Strumenti essenziali per il calcolo di limiti di funzioni reali

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Strumenti essenziali per il calcolo
di limiti di funzioni reali
Parte I
Sommario
Algebricamente possiamo capire molto di una funzione, per quali
valori esista, in quali intervalli risulti positiva o dove intersechi gli assi
coordinati, ma non sempre questo può essere sufficiente. Abbiamo già
discusso come un cambio di prospettiva (quella topologica) possa aprirci nuove strade superando la dicotomia appartiene - non appartiene
in merito a valori reali ed al dominio di una funzione. Ora vogliamo
riprendere in mano questi strumenti ed utilizzarli per ampliare le nostre
conoscenze sulle funzioni oltre che sui loro domini.
Limiti (2012)
&
%
1
Conoscere i propri limiti
Immaginiamo di voler rappresentare graficamente una funzione f (x), reale
di variabile reale (questo poi sarà sottinteso). Numericamente possiamo calcolarne il valore per molti punti del suo dominio (dom f ) e spesso da un
ristretto numero di valori siamo in grado di farci un’idea di come si comporterà la funzione nei restanti punti del dominio. Penso agli esempi classici
legati alle funzioni esponenziali (per quanto mi riguarda cito sempre le ba1 x
nali f1 (x) = 2x e f2 (x) = 10
): tabelline con quatto o cinque valori per
x sono sufficienti a dare l’idea di come si presenteranno il rispettivi grafici.
Altre volte, purtroppo, non è cosı̀ semplice capire come si muova il grafico
della funzione, specialmente se ci troviamo negli intorni degli estremi non
compresi del dominio. Pensiamo a f (x) = sen x1 se calcoliamo valori prossimi
allo zero: come si vede in tabella ?? non è semplice stabilire l’andamento
della funzione e molto probabilmente non saremmo in grado di rappresentarne il grafico. Anche software specifici come Gnuplot non sono in grado
di riprodurre grafici fedeli in prossimità di x = 0 (figura ??).
f (x)
x
f (x) = sen x1
Figura 1: Il grafico della funzione f (x) = sen x1 ristretto ad un intorno destro
dell’origine, precisamente con valori compresi tra 10−7 e 10−1
Abbiamo bisogno di nuove procedure con cui analizzare le funzioni, nuovi
metodi che ci consentano di vedere oltre i limiti dell’algebra o, forse sarebbe
il caso di dire, vederne proprio i limiti.
x
0.00000
0.00417
0.00833
0.01250
0.01667
0.02083
0.02500
0.02917
0.03333
0.03750
0.04167
0.04583
0.05000
0.05417
0.05833
0.06250
0.06667
0.07083
0.07500
0.07917
0.08333
0.08750
0.09167
0.09583
0.10000
1.1
f (x) = sen
0.42055
0.94363
0.57954
-0.99383
-0.30452
-0.76814
0.74519
0.26855
-0.98804
0.99932
-0.90559
0.17213
0.91294
-0.37837
-0.99078
-0.28789
0.65029
0.99981
0.69395
0.06516
-0.53657
-0.90771
-0.99626
-0.84683
-0.54402
1
x
Tabella 1:
La tabella riporta i valori utilizzati da Gnuplot per la rappresentazione grafica della funzione f (x) =
sen x1 . Si noti come siano stati scelti
punti per la funzione f (x) = sen x1 restringendosi ad un intorno destro dell’origine, precisamente con valori compresi tra 10−7 e 10−1 .
É immediata-
mente chiaro come sia estremamente
difficile determinare l’andamento della funzione nonostante i valori siano
molto accurati.
Il limite topologico
Siano allora f (x) una funzione e x0 punto di accumulazione per dom f . Solitamente si sottintende il ruolo del dominio ed x0 vie chiamato punto di accumulazione di f (x). Il calcolo dei limiti ci consentirà di valutare il comportamento della funzione all’approssimarsi al punto di accumulazione dei valori
della variabile. Ciò che è importante sottolineare è che non si è interessati al
valore della funzione in x0 , anche perché potrebbe non appartenere al dominio
di f (x), bensı̀ ai valori assunti da essa in un intorno di x0 . Anche per questa
ragione si preferisce considerare intorni privati dei punti di accumulazione.
