Filtro a Reiezione di Banda con cella a Doppio T

Filtro a Reiezione di Banda con cella a Doppio T
Di seguito riportiamo i calcoli che permettono di desumere la funzione di
trasferimento del ltro in oggetto. I graci relativi sono presenti alla URL:
http://elettronica.fauser.edu/FILTRI/FILTRI.htm in cui si è usata la lettera p
al posto della lettera s per indicare la variabile complessa jω .
B
Pongo, per denizione, µ ≡ 1 + R
RA , il guadagno dell'operazionale. Pertanto
la tensione ai capi del morsetto non invertente, sarà pari a Vµu .
Scrivo le equazioni ai nodi:
Vu 1
V1 2
(Vi − V1 ) sC =
+ V1 −
R
µ R
(Vi − V2 )
1
Vu 1
= (V2 − Vu ) 2sC + V2 −
R
µ R
Vu
Vu 1
V1 −
sC = − V2 −
µ
µ R
Riordinando e mettendo in forma matriciale ottengo:
1
 sC + R2 + sC
[0]
V1 

 V2  
[0]
2sC + R1 +
1
Vu 
[−sC]
−R


i
h
− sC
µ

i
h
1
1
−2sC − µR
R
h
i
sC
1
+
µ
µR


Vi sC

  Vi 
=
R

0
Risolvo col metodo di Cramer:
Vu
= Vi
2sC + 2
R
[0] 2 [sC]
1 [0]
2sC
+
R
1 R
−sC
−R
[0] i
h
2sC + R2
[0]
− sC
µ
i
h
1
[0]
2sC + R1 + R1
−2sC − µR
i
h
1
1
sC
+
[−sC]
−R
µ
µR
Risolvendo i determinanti con la regola di Sarrus ottengo:
Vu
=
sC
Vi
µ +
1
µR
=
s2 C 2 2sC + R2 + R12 2sC + R2
2
2 2
2sC + R2 − s µC 2sC + R2 − R1 2sC +
2s2 C 2
µ
+
2sC
µR
+
s2 C 2 R2 +1
R2
2sC
2
s2 C 2
µR + µR2 − µ
−
2sC
R
−
1
µR2
1
µR
2sC +
2
R
=
=
µ s2 C 2 R2 + 1
= 2 2 2
s C R + 2sCR (2 − µ) + 1
Consideriamo ora la semplice cella a doppio T e cerchiamone la funzione
di trasferimento VVui . In questo caso non possiamo trasformare il generatore di
tensione in ingresso con un generatore di corrente, supporremo quindi che nel
nodo di ingresso entri una corrente non nota Ii .
2
Scriviamo, questa volta, le equazioni ai nodi direttamente in forma matriciale
tenendo conto che Vi ≡ V1 e che Vu ≡ V4 . Otteniamo:
sc + R1
 −sC

 −1
R
0

− R1
0
2sC +
− R1
−sC
2sC + R2
0
−sC

0
V1
 V2
−sC 

  V3
− R1
V4
sC + R1
2
R

Ii
  0 

=
  0 
0


Come noto, osservando che solo il primo elemento del vettore colonna dei
termini noti è non nullo, da Cramer posso dire che, chiamando 4 il determinante
della matrice delle ammettenze e 4ij la ridotta che si ottiene cancellando la iesima riga e la j-esima colonna dalla matrice delle ammettenze, Vu ≡ V4 =
Ii 414
4 . D'altro canto, per lo stesso motivo, la tensione di ingresso può essere
11
calcolata come Vi ≡ V1 = Ii 4
4 . Mettendo a sistema queste due relazioni
otteniamo:
Vu
V4
414
=
=
Vi
V1
411
−sC 2sC + 2
0
R
0
2sC + R2
− − R1
0
−sC
− R1
= 2
0
−sC
2sC + R
2
0
2sC
+
− R1
R
1
− (sC)
−R
sC + R1
=
2
2sC + R2
(sC) 2sC + R2 (sC) + R1
=
2
2
2
sC + R1 2sC + R2 − (sC) 2sC + R2 − R1
2sC +
=
sC +
=
1 2
R
s2 C 2 +
1
R
2sC +
s2 C 2 +
s2 C 2 +
4sC
R
1 2
R
+
1
R2
2
R
2
1 2
R
− (sC) −
=
s2 + s21C 2
1
s2 + 4sC
R + C 2 R2
3
=
2
R
=