MEPVS (febbraio 2011) ESERCIZIO1: Prima di tutto osservo che f è

MEPVS (febbraio 2011)
ESERCIZIO1:
Prima di tutto osservo che f è una funzione continua in [0, 4], allora esiste ∫[0, 4] f.
Procedo con il calcolo:
=
Pensando al significato di integrale come area è facile capire che se h e g e l sono integrabili su [0, 4]
allora
=
.
Ottengo svolgendo I calcoli dei primi due intetgrali:
8- 16/2=0
Manca da calcolare il terzo integrale:
Sfrutto l’intergazione per parti due volte in modo da ottere la seguente espressione:
Ho fatto anche un cambio di variabile y=x-2 e quindi cambio anche gli estremi di integrazione.
Sfruttando che il coseno e’ una funzione pari e il seno una funzione dispari conclude che anche
il terzo intergale e’ 0.
L’INTEGRALE VALE 0!
RIFLESSIONI DIDATTICHE:
Per calcolare questo integrale si devono mettere in gioco aspetti sintattici e semantici, anche le
immagini mentali posso giocare un ruolo cruciale (nel mio caso per ricordarmi parita’ e
disparita’ delle funzioni) per evitare di entrare in un “vortice” di calcoli inutili.
E’ stato importante capire, prima di procedure, la STRUTTURA della funzione da integrare per
improntare un lavoro mirato.
ESERCIZIO 2:
Facendo fare al programma R l’integrale ottengo:
> F <- function(x) 2-x+sin(x-2)*(x-2)^2; plot(F,0,4); abline(h=0); integrate(F,0,4)
1.051664e-16 with absolute error < 2.3e-14
In questo caso il software mi consente di trovare solo una soluzione approssimata e mi fornisce
anche l’ordine dell’errore commesso.
E con la funzione plot ottengo anche il grafico della funzione nell’intervallo di integrazione
In questo modo posso sfruttare anche METODI GRAFICI per risolvere l’integrale che hanno il
vantaggio di una maggiore immediatezza rispetto ai metodi METODI SIMBOLICI
che ho sfruttato nel primo esercizio quando avevo a disposizione solo “carta e penna”.
Il computer puo’ essere usato in classe come strumento per un consolidamento delle
conoscenze acquisite e soprattutto per una maggiore interiorizzazione.
Il software puo’ avere anche la funzione di controllo, ossia prima si chiede di risolvere
l’intergale e poi di verificarne il risultato ottenuto, oppure viceversa il programma puo’ essere
di supporto per “dare un’idea” del risultato che otteremo con manipolazioni simboliche.
Inoltre, se si richiede agli alunni un minimo di programmazione, l’uso del pc permette di
sviluppare capacita’ nell’uso del linguaggio formale e magari della presa di coscienza che nel
linguaggio matematico usuale spesso si usano convenzioni non del tutto precisate, a volte tra
loro contraddittorie che solo contestualizzandole all’interno di un problema acquista senso.
Facendo fare al programma R il second integrale ottengo:
> g <- function(x) exp(-x); integrate(g, 0, Inf)
1 with absolute error < 5.7e-05
Anche in questo caso il pc compie un’approssimazione e ci fornisce il valore 1 con un errore piu’
grande rispetto al precedente.
ESERCIZO 3:
Eseguendo lo script sintetizzerei la situazione osservata con la seguente formula:
Intendendo con
una succession con a numero positivo e n N.
Prima di tutto questa attivita’ porta l’alunno a modellizzare con una formula matematica un
evento che osserva sfruttando lo script.
Osservando cosa succede sullo schermo si nota la convergenza a 1, per qualunque valore di a
postivo per cui l’occasione e’ buona per introdurre il concetto di convergenza e quindi di
conseguenza quello di limite.
Questo modo di procedere puo’ essere efficace dato che si parte da un dato legato
all’esperienza, ossia quello che osservo su monitor, per andarlo a circoscrivere e analizzare in
dettaglio ma avendo come supporto l’intuizione scatturita dal dato sensibile.
ESERCIZO 4:
Facendo girare su R la stringa di comandi ottengo:
Si tratta, quindi, dell’introduzione delle trasformazioni geometriche nel piano, per questo
collocherei l’attivita’ nel biennio del liceo scientifico.
Sfruttando la figura si puo’ parlare agli alunni e condurli alla scoperta dei concetti di:

Simmetria

Trasformazione di scala

Rotazione

Similitudini

Isomentrie
Durante l’attivita’ si posso pore quesiti stimolati e mirati per condurre i ragazzi nell’attivita’
didattica, una domanda possible e’:

Come posso trasformare il pesce rosso in quello blu?

Posso trovare una relazione che leghi il pesce blu a quello nero? Oppure il verde al
giallo?
Una discussione interessante e formativa che mi suscita il disegno, da proporre in classe, e’ la
differenza tra linguaggio comune e matematico.
Se chiedessi se nel disegno ci sono pesci uguali le risposte sarebbero molteplici!
Ecco che la parola “uguale”puo’ essere il punto di partenza per la disquisizione e la presa di
consapevolezza del ruolo del linguaggio:

Nel linguaggio comune lo sono due figure della stessa forma anche se di dimensioni
diverse

Nel linguaggio matematico il discoroso e’ piu’ articolato e la parola “uguale” ha
significati diversi a seconda dei contesti e delle convenzioni man mano adottate.
ESERCIZIO 5:
Le frasi di Albert Einstein e Leopold Infeld mi fanno venire in mente l’importanza nel
mutamento dei paradigmi nella storia della matematica.
E’ significativa a tal proposito la domanda che I due scienziati si pongono:
Dobbiamo provarci a battere la vecchia strada o dobbiamo piuttosto crearne una nuova?
L’intenzione era quella di spiegare i fenomeni fisici e quindi trovare un modello per spiegare gli
eventi naturali.