Topologicamente è semplice dare la definizione di limite:
Definizione 1. Si dice che ` è limite di f (x) per x che tende a x0 se
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x ∈ Ix0 ,δ \ {x0 } ⇒ f (x) ∈ I`,ε
e si indica con lim f (x) = `.
x→x0
Tuttavia non è molto pratica per il calcolo esplicito, soprattutto in R, quindi
ora distingueremo i vari casi che ci si possono presentare per le funzioni reali
e riformuleremo la definizione adattandola caso per caso.
1.2
Partiamo dai reali . . .
Se il punto di accumulazione x0 ∈ R un suo intorno reale è un intervallo
che considereremo, per praticità di notazione e senza perdita di generalità,
simmetrico e di raggio δ. Nella definizione che daremo non sarà resa esplicitamente la privazione del punto x0 dal suo intorno, ma verrà comunque
sottintesa.
Pur considerando la variabile in un intorno di x0 , la funzione può avere
differenti comportamenti, infatti essa può:
1. tendere ad un valore reale `:
Definizione 2. Si ha lim f (x) = ` se
x→x0
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − `| < ε
2. assumere valori sempre più grandi e positivi, cioè tendere a +∞:
Definizione 3. Si ha lim f (x) = +∞ se
x→x0
∀M > 0 ∃δ = δ(M ) > 0 : |x − x0 | < δ ⇒ f (x) > M
3. tendere a −∞:
Definizione 4. Si ha lim f (x) = −∞ se
x→x0
∀M > 0 ∃δ = δ(M ) > 0 : |x − x0 | < δ ⇒ f (x) < −M
4. non tendere ad alcun valore preciso di R = R ∪ {±∞}.
Chiaramente sono i primi tre casi quelli più interessanti da un punto di
vista applicativo e di calcolo, quantunque sapere che una certa funzione non
ammetta limite per un certo punto di accumulazione sia un’informazione
estremamente utile per uno studio di funzione.
1.3
. . . e tendiamo ad infinito!
La possibilità di definire intorni di infinito ci consente di considerare, oltre
alla possibilità di avere limiti non finiti, anche punti di accumulazione non
reali, ovvero ci da la possibilità di calcolare il limite di una funzione quando
la sua variabile tende all’infinito. Se escludiamo il caso in cui una funzione
non ammette limite, i casi che ci si possono presentare sono gli stessi enunciati nella sezione precedente, pertanto possiamo permetterci di enunciare
solamente le definizioni senza entrare troppo nei dettagli della discussione.
Definizione 5. Si ha lim f (x) = ` se
x→+∞
∀ε > 0 ∃N = N (ε) > 0 : ∀x > N ⇒ |f (x) − `| < ε
Definizione 6. Si ha lim f (x) = +∞ se
x→+∞
∀M > 0 ∃N = N (M ) > 0 : ∀x > N ⇒ f (x) > M
Definizione 7. Si ha lim f (x) = −∞ se
x→+∞
∀M > 0 ∃N = N (M ) > 0 : ∀x > N ⇒ f (x) < −M
Definizione 8. Si ha lim f (x) = ` se
x→−∞
∀ε > 0 ∃N = N (ε) > 0 : ∀x < −N ⇒ |f (x) − `| < ε
Definizione 9. Si ha lim f (x) = +∞ se
x→−∞
∀M > 0 ∃N = N (M ) > 0 : ∀x < −N ⇒ f (x) > M
Definizione 10. Si ha lim f (x) = −∞ se
x→−∞
∀M > 0 ∃N = N (M ) > 0 : ∀x < −N ⇒ f (x) < −M
1.4
Il vero limite
Nelle definizioni precedenti abbiamo fatto quasi sempre riferimento ad intorni
bilaterali del punto di accumulazione, tranne nei casi ovvi di +∞ e −∞,
ma spesso i punti del dominio che appartengono al punto di accumulazione
si trovano solo nel semi-intervallo sinistro oppure in quello destro. Questo
significa che quando facciamo tendere x al punto di accumulazione x0 lo
possiamo fare solo con valori maggiori di x0 : in questo caso si dice che si
tende a x0 da destra (simbolicamente x → x+
0 ). Analogamente se i valori di
x risultano minori di x0 allora significa che si tende a tale punto da sinistra
(x → x−
0 ).
In entrambi i casi si può calcolare il limite, ottenendo quelli che vengono
chiamati limite destro e limite sinistro:
Definizione 11. ` si chiama limite sinistro di f (x) quando x → x0 quando
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 − δ, x0 ) ⇒ f (x) ∈ (` − ε, ` + ε)
Definizione 12. ` si chiama limite destro di f (x) quando x → x0 quando
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ (x0 , x0 + δ) ⇒ f (x) ∈ (` − ε, ` + ε)
Osserviamo che non è detto che necessariamente i due limiti destro e
sinistro coincidono, infatti si ha la seguente
Definizione 13. Si dice che la funzione f (x) ha limite ` se esistono e sono
uguali il suo limite destro ed il suo limite sinistro.
É scontato che nel caso in cui si tenda a più o meno infinito si avranno,
rispettivamente, solo limite sinistro e solo limite destro.
2
Ma funziona?
Proviamo a mettere in pratica quanto appena visto, applicando la definizione
di limite per verificare la correttezza di alcuni calcoli. Cominciamo con un
esempio piuttosto semplice in cui assumiamo che punto di accumulazione e
limite siano entrambi finiti, sfruttando la definizione
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 : ∀x 6= x0 , |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − `| < ε
piuttosto che quella topologica.
2.1
Un esempio guidato
x2 − 4x + 3
= −2.
x→1
x−1
Per prima cosa scegliamo un arbitrario raggio ε > 0 per l’intorno del limite
ed impostiamo la disequazione modulare corrispondente all’intorno stesso:
2
x − 4x + 3
ε>0| − (−2) < ε
x−1
Verifichiamo la correttezza del limite lim
Risolviamo questa disequazione come una disequazione qualsiasi:
2
x − 4x + 3
− (−2) < ε
x−1
2
x − 4x + 3 + 2(x − 1) <ε
⇒
x−1
2
x − 2x + 1 <ε
⇒ x−1 (x − 1)2 <ε
⇒ x−1 ⇒ |x − 1| < ε
[x 6= 1]
⇒1 − ε < x < 1 + ε
Se rappresentiamo graficamente le soluzioni ci accorgiamo che corrispondono a tutti i valori reali appartenenti all’intervallo ]1 − ε, 1 + ε[, ovvero
sono tutti i numeri reali che appartengono ad un intorno di raggio ε e centro
x0 = 1. Se dunque imponiamo che δ := ε vale la seguente
2
x − 4x + 3
∀x 6= 1, |x − 1| < δ ⇒ − (−2) < ε
x−1
Poiché il raggio ε è stato scelto in modo del tutto arbitrario, ne deduciamo
che tutti i passaggi valgono per qualsiasi raggio (piccolo a piacere), e poiché
per ogni raggio scelto (per il limite) esiste un corrispondente raggio (per il
punto di accumulazione), risulta soddisfatta anche la condizione
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0
Mettendo assieme il tutto abbiamo
2
x − 4x + 3
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 | ∀x 6= 1, |x − 1| < δ ⇒ − (−2) < ε
x−1
e quindi il limite è verificato.
2.2
Più sinteticamente
2x2 − 6x + 4
= 2 eseguendo solo i passaggi essenx→2
x−2
Verifichiamo il limite lim
ziali.
1. Per ε > 0:
2
2x − 6x + 4
− 2 < ε
x−2
2
2x − 8x + 8 <ε
⇒
x−2
2(x − 2)2 <ε
⇒ x−2 ε
[x 6= 2]
⇒ |x − 2| <
2
ε
ε
⇒2 − < x < 2 +
2
2
2. Se δ :=
ε
2
2
2x − 6x + 4
∀x 6= 2, |x − 2| < δ ⇒ − 2 < ε
x−2
3. Per l’arbitrarietà di ε
2
2x − 6x + 4
∀ε > 0 ∃δ = δ(ε) > 0 | ∀x 6= 2, |x − 2| < δ ⇒ − 2 < ε
x−2
e quindi il limite è verificato.
2.3
E se non è finito?
Gli esempi precedenti presentano punto di accumulazione e limite finiti, ma
abbiamo visto che il calcolo di limiti può essere esteso anche ai casi +∞ e
2x2 − 6x + 4
−∞. Per ciò ora verifichiamo il limite lim
= 2, anche in
x→+∞
x2 − 2
questo caso in forma essenziale.
1. Per ε > 0:
2
2x − 6x + 4
− 2 < ε
2
x −2
2
2x − 6x + 4 − 2(x2 − 2) <ε
⇒
x2 − 2
−6x + 8 <ε
⇒ 2
x −2 −2(3x − 4)
<ε
x2 − 2
ε
3x − 4
ε
⇒− < 2
<
2
x −2
2
⇒−ε<
2. La disequazione è equivalente a

3x − 4
ε


>−
2
x −2
2
3x − 4
ε


<
x2 − 2
2
Quindi
p
p
9 + 2ε(4 + ε)
3 + 9 − 2ε(4 − ε)
x<
∨x>
ε
ε
Vi fidate? Si? Non fatelo mai: verificate sempre i conti perché gli
errori sono sempre in agguato! Inoltre è un buon esercizio sui sistemi
di disequazioni, basta solo ricordare che ε è un valore positivo molto
molto piccolo.
p
3 + 9 − 2ε(4 − ε)
3. Se N :=
ε
2
2x − 6x + 4
<ε
∀x > N ⇒ −
2
x2 − 2
−3 −
4. Per l’arbitrarietà di ε
2
2x − 6x + 4
<ε
−
2
∀ε > 0 ∃N = N (ε) > 0 | ∀x > N ⇒ x2 − 2
e quindi il limite è verificato.
2.4
Attenti e concentrati
Si diceva che gli errori sono sempre in agguato: nulla di più vero! Ecco cosa
mi è successo recentemente in classe: il problema riguardava la verifica del
x3 + 4
limite lim
= 1, chiaramente verificato, ma dai risultati calcolati alla
x→−∞
x3
lavagna non tornava mai un intorno di −∞ per la variabile x che soddisfacesse
la definizione. Vediamo i passaggi svolti.
1. Per ε > 0:
3
x + 4
x3 − 1 < ε
4
⇒ 3 < ε
x
4
⇒−ε< 3 <ε
x
2. La disequazione è equivalente a


 4 > −ε
x3
4


<ε
x3
Quindi
r
x>
r
3. Se N :=
3
3
4
ε
4
ε
4. per l’arbitrarietà di ε:
3
x + 4
<ε
−
1
∀ε > 0 ∃N = N (ε) > 0 | ∀x > N ⇒ x3
e quindi il limite è verificato.
Ecco che non abbiamo un intorno di −∞ bensı̀ di +∞: perché? La ragione
è semplice: trattando superficialmente la disequazione modulare si sono perse
alcune soluzioni, esattamente tutte quelle che consentono di definire l’intorno
corretto per la verifica della definizione.
Nello specifico il passaggio
r
4
3 4
<ε⇒x>
3
x
ε
è stato calcolato attraverso applicazioni dei principi di equivalenza delle
dis/equazioni, ma è valido solo per valori positivi di x. Per essere precisi
si dovrebbe porre la disequazione in forma normale e poi studiare la fratta
ottenuta,cioè:
4 − εx3
>0
x3
Tuttavia esiste una strada più semplice: passare ai reciproci!
4
<ε
x3 3
x 1
⇒ >
4
ε
3
x
1 x3
1
⇒
<− ∨
>
4
ε
4
ε
r
r
3 4
3 4
∨x>
⇒x < −
ε
ε
ed ecco un intorno per +∞ ma anche uno per −∞.
Errori di questo tipo sono gravi nel senso che possono pregiudicare il
corretto svolgimento di un esercizio, compromettendo la determinazione della
soluzione corretta. Spesso alla base di questo tipo di errori vi è una lacuna nei
contenuti teorici inerenti le procedure risolutive, altre volte si è semplicemente
superficiali nello svolgimento dei passaggio poiché siamo concentrati su altri
aspetti dell’esercizio che ci impegnano e sottraggono energie mentali. In ogni
caso sono l’allenamento, la preparazione e l’esercizio che ci devono preparare
ad affrontare questi ostacoli, superandoli imparando dai nostri errori.
Indice
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