CAP7-online 62..65

A
Equazioni che si risolvono con particolari artifici
Operare un cambio di variabile in un'equazione spesso puoÁ far risparmiare calcoli; vediamo subito alcuni esempi.
I esempio
Risolviamo l'equazione
3
1† ‡ 8 ˆ 0
…2x
Le procedure di risoluzione possono essere diverse:
l
possiamo sviluppare il calcolo e poi cercare di scomporre il polinomio al primo membro
l
possiamo scomporre
l
3
…2x
1† ‡ 8
come somma di cubi e poi annullare ogni fattore
possiamo operare un cambio di variabile ponendo 2x 1 ˆ t e risolvere l'equazione binomia t 3 ‡ 8 ˆ 0.
E' evidente che, fra i metodi proposti, il terzo eÁ il meno faticoso e il piuÁ immediato:
t3 ˆ
8
!
tˆ
2
operiamo la sostituzione inversa
2x
1ˆ
2
!
xˆ
1
.
2
II esempio
Risolviamo l'equazione
4
…x 2 ‡ 1† ‡2…x 2 ‡ 1†
2
3ˆ0
E' subito evidente che non conviene sviluppare il calcolo e che eÁ piuÁ vantaggioso operare il seguente cambio di
variabile:
2
…x 2 ‡ 1 † ˆ t
con il quale l'equazione diventa
t 2 ‡ 2t
3ˆ0
3
ed ha soluzione
tˆ
1
Operando la sostituzione inversa otteniamo le due equazioni:
2
l
…x 2 ‡ 1† ˆ
l
…x ‡ 1† ˆ 1
2
2
3
equazione impossibile (un quadrato non puoÁ essere uguale ad un numero negativo)
che eÁ equivalente alle due equazioni
x2 ‡ 1 ˆ
x2 ‡ 1 ˆ 1
1
!
impossibile in R
!
xˆ0
In definitiva, la sola soluzione dell'equazione eÁ x ˆ 0:
S ˆ f0g.
III esempio
Consideriamo l'equazione di quarto grado reciproca completa
12x 4
4x 3
41x 2
4x ‡ 12 ˆ 0
Per risolverla dobbiamo effettuare una particolare sostituzione che possiamo individuare facilmente se riscriviamo l'equazione nella forma che si ottiene con i seguenti passaggi:
l
dividiamo entrambi i membri per x 2 (l'operazione eÁ lecita perche 0 non eÁ soluzione dell'equazione):
4 12
‡ 2 ˆ0
12x 2 4x 41
x
x
Approfondimenti di algebra
Q ISTITUTO ITALIANO EDIZIONI ATLAS
l
raccogliamo a fattor comune i termini che hanno lo stesso coefficiente:
1
1
12 x 2 ‡ 2
41 ˆ 0
4 x‡
x
x
La sostituzione da operare eÁ suggerita dalla forma stessa dell'equazione ed eÁ:
1
Per sapere che cosa sostituire al posto di x ‡ 2 osserviamo che
x
2
1
1
1
2
2, cioeÁ x 2 ‡ 2 ˆ t 2 2.
e che quindi x ‡ 2 ˆ x ‡
x
x
x
2
x‡
1
ˆt
x
2
1
1
x‡
ˆ x2 ‡ 2 ‡ 2
x
x
In definitiva le sostituzioni da operare sono:
n t2
n t
2
al posto di
al posto di
x‡
x2 ‡
1
x
1
x2
Con cioÁ l'equazione diventa:
ed ha soluzioni:
12…t 2
2†
4t
41 ˆ 0
!
12t 2
4t
65 ˆ 0
13
6
tˆ
5
2
Per tornare alla variabile x operiamo la sostituzione inversa e risolviamo le due equazioni:
x‡
1
ˆ
x
x‡
1
5
ˆ
x
2
13
6
!
6x 2 ‡ 13x ‡ 6 ˆ 0
!
xˆ
!
2x 2
!
xˆ
5x ‡ 2 ˆ 0
3
2
2
3
1
2
2
In definitiva l'insieme delle soluzioni dell'equazione data eÁ S ˆ
2
,
3
3 1
, ,2 .
2 2
Generalizziamo la procedura.
Per risolvere l'equazione reciproca di quarto grado completa
ax 4 ‡ bx 3 ‡ cx 2 ‡ bx ‡ a ˆ 0
si deve:
n dividere entrambi i membri per x 2
n raccogliere a fattor comune i termini che hanno coefficienti uguali
n operare le sostituzioni:
x2 ‡
1
ˆ t2
x2
2
e
x‡
1
ˆt
x
n risolvere l'equazione di secondo grado in t ottenuta
1
1
n dette t1 e t2 le soluzioni, operare la sostituzione inversa x ‡ ˆ t1 e x ‡ ˆ t2 e risolvere le equazioni in
x
x
x ottenute.
