Energia potenziale elettrostatica
Se una particella di carica qp si muove sotto l’effetto di un campo
elettrico creato da una carica q, questo compie un lavoro;
Il lavoro è dato dal prodotto scalare di forza e spostamento, quindi
~ · d~x = qp E
~ · d~x
dW = F
Se il campo è generato da una carica puntiforme
~ =
E
q ~r
4πε0 r 3
In questo modo il lavoro fatto dal campo elettrico diventa
dW =
qp q ~r · d~x
4πε0 r 3
Marcello Borromeo
corso di Fisica per Farmacia - Anno Accademico 2011-12
Lo spostamento si può spezzare in una parte perpendicolare ad ~r , che
ha prodotto scalare nullo con questo, e perciò non contribuisce al
lavoro, ed una parte parallela ad ~r
La variazione di d~x parallela ad ~r è semplicemente la variazione della
distanza dalla carica che origina il campo, moltiplicata per il versore
radiale
d~xk = dr r̂
il lavoro svolto dal campo elettrico vale quindi
dW =
qp q r dr
qp q dr
=
3
4πε0 r
4πε0 r 2
Marcello Borromeo
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Proprietà del lavoro
Come si vede, il lavoro compiuto dipende solo dal valore assoluto del
raggio
Calcolando un lavoro finito, si integra da un punto A ad un punto B
ottenendo
Z
qp q rB dr
qp q
1
1
WA→B =
=
−
4πε0 rA r 2
4πε0 rB
rA
Il risultato precedente ci dice che il lavoro fatto dipende solo dai punti
di partenza e di arrivo, e quindi il campo elettrico è una forza
conservativa.
Posso quindi definire un’energia potenziale U,attraverso
la relazione
qp q
1
1
∆U = UA − UB = −WA→B =
−
4πε0 rA rB
da cui ricaviamo che
qp q 1
U(r ) =
+C
4πε0 r
dove C è una costante che può essere scelta arbitrariamente
Marcello Borromeo
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Energia potenziale
Il risultato precedente vale per il potenziale generato da una carica
puntiforme;
Ogni distribuzione di cariche, però, può essere pensata come una
somma di cariche puntiformi;
Il campo elettrico totale è, per il principio di sovrapposizione, la
somma dei campi elettrici di queste cariche;
Il lavoro fatto è quindi la somma dei lavori fatti dal campo elettrico di
ciascuna di queste cariche, ed è perciò indipendente dal percorso fatto.
Il campo elettrico è quindi espressione di una forza conservativa, ed
ammette un’energia potenziale (nel caso elettrostatico)
Marcello Borromeo
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Potenziale
Come si definisce il campo elettrico come la forza divisa per la carica
di prova, si definisce il potenziale come l’energia potenziale divisa per
la carica di prova
V = U/qp
La differenza di energia potenziale sarà quindi
∆U = qp ∆V
La conservazione dell’energia si può ora riscrivere includendo l’energia
elettrostatica
WNC = ∆EMecc + ∆EEl = ∆K + ∆UMecc + ∆UEl
Marcello Borromeo
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Esempio
Suppongo di avere una particella in un punto A dove il potenziale è
VA e la velocità vA . Questa particella si sposta, sotto l’effetto delle
sole interazioni elettrostatiche, in un punto B . Quale sarà la sua
velocità in B?
La conservazione dell’energia da’
KA + VA = KB + VB
Esplicitando le espressioni dell’energia cinetica e potenziale
1 2
1
mv + qVA = mvB2 + qVB
2 A
2
Isolando il termine che contiene vB trovo
1 2
1
mvA + q (VA − VB ) = mvB2
2
2
r
2q
vB = vA2 +
(VA − VB )
m
Marcello Borromeo
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