Problemi di massimo e minimo e studio di funzioni (v. 2 Dicembre)

Matematica e Statistica per Scienze Ambientali
Applicazioni delle derivate - Appunti
E NRICO R OGORA1
1
Dipartimento di Matematica
”Sapienza”, Università di Roma
Roma, Dicembre 2013
E NRICO R OGORA
Matematica e Statistica
Esercizio
A(x)
400
y
600
800
1000
1200
Un’area rettangolare deve essere recintata usando un muro su un lato. Sono a
disposizione 100m di materiale per recinzioni. Determinare l’area massima che può
essere recintata.
Denotiamo la larghezza in metri dell’area recintata con x e la sua lunghezza con y,
allora y = 100 − 2x. L’area totale A in metri quadrati è quindi esprimibile come
funzione di x nel modo seguente: A(x) = xy = x(100 − 2x) = 100x − 2x 2 . La
funzione A(x) rappresenta l’area della superficie recintata, per x compresa tra 0 e 50.
A è derivabile in tutti i punti interni, vale 0 agli estremi, quindi il massimo deve essere in
un punto interno dove la derivata A0 (x) = 100 − 4x si annulla, cioè in x = 25.
x
200
recinzione
0
parete
0
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Matematica e Statistica
20
30
40
50
Come procedere per determinare massimi o minimi
I problemi di massimo e minimo si possono affrontare lungo le linee
seguenti
Disegna una figura per illustrare il problema
Assegna una lettera ad ogni quantità variabile del problema
Esprimi la quantità di cui si vuole determinare il massimo o il
minimo in funzione delle altre quantità.
Usa l’informazione contenuta nell’enunciato del problema per
eliminare tutte le quantità da cui dipende quella da
massimizzare, salvo una
Usa l’informazione contenuta nell’enunciato del problema per
limitare il dominio di definizione della funzione all’intervallo dove i
valori sono significativi per il problema posto
Determina il massimo o il minimo di questa funzione cercandolo
tra:
1
2
3
i punti interni dove la derivata della funzione si annulla
i punti interni dove la funzione non è derivabile
i punti estremi
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Altri problemi di massimi e dei minimi
Una scatola con un’apertura in cima deve essere costruita da un
pezzo quadrato di latta, largo un metro, tagliando solo dei piccoli
quadrati agli angoli e ripiegando i bordi. Determinare il massimo
volume che può essere limitato da una tale scatola.
Si consideri un barattolo cilindrico di alluminio con un volume di
100 centimetri cubi. Determinare quello di area superficiale
minima.
Determina il triangolo isoscele di massima area che che può
essere iscritto in un cerchio dato .
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Altri problemi di massimi e dei minimi (II)
Un uomo sulla riva di un fiume largo 4 chilometri vuole raggiungre un
un posto sulla riva opposta che è 4 chilometri più a valle del punto di
partenza. Egli può camminare alla velocità di 5 Km/h e può remare a
una velocità di 4 Km/h. Assumiamo che l’uomo remi e cammini in
linea retta, come mostrato nella figura. Trascurando l’effetto della
corrente del fiume, qual è la strategia migliore per minimizzare il
tempo necessario a raggiungere il punto di arrivo?
punto di partenza
4 Km
rema a 4Km/h
cammina a 5Km/h
x Km
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(4-x) Km
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Il segno della derivata nell’intorno di un punto
estremale
Supponiamo che la funzione f (x) sia derivabile in un punto x0 e
f 0 (x0 ) = 0, ovvero x0 sia punto estremale per f . Per caratterizzare la
natura del punto x0 possiamo guardare al segno di f 0 (x) in un intorno
di x0 .
Se f 0 (x) = 0 per tutti i punti di un intorno I di x0 allora la funzione
f è costante in quell’intorno per il teorema di Lagrange.
Se f 0 (x) > 0 per tutti gli x di un intorno I di x0 tali che x < x0 e
f 0 (x) < 0 per tutti gli x di I di tali che x > x0 , f ha in x0 un punto di
massimo relativo
Se f 0 (x) < 0 per tutti gli x di un intorno I di x0 tali che x < x0 e
f 0 (x) > 0 per tutti gli x di I di tali che x > x0 , f ha in x0 un punto di
minimo relativo
Se f 0 (x) non cambia segno in un intorno di x0 (dove f 0 (x0 ) = 0), f
ha in x0 un punto di flesso a tangente orizzontale
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Esempi
La funzione f (x) = −x 2 ha derivata nulla in x0 = 0. La sua
derivata è f 0 (x) = −2x che è positiva per x < 0 e negativa per
x > 0. Quindi la funzione ha un punto di massimo in x0 .
La funzione f (x) = x 2 ha derivata nulla in x0 = 0. La sua derivata
è f 0 (x) = 2x che è negativa per x < 0 e positiva per x > 0.
Quindi la funzione ha un punto di minimo in x0 .
La funzione f (x) = x 3 ha derivata nulla in x0 = 0. La sua derivata
è f 0 (x) = 3x 2 è positiva per x 6= 0. Quindi la funzione ha un
punto di flesso a tangente orizzontale in x0 .
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Esempi (II)
-1.0
-0.5
0.0
0.5
1.0
In rosso, il grafico della funzione f (x) = −x 2 . In blu, il grafico della
funzione f (x) = x 2 . In verde, il grafico della funzione f (x) = x 3 .
