Esercizio 1 Esercizio 2

Esercizio 1
Un condensatore piano ha armature quadrate di lato l, distanti d è riempito
per un tratto x da una lastra isolante, di costante dielettrica relativa k
ed è caricato con una con una carica q. Calcolare la capacita C(x) del
condensatore, la forza Fx che agise sulla lastra e in particolare, quando è
inserito a metà, la forza se l = 10cm, d = 0.5cm, k = 2 e q = 10−8 C.
Soluzione
Per il calcolo della capacità, ci rifacciamo al ragionamento fatto per l’esercizio già svolto con i due dielettrici:
q = σ1 S1 + σ2 S2 = σ1 (xl) + σ2 l(l − x)
σ1 = ǫ0 kE;
σ2 = ǫ0 E
Si ottiene dunque:
q = ǫ0 k
(Ed)
(Ed)
xl + ǫ0
(l − x)l
d
d
q
q
ǫ0 l
=
=C=
(l + (k − 1)x)
Ed
∆V
d
→
L’energia elettrostatica Ue (x) sarà dunque:
Ue (x) =
1
q2d
q2
=
2C
2ǫ0 l l + (k − 1)x
La forza sarà ottenibile come gradiente del potenziale cambiato di segno:
F (x) = −∇Ue (x) =
q2 d
k−1
2ǫ0 l [l + (k − 1)x]2
Quando x = l/2, sostituendo i valori si trova:
F (l/2) =
2q 2 d(k − 1)
= 12.5µN
ǫ0 l3 (k + 12 )
Esercizio 2
Tre batterie aventi la stessa f.e.m. E = 6V e la stessa resistenza interna
r1 = 1Ω possono essere collegate tutte in serie o tutte in parallelo ad un
resistore con R = 6Ω. Calcolare nei due casi la resistenza complessiva dei
generatori visti dai capi A e B di R, la corrente che circola in R, la potenza
complessivamente erogata dai generatori e quella trasferita su R.
1
r
r
r
ℰ
ℰ
r
ℰ
r
ℰ
r
ℰ
ℰ
R
R
B
A
B
A
Soluzione
Nel primo caso, le resistenze interne dei generatori sono in serie e dunque la
resistenza vista dai capi A e B è:
RAB1 = 3r = 3Ω
In tal caso, la corrente che circola in R è:
i1 =
3E
= 2A
3r + R
La potenza erogata dai generatori è P1 = 3Ei = 36W , mentre quella
trasferita al carico è Pc1 = Ri2 = 24W . L’efficienza è dunque Pc1 /P1 = 0.67
Nel secondo caso, la resistenza vista ai capi A e B è il parallelo delle tre
resistenze interne:
3
1 1 1
1
= + + =
RAB2
r r r
r
→
RAB2 =
r
= 0.33Ω
3
La corrente che circola in R, sarà:
i=
E
RAB2 + R
= 0.95A
La potenza erogata dai generatori sarà:P2 = Ei = 5.7W , mentre quella
trasferita al carico sarà Pc2 = Ri2 = 5.42W . L’efficienza è dunque Pc2 /P2 =
0.95
Esercizio 3
Nel circuito in figura, E1 = 4V , E2 = 8V , E3 = 12V , r = 1Ω, R1 = 4Ω,
R2 = 2Ω, R3 = 2Ω, R4 = 2Ω, R = 8Ω. Calcolare la d.d.p. VC − VD , la
potenza erogata dai tre generatori, la potenza trasferita sul sistema R1 , R2 ,
R3 , R4 , R.
2
Soluzione
Prendiamo le tre correnti i1 , i2 e i3 come uscenti dal nodo D e percorriamo
le maglie in senso antiorario:
E2 − E1 = i2 (r + R) − i1 (R1 + R3 + r)
E3 − E2 = i3 (R2 + r + R4 ) − i2 (r + R)
i1 + i2 + i3 = 0
Il sistema delle tre equazioni produce:
i1 = −0.643A;
i2 = −0.056;
i3 = 0.699A
VC − VD = −i2 (r + R) + E2 = 8.5V
La potenza erogata dai tre generatori vale:
Pgen = E3 i3 + E2 i2 + E1 i1 = 8.388 − 0.448 − 2.572 = 5.37W
La potenza dissipata sulle resistenze vale:
Pc = (R1 + R3 )i21 + Ri22 + (R3 + R4 )i23 = 4.46W
Per verifica:
Pgen − Pc = 0.91W = r(i21 + i22 + i23 )
Esercizio 4
Due asticelle di plastica (vedi Figura), una di carica +q, e l’altra di carica
−q, formano un cerchio di raggio R su un piano xy. L’asse x passa attraverso
i punti di giunzione, e la carica è distribuita uniformemente su tutte e due le
asticelle. Quali sono l’intensità e la direzione del campo elettrico E prodotto
nel centro del cerchio?
3
y
+q
P
x
-q
Soluzione
In primo luogo facciamo qualche considerazione ‘fisica´:
• per ragioni di simmetria, la componente lungo x del campo E deve
essere nulla;
• se il cerchio fosse tutto caricato con cariche dello stesso segno, il campo
elettrico in P sarebbe nullo. Essendo le cariche di segno opposto, il
campo in P 6= 0 e diretto dal + verso il −, pertanto in verso contrario
rispetto al verso positivo sistema di riferimento scelto.
Ne consegue che la soluzione deve avere segno negativo e il vettore campo
elettrico deve risultare allineato all’asse y. Sfruttando la sovrapposizione
degli effetti calcoliamo il campo in P come somma dei campi generati dalle
due distribuzioni di carica.
π
π
1 dq
cos ϑ
− ≤ϑ≤
2
4πε0 R
2
2
1
+
λR cos ϑ dϑ
dq = λRdϑ −→ dEy = −
4πε0 R2
Z π/2
1
q
ET = −2 ·
cos ϑdϑ = −
λR
2 2
4πε0 R2
ε
π
0 R
−π/2
dEy+ = dEy− = −
4