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ESERCIZI
1
3x
x‡1
4
2
3x
13
‡36 ˆ 0
x‡1
Il dominio dell'equazione eÁ D ˆ R f 1g:
2
3x
ˆ t ottenendo cosõÁ l'equazione di secondo grado:
Poniamo
x‡1
t 2 13t ‡ 36 ˆ 0 ! t ˆ 9 _ t ˆ 4
Operiamo la sostituzione inversa:
2
3x
3x ˆ 3
l
ˆ9 !
x‡1
x‡1
_
3x ˆ
x‡1
3
!
la prima equazione eÁ impossibile, la seconda ha soluzione
l
3x
x‡1
da cui
2
ˆ4
!
3x ˆ 2
x‡1
xˆ2
_
xˆ
2
5
L'insieme delle soluzioni eÁ S ˆ
2 …x
1†
6
3
4…x
1† ‡ 3 ˆ 0
3 4…x ‡ 1†
4
37…x ‡ 1† ‡ 9 ˆ 0
4 3…x
3†
4
24…x
5 …x 2
4x † ‡7x …x
x†
7 …x 2 ‡ 1†
3†
2
6 2…x 2
8 …2x 2
2
2
2
…x 2
2
3ˆ0
9…x 2 ‡ 1† ‡ 20 ˆ 0
2
5x ‡ 1† ‡2x 2
5x
1ˆ0
2
x 1
9
10
‡9 ˆ 0
x‡2
2 2x ‡ 1
2x ‡ 1
10
4
‡3ˆ0
x
x
4 2
x 2
x 2
11 4
5
‡1 ˆ 0
3x
3x
x 1
x‡2
4
2
12 …2x 1†
6…2x
2 1
13
1‡
5 1‡
x
3x ˆ
x‡1
1 , 2,
2
2
!
xˆ
_
6x ˆ
3
_
5x ˆ
2
1
2
3x ˆ 2x ‡ 2
2 :
5
p
S ˆ 2, 1 ‡ 3 3
1 , 3 , 4, 2
Sˆ
2
2
27 ˆ 0
4† ‡ 12 ˆ 0
x†
_
3x ˆ 3x ‡ 3
1† ‡ 5 ˆ 0
1
‡4ˆ0
x
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‰S ˆ f0, 6gŠ
‰S ˆ f1, 2, 3gŠ
p 1 7
Sˆ
2
p
S ˆ 2, 3
S ˆ 0, 1, 3 , 5
2 2
7
5
1
,
,
Sˆ
2
4
2
‰S ˆ f1gŠ
Sˆ
4,
1, 1 , 4
2 5
‰S ˆ f1, 3gŠ
Sˆ
1
3
Risolvi le seguenti equazioni reciproche di quarto grado complete.
14
4x 4 ‡ 8x 3
37x 2 ‡ 8x ‡ 4 ˆ 0
Ricordiamo la procedura per risolvere equazioni di questo tipo:
n si divide per x 2 : 4x 2 ‡ 8x
37 ‡
8
4
‡
ˆ0
x x2
n si raccoglie a fattor comune fra i termini che hanno coefficienti uguali:
1
1
4 x2 ‡ 2 ‡ 8 x ‡
37 ˆ 0
x
x
n si operano le seguenti sostituzioni:
1
1
e
x2 ‡ 2 ˆ t 2 2
x‡ ˆt
x
x
!
4…t 2
2† ‡ 8t
n si risolve l'equazione di secondo grado ottenuta:
p
4 16 ‡ 180
4 14
ˆ
ˆ
tˆ
4t 2 ‡ 8t 45 ˆ 0
4
4
37 ˆ 0
5
2
9
2
n si operano le sostituzioni inverse e si risolvono le due equazioni ottenute:
p
9 65
1
9
2
l x ‡
ˆ
! 2x ‡ 9x ‡ 2 ˆ 0 ! x ˆ
x
2
4
1
2
1
5
53
l x ‡
ˆ
! 2x 2 5x ‡ 2 ˆ 0 ! x ˆ
ˆ
x
2
4
2
p
9 65 1
, ,2 .
L'insieme delle soluzioni eÁ quindi S ˆ
4
2
15 6x 4
35x 3 ‡ 62x 2
16 18x 4 ‡ 21x 3
94x 2 ‡ 21x ‡ 18 ˆ 0
17 x 4
35 3 31 2
x ‡
x
6
3
18 x 4
8x 3 ‡ 9x 2
19 20x 4
12x 3
20 18x 4 ‡ 3x 3
35x ‡ 6 ˆ 0
35
x‡1ˆ0
6
8x ‡ 1 ˆ 0
55x 2
12x ‡ 20 ˆ 0
154x 2 ‡ 3x ‡ 18 ˆ 0
21 9x 4
8x 3
34x 2
22 2x 4
7x 3 ‡ 9x 2
8x ‡ 9 ˆ 0
7x ‡ 2 ˆ 0
1
1
S ˆ 3, , 2,
3
2
2 3
1
, , 3,
Sˆ
3 2
3
1
1
S ˆ 3, , 2,
3
2
p 73 5
Sˆ
2
1
,2
Sˆ
2
p 1
19 217
, 3,
Sˆ
3
12
p 13 2 22
Sˆ
1,
9
1
S ˆ 2,
2
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