-1.0
-0.5
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0.0
0.5
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1.0
Il comportamento della derivata in un punto estremale
Sia f una funzione derivabile in x0 un numero sufficiente di volte e sia
f 0 (x0 ) = 0. Allora, se la prima derivata di ordine superiore che non si
annulla:
ha ordine pari, uguale a 2k e f (2k) (x0 ) < 0, allora x0 è un punto di
massimo relativo;
ha ordine pari, uguale a 2k e f (2k) (x0 ) > 0, allora x0 è un punto di
minimo relativo;
ha ordine dispari, allora x0 è un punto di flesso a tangente
orizzontale.
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Lo studio qualitativo del grafico di una funzione (I)
Un problema applicativo che ancora riveste un certo interesse è
quello di tracciare un grafico qualitativo di una funzione reale di
variabile reale. Considereremo per lo più grafici di funzioni per i quali
conviene seguire lo schema seguente:
determinare eventuali simmetrie e periodicità della funzione. Se
una funzione è periodica ci limiteremo a studiarla su un suo
intervallo di periodicità
determinare il campo di esistenza, che nei nostri esempi avrà la
forma di unione di un numero finito di intervalli
calcolare il valore dei limiti agli estremi del campo di esistenza
determinare gli zeri della funzione, ovvero l’insieme dei punti
dove la funzione interseca l’asse delle ascisse
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Lo studio qualitativo del grafico di una funzione (II)
Determinare gli intervalli dove la funzione è positiva e quelli dove
la funzione è negativa. Nei nostri esempi le funzioni che
dovremo studiare saranno continue all’interno del loro campo di
esistenza. Quindi, per il teorema di Bolzano, su ogni intervallo
avente come estremi uno zero o un punto all’estremo del campo
di esistenza e che non contiene al suo interno nè zeri nè estremi
del campo di esistenza, la funzione avrà segno costante che si
potrà quindi determinare calcolando il suo valore in un punto
qualsiasi di tale intervallo
Calcolare la derivata prima della funzione
Determinare i punti dove la derivata prima si annulla, gli intervalli
dove la derivata prima è positiva (f crescente) e quelli dove è
negativa (f decrescente). Determinare quindi i punti di massimo
e di minimo, relativi e assoluti.
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Lo studio qualitativo del grafico di una funzione (III)
Quelle che abbiamo discusso sono solo alcune delle caratteristiche
qualitative del grafico di una funzione. Sono importanti altre
cratteristiche quali gli intervalli dove la funzione ha concavità verso
l’alto (derivata seconda positiva) e quelli dove ha concavità verso il
basso (derivata seconda negativa). I punti dove la funzione cambia la
concavità si dicono punti di flesso e in essi la derivata seconda si
annulla.
Possiamo poi caratterizzare il comportamento asintotico di una
funzione con la determinazione di eventuali asintoti, ma non
approfondiremo queste nè altre caratteristiche più fini del grafico di
una funzione.
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2
)+
Esempio il grafico di f (x) = log( xx 2 +1
−1
x 2 +1
x 2 −1
Simmetrie Osserviamo innanzitutto che, apparendo la x solo al
quadrato, f (−x) = f (x) e quindi la funzione è simmetrica rispetto
all’asse delle x. Basterè quindi studiare il grafico solo per x > 0 e
riprodurlo simmetricamente rispetto all’asse delle ordinate.
Campo di esistenza Per essere definito il logaritmo, deve essere il
2
+1
) è sempre positivo,
suo argomento positivo. Il numeratore di xx 2 −1
mentre il denominatore è positivo per x < −1 e per x > 1. tale sarà il
segno della frazione e quindi dell’argomento del logaritmo. Il campo
di esistenza sarà quindi x > 1 e x < −1.
Limiti al campo di esistenza Per simmetria, ci basta considerare due
limiti:
2
x +1
x2 + 1
= lim log y + y = +∞
lim+ f = lim+ log
+
x→1
x→1
x2 − 1
x 2 − 1 y →+∞
e
lim f = lim log
x→+∞
x→+∞
x2 + 1
x2 − 1
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+
x2 + 1
= lim log y + y = 1
x 2 − 1 y →1
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2
)+
Esempio il grafico di f (x) = log( xx 2 +1
−1
x 2 +1
x 2 −1
derivata
2
0 2
0
x +1
x +1
x2 + 1
+
=
f = log
x2 − 1
x2 − 1
x2 − 1
2
2
0 2
x −1
x +1
x −1
2x(x 2 − 1) − 2x(x 2 + 1)
+
1
=
+
1
=
2
2
2
x +1
x −1
x +1
(x 2 − 1)2
0
0
−
8x 3
(x 2 − 1)2 (x 2 + 1)
segno della derivata L’espressione che abbiamo trovato per la
derivata non si annulla mai nel campo di esistenza ed è negativa
quando x > 0. La funzione è quindi decrescente in (1, +∞) e
crescente in (−∞, −1).
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2
2
4
6
8
10
12
)+
Esempio il grafico di f (x) = log( xx 2 +1
−1
-4
-2
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0
2
Matematica e Statistica
4
x 2 +1
x 2 −1