatico) Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Potenziale Come si definisce il campo elettrico come la forza divisa per la carica di prova, si definisce il potenziale come l’energia potenziale divisa per la carica di prova V = U/qp La differenza di energia potenziale sarà quindi ∆U = qp ∆V La conservazione dell’energia si può ora riscrivere includendo l’energia elettrostatica WNC = ∆EMecc + ∆EEl = ∆K + ∆UMecc + ∆UEl Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12 Esempio Suppongo di avere una particella in un punto A dove il potenziale è VA e la velocità vA . Questa particella si sposta, sotto l’effetto delle sole interazioni elettrostatiche, in un punto B . Quale sarà la sua velocità in B? La conservazione dell’energia da’ KA + VA = KB + VB Esplicitando le espressioni dell’energia cinetica e potenziale 1 2 1 mv + qVA = mvB2 + qVB 2 A 2 Isolando il termine che contiene vB trovo 1 2 1 mvA + q (VA − VB ) = mvB2 2 2 r 2q vB = vA2 + (VA − VB ) m Marcello Borromeo corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12
