1. Limite finito di una funzione in un punto
Consideriamo la funzione:
x
f (x )
3.5
13
3.3
12.6
il cui dominio risulta essere ℝ − {3} , e quindi il valore di f (x ) non è calcolabile in
3.2
12.4
x = 3 . Quest’affermazione tuttavia non esaurisce tutte le informazioni che riguardano la
funzione nel punto x = 3 , dato che è immediato rendersi conto che quando ci si
avvicina ad esso f (x ) mostra una certa regolarità nel comportamento. Osserviamo
3.1
12.2
3.01
12.02
infatti la tabella che mostra l’andamento della funzione per valori dell’ascissa che si
accostano a 3 per eccesso e per difetto. Come si vede in entrambi i casi, a mano a mano
che si procede verso x = 3 , la funzione tende a approssimarsi al valore 12 , senza
tuttavia raggiungerlo mai esattamente. Questa importante informazione non è espressa
dalla semplice affermazione che f (x ) non è calcolabile in x = 3 , in quanto non riguarda
3.001
12.002
3.0001
12.0002
x
f (x )
2.5
11
2.8
11.6
2.9
11.8
2.99
11.98
2.999
11.99
2.9999
11.999
f (x ) =
2x 2 − 18
x −3
il valore assunto dalla funzione in un punto ma piuttosto descrive il suo comportamento
in un intorno del punto. Quel che ci proponiamo nel seguito è costruire un’operazione
matematica che permetta di quantificare il comportamento di questa funzione quando
l’ascissa si avvicina a 3 .
Osserviamo che il comportamento in questione può essere espresso dicendo che la
differenza fra il valore della funzione e 12 diviene sempre più piccolo quanto più
l’ascissa si avvicina a 3 . Poiché, come si ricava dalle tabelle, si tratta di una differenza
che può essere sia positiva che negativa, la esprimiamo in modulo per contemplare
entrambi i casi:
2.99999 11.9999
2x 2 − 18
− 12
x −3
Tuttavia affermare che la quantità
2x 2 − 18
− 12 è sempre più piccola quanto più ci si avvicina a 3 è una
x −3
definizione in un certo senso “statica” di quanto sta accadendo. I matematici per lungo tempo si sono
arenati percorrendo questo vicolo cieco che non conduceva alla costruzione di uno strumento efficace per lo
studio del comportamento. La via corretta che infine è stata scoperta passa infatti attraverso una definizione
che potremmo dire “dinamica”. Potremmo in un certo senso vederla come una sfida che la funzione fa
all’osservatore. In termini colloquiali suona così:
Scegli pure un numero, uno qualsiasi. Ebbene, qualunque sia il numero scelto è possibile trovare un insieme di valori di
x intorno a 3 dove la distanza fra la funzione e 12 è più piccola del numero che hai scelto.
Scegliamo ad esempio 1 2 . Come si vede dalle tabelle se x è più grande di 2.9 ed al contempo più piccolo di
3.2 i valori della funzione sono compresi fra 11.8 e 12.4 , pertanto la loro distanza da 12 è minore di 0.5 . In
termini più rigorosi possiamo risolvere la disequazione che richiede che la differenza fra la funzione e 12 sia
inferiore a 0.5 :
2 (x − 3) (x + 3)
x −3
2x 2 − 18
− 12 < 0.5
x −3
⇒
1
<0
2
2x + 6 −
− 12 −
⇒
−
1 2x 2 − 18
1
<
− 12 <
2
x −3
2
25
<0
2
⇒
x<
13
4
⇒
x <3+
1
4
1
2 (x − 3) (x + 3)
x −3
− 12 +
1
>0
2
⇒
2x + 6 −
23
>0
2
⇒
x>
11
4
⇒
x > 3−
1
4
abbiamo così trovato un intorno di 3 , di raggio 1 4 dove la funzione assume valori che distano da 12 meno
di 1 2 . La verifica può essere effettuata con qualsiasi numero di scelga. Nel caso più generale, indicando con
la lettera greca ε (epsilon) il numero scelto a piacere, la condizione diventa di soddisfare ∀ε > 0 la
disequazione:
2x 2 − 18
− 12 < ε
x −3
in un intorno di 3 . Vediamo:
−ε <
2 (x − 3) (x + 3)
x −3
− 12 > −ε
2 (x − 3) (x + 3)
x −3
2x 2 − 18
− 12 < ε
x −3
− 12 < ε
⇒
2x − 6 > −ε
⇒
2x − 6 < ε
⇒
⇒
Abbiamo trovato che comunque si scelga ε , esiste un intorno di 3
ε
in cui la funzione dista da 12 meno di ε , cioè:
di raggio
2
ε
ε
2x 2 − 18
− 12 < ε
se x ∈ 3 − ; 3 + allora
2
2
x −3
x < 3−
x <3+
ε
2
ε
2
12 + ε
12
Di solito il raggio dell’intorno, dipendente da ε , viene indicato con la
notazione δε (delta con epsilon). Sul grafico vediamo la
12 − ε
rappresentazione di questo comportamento.
