Corso di Laurea in Ingegneria Industriale
Fisica Generale II
22/11/2011
I.15
Nel piano zy è collocata una lastra quadrata, di lato L su cui è distribuita uniformemente una
carica positiva avente densità σ =2 10-8 C/m2. Nel centro della lastra viene praticato un foro
circolare di raggio R=10cm.
Si calcoli il campo elettrico sull’ asse della lastra (asse x), considerando L molto grande (L>>R).
Si studi, in particolare, il caso x >> R
Si descriva, infine, il comportamento di un elettrone lasciato libero di muoversi lungo l’asse x, in
prossimità del centro.
Soluzione
Il campo generato da una lastra non forata ed indefinita (L>>R) si calcola utilizzando il teorema di
Gauss con una
superficie
gaussiana
cilindrica, che
attraversa la
lastra stessa.
In questo modo
si tiene conto
della simmetria
cilindrica delle
σ
linee di campo
ed il calcolo
del flusso di E
si riduce al
calcolo del
flusso
Ε
Ε
attraverso le due
superfici di
base del cilindro
di raggio r.
Infine:
r
Φ E = 2Eπr 2 =
1
σ
drσ2πr = πr 2
ε0 ∫0
ε0
e
r
σ
ˆn
Eσ =
2ε 0
dove n̂ indica il versore normale uscente dalla superficie su cui è distribuita la carica.
Descriviamo la presenza del foro introducendo una distribuzione di carica –σ nella regione vuota.
Il campo effettivo, risulta, così, essere uguale a :
Etot = Eσ + E-σ
Calcoliamo il campo E-σ: per simmetria: lungo l’asse x sopravvive solo la componente x del
campo.
Il campo prodotto dalla carica elementare dq = -σ dS disposta su una sezione dS di superficie del
‘foro’ è uguale a:
dE-σ= -σ x dS/ 4πε0 d3
dove d è la distanza fra la carica elementare e l’asse x, d2=x2 + r2 e dS= 2πr dr.
E-σ
x
Infine :
E −σ (x) =
ed il campo totale è:
⎡
r
r
x
E tot (x) = σ ⎢
2ε ⎢ 2
0 ⎣ x + R2
R
⎡
σ ( 2πx )
1
σ ⎢1 −
x
dr
r
=
2ε ⎢
4πε0 ∫0 ( x 2 + r 2 )3 / 2
2
0⎣
x + R2
⎤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎥
⎥
⎦
b)
nel caso x >> R, il campo si riduce a quello di una lastra uniformemente carica.
c)
In questo caso non vale l’approssimazione a lastra uniformemente carica e
La forza esercitata sull’elettrone è
⎡
⎤
x
⎥
Fe (x) = −e σ ⎢
2ε ⎢ 2
0 ⎣ x + R 2 ⎥⎦
che, per x prossimo a zero si riduce a :
Fe (x) = −e
σ x
2ε R
0
Ed è una forza di richiamo che produce, cioè, oscillazioni di pulsazione uguale a :
ω = 2εe0σmR (vd. I.12)
I.23 Per casa
Un guscio sferico di raggio interno r1=2 cm e raggio esterno r2= 8 cm contiene una carica Q
distribuita con densità ρ = ρo r . Determinare il valore di ρ0 sapendo che potenziale nel punto
7
P = r2 / 2 misura 1,86 10 V.
Soluzione
Dal teorema di Gauss:
r
E ⋅ (4πr 2 ) =
1
4πr 2 ( ρ0 r ) dr
ε0 r1∫
Da cui segue:
v
ρ
E = 2o ( r 4 − R14 ) rˆ
4r ε0
Quindi:
R2
V(P) = − ∫
∞
Q
dr −
4πε 0 r 2
R2 / 2
∫
R2
ρ0
( r 4 − R14 )dr
4ε 0 r 2
Da cui segue:
V(P) =
ρ
ρ R4
Q
−7
− 0 ( R 32 ) − 0 1
4πε0 R 2 12ε0 8
4ε0 R 2
Ovvero, sostituendo Q:
V(P) =
ρ0 ⎛ 3 R14 ⎞ ρ0 −7 3
ρ0 R 41
R
(
R
)
−
−
−
⎜ 2
⎟
2
4ε0 ⎝
R 2 ⎠ 12ε0 8
4ε 0 R 2
V(P) =
ρ0 ⎛ 31 3
R14 ⎞
⎜ R2 − 2
⎟
4ε0 ⎝ 24
R2 ⎠
ovvero:
da cui risulta: V(P) = 1,86 ⋅107 ρ0
Pertanto, la densità di carica risulta uguale ad 1 C/m2
I.30
Calcolare il momento di dipolo elettrico delle cariche collocate su un triangolo equilatero, così
come illustrato in figura. Calcolare il potenziale elettrico in un punto distante b dall’origine, posto
sull’asse x. Determinare il potenziale nel limite b>>a .
y
2q
-q
a
x
-q
Soluzione
a)
r
r
Calcoliamo il valore del momento di dipolo P = ∑ q i ri lavorando per componenti:
i
a
a
3
Px = (2q)(− ) + (−q)( ) = − qa
2
2
2
a
a
a
Py = (2q)( 3 ) + (−q)( 3 ) = 3 q
2
2
2
15
Con : P =
qa
2
Un secondo procedimento consiste nel considerare il dipolo totale come la somma vettoriale di
due dipolo, il primo costituito dalla carica –q posta nell’origine e metà della carica positiva, il
secondo dipolo, ottenuto dalla restante metà della carica positiva e l’altra carica negativa:
y
P1
2q
-q
P2
a
-q
x
La somma vettoriale dei due momenti di dipolo, fornisce il risultato appena ottenuto, come si può
verificare :
r
ˆ
P1 = −qax,
b)
r
⎛ a
3a ⎞
P2 = q ⎜⎜ − xˆ +
yˆ ⎟
2 ⎟⎠
⎝ 2
Il potenziale nel punto b si ottiene sommando i contributi dovuti a tutte le cariche:
V(b) =
⎞
q ⎛⎜
2
1
1
⎟
− −
⎟
2
2
4πε0 ⎜ (b + a / 2)2 + 3a 2 / 4 b
(b
a
/
2)
3a
/
4
−
+
⎝
⎠
Che, per b >>a si riduce a:
V(b) →
−3q ⎛ a ⎞
⎜ ⎟
4πε0 b ⎝ 2b ⎠
−1
Ottenuto utilizzando le espansioni al primo ordine: (1 ± x ) = 1 m x + i.o.s. , con x = a / 2b .
Notiamo che il risultato ottenuto equivale a descrivere il potenziale a grandi distanze come:
r r
P ⋅ ub
q
V(b) =
+
4πε0 b 4πε 0 b 2
Dove il primo termine (monopolo) è nullo.
