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A
Le equazioni reciproche di quarto grado complete
Riconsideriamo l'equazione di quarto grado reciproca completa
12x 4
4x 3
41x 2
4x ‡ 12 ˆ 0
Per risolverla dobbiamo effettuare una particolare sostituzione che possiamo individuare facilmente se riscriviamo l'equazione nella forma che si ottiene con i seguenti passaggi:
l
l
dividiamo entrambi i membri per x 2 (l'operazione eÁ lecita perche 0 non eÁ soluzione dell'equazione):
4 12
‡ 2 ˆ0
12x 2 4x 41
x
x
raccogliamo a fattor comune i termini che hanno lo stesso coefficiente:
1
1
2
12 x ‡ 2
41 ˆ 0
4 x‡
x
x
La sostituzione da operare eÁ suggerita dalla forma stessa dell'equazione ed eÁ:
1
Per sapere che cosa sostituire al posto di x ‡ 2 osserviamo che
x
2
1
1
1
2, cioeÁ x 2 ‡ 2 ˆ t 2 2.
e che quindi x 2 ‡ 2 ˆ x ‡
x
x
x
2
x‡
1
ˆt
x
2
1
1
x‡
ˆ x2 ‡ 2 ‡ 2
x
x
In definitiva le sostituzioni da operare sono:
n t2
n t
2
al posto di
al posto di
x‡
x2 ‡
1
x
1
x2
Con cioÁ l'equazione diventa:
ed ha soluzioni:
12…t 2
2†
4t
41 ˆ 0
!
12t 2
4t
65 ˆ 0
13
6
tˆ
5
2
Per tornare alla variabile x operiamo la sostituzione inversa e risolviamo le due equazioni:
1
x‡ ˆ
x
1
5
x‡ ˆ
x
2
13
6
!
!
6x 2 ‡ 13x ‡ 6 ˆ 0
2x
2
5x ‡ 2 ˆ 0
!
!
3
2
xˆ
2
3
1
2
xˆ
2
In definitiva l'insieme delle soluzioni dell'equazione data eÁ S ˆ
2
,
3
3 1
, ,2 .
2 2
Approfondimenti di algebra
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
Generalizziamo la procedura.
Per risolvere l'equazione reciproca di quarto grado completa
ax 4 ‡ bx 3 ‡ cx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0
si deve:
n dividere entrambi i membri per x 2
n raccogliere a fattor comune i termini che hanno coefficienti uguali
n operare le sostituzioni:
x2 ‡
1
ˆ t2
x2
2
e
x‡
1
ˆt
x
n risolvere l'equazione di secondo grado in t ottenuta
1
1
n dette t1 e t2 le soluzioni, operare la sostituzione inversa x ‡ ˆ t1 e x ‡ ˆ t2 e risolvere le equazioni
x
x
in x ottenute.
Posto x ‡
1
ˆt :
x
l
eÁ sbagliato porre
l
eÁ corretto porre
1
x ‡ 2 ˆ t2
x
2
x2 ‡
1
ˆ t2
x2
2
1
percheÂ
x‡
x
non eÁ uguale a x 2 ‡
1
x2
2
ESERCIZI
Risolvi le seguenti equazioni reciproche di quarto grado complete.
1
4x 4 ‡ 8x 3
37x 2 ‡ 8x ‡ 4 ˆ 0
Ricordiamo la procedura per risolvere equazioni di questo tipo:
n si divide per x 2 : 4x 2 ‡ 8x
37 ‡
8
4
‡
ˆ0
x x2
n si raccoglie a fattor comune fra i termini che hanno coefficienti uguali:
1
1
2
37 ˆ 0
4 x ‡ 2 ‡8 x‡
x
x
n si operano le seguenti sostituzioni:
1
1
e
x2 ‡ 2 ˆ t 2 2
x‡ ˆt
x
x
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!
4…t 2
2† ‡ 8t
37 ˆ 0
n si risolve l'equazione di secondo grado ottenuta:
p
4 16 ‡ 180
4 14
ˆ
ˆ
4t 2 ‡ 8t 45 ˆ 0
tˆ
4
4
5
2
9
2
n si operano le sostituzioni inverse e si risolvono le due equazioni ottenute:
p
9 65
1
9
l x ‡
ˆ
! 2x 2 ‡ 9x ‡ 2 ˆ 0 ! x ˆ
x
2
4
1
2
1
5
53
l x ‡
ˆ
! 2x 2 5x ‡ 2 ˆ 0 ! x ˆ
ˆ
x
2
4
2
p
9 65 1
, ,2 .
L'insieme delle soluzioni eÁ quindi S ˆ
2
4
2 6x 4
35x 3 ‡ 62x 2
3 18x 4 ‡ 21x 3
94x 2 ‡ 21x ‡ 18 ˆ 0
4 x4
35 x 3 ‡ 31 x 2
6
3
5 x4
8x 3 ‡ 9x 2
6 20x 4
12x 3
8x ‡ 1 ˆ 0
12x ‡ 20 ˆ 0
154x 2 ‡ 3x ‡ 18 ˆ 0
8 9x 4
8x 3
9 2x 4
7x 3 ‡ 9x 2
34x 2
6 ‡ 5 ˆ 38
x2 x
11 4…x 4 ‡ 1†
35 x ‡ 1 ˆ 0
6
55x 2
7 18x 4 ‡ 3x 3
10
35x ‡ 6 ˆ 0
8x ‡ 9 ˆ 0
7x ‡ 2 ˆ 0
6x 2
5x
9x …x 2 ‡ 1†
26x 2 ˆ 0
S ˆ 3, 1 , 2, 1
3
2
S ˆ 2 , 3 , 3, 1
3 2
3
S ˆ 3, 1 , 2, 1
3
2
p 73 5
Sˆ
2
Sˆ 1,2
2
p 1
19
217
, 3,
Sˆ
3
12
p 13 2 22
Sˆ
1,
9
S ˆ 2, 1
2
S ˆ 2, 1 , 3, 1
2
3
Sˆ
1, 4, 1
4
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