Possiamo a questo punto caratterizzare il comportamento di una
generica funzione nell’intorno di un punto dove goda di proprietà
analoghe a quelle suesposte attraverso la seguente definizione di
limite finito in un punto:
3−
ε
2
3
3+
ε
2
Definizione: Sia x 0 un punto di accumulazione per il dominio di una funzione f (x ) . Si dice che il limite per x che
tende ad x 0 di f (x ) è uguale ad ℓ se:
∀ε > 0
∃ δε > 0
tale che se
0 < x − x 0 < δε
allora:
f (x ) − ℓ < ε
In questo caso si scrive:
lim f (x ) = ℓ
x →x 0
1) Osserviamo che la possibilità di calcolare il limite in un punto, cioè di analizzare il comportamento
della funzione nell’intorno di quel punto, è estesa solamente ai punti di accumulazione per il
dominio della funzione. Infatti per calcolare il comportamento intorno ad x 0 dobbiamo poterci
avvicinare a piacere ad x 0 . Consideriamo ad esempio la funzione definita a tratti:
2
2
x 2 se x < 0
f (x ) =
2 se x = 1
1
il punto x = 1 non è di accumulazione per il dominio D : (−∞; 0) ∪ {1} , ma è un punto isolato. Non
potendoci avvicinare ad esso non ha senso studiare il comportamento della funzione in suo intorno e
quindi non è nemmeno possibile calcolare il lim f (x ) .
x →1
x
f (x )
2) Il significato del calcolo del limite di una funzione in un punto è di
0.070
considerare la possibilità che nei casi in cui ci si può avvicinare 0.25
−0.174
indefinitamente ad un punto x 0 di accumulazione per il suo dominio, sia che −0.1
si possa o meno calcolare f (x 0 ) , il valore la funzione si stabilizzi attorno ad
0.01
0.985
un valore ℓ . Non è automatico che una simile stabilizzazione avvenga: ad
esempio si consideri la tabella dei valori della funzione:
0.002
0.642
−0.0005
−0.342
0.000005
0.342
f (x ) = sin
1
x
D : ℝ − {0}
0.0000045 0.977
a mano a mano che ci si avvicina al valore x = 0 , punto di accumulazione per il dominio della f (x )
e dove essa non esiste. Come si osserva, anche se i valori sono sempre più prossimi allo zero, non
appare alcuna regolarizzazione nel comportamento. In termini della definizione quindi non esiste
nessun intorno di x = 0 nel quale il valore di f (x ) dista quanto poco si vuole da un numero ℓ .
1
Diremo in questi casi che ∃ lim sin .
x →0
x
Una definizione alternativa per il limite ℓ di f (x ) in un punto x 0 ,
è quella di dire che comunque si scelga un intorno U (ℓ) , esiste un
U
(
ℓ
)
intorno U (x 0 ) tale che se x ∈ U (x 0 ) allora f (x ) ∈ U (ℓ) .
ℓ+ε
ℓ
ℓ−ε
x 0 − δε x 0 x 0 + δε
U (x 0 )
3
Esercizi di verifica dei limiti finiti in un punto
Gli esercizi sui limiti sono di due tipologie: la verifica ed il calcolo. Verificare un limite in un punto x 0
significa che si conosce già il valore di ℓ e si deve risolvere la disequazione f (x ) − ℓ < ε , dimostrando che essa
è soddisfatta in un intorno di x 0 , trovando eventualmente l’espressione per δε . Il calcolo del limite consiste
invece nella ricerca del valore di ℓ .
Esempio 1
Verificare il limite:
lim (2x + 1) = 9
x →4
La disuguaglianza:
2x + 1 − 9 < ε
deve essere soddisfatta in un intorno di x 0 = 4 , della forma (4 − δε ; 4 + δε ) . Risolviamo:
−ε < 2x − 8 < ε
⇒
8 − ε < 2x < 8 + ε
⇒
4−
ε
ε
<x <4+
2
2
4 − ε2
La soluzione trovata è con tutta evidenza un intorno di 4 di
ε
raggio δε = .
2
4
4 + ε2
Esempio 2
Verificare il limite:
lim (2x 2 − 3) = −1
x →1
Si tratta di un caso banale, dove esiste il valore f (1) = −1 e la funzione si stabilizza proprio attorno ad esso.
La definizione si applica nel seguente modo:
∀ε > 0
∃ δε
tale che se
0 < x − 1 < δε
⇒
2x 2 − 3 − (−1) < ε
La verifica consiste nel risolvere la disequazione 2x 2 − 3 − (−1) < ε provando che essa è soddisfatta in un
intorno di x 0 = 1 . Procediamo:
2x 2 − 3 − (−1) < ε
⇒
− ε < 2x 2 − 2 < ε
⇒
2x 2 − 2 > −ε
2
2x − 2 < ε
⇒
x2 −1 + ε2 > 0
2
x −1− ε2 < 0
4
Prima disequazione:
x2 −1 + ε2 > 0
⇒
+
x = ± 1− ε2
− 1− ε2
Seconda disequazione:
2
x −1− ε2 < 0
⇒
+
−
−
+
x = ± 1 + ε2
1− ε2
− 1 + ε2
+
1 + ε2
Intersezione delle soluzioni:
− 1 + ε2
− 1− ε2
0
1− ε2
1 + ε2
1
2x 2 − 2 > − ε
2x 2 − 2 < ε
Come si vede la soluzione del sistema di disequazioni comprende senz’altro un intorno di x 0 = 1 , il cui
{
}
raggio è δε = min 1 − 1 − ε 2 ; 1 + ε 2 − 1 .
Esempio 3
Verificare il limite:
lim 3x + 3 = 3
x →2
La disuguaglianza:
3x + 3 − 3 < ε
deve essere soddisfatta in un intorno di x = 2 , della forma (2 − δε ;2 + δε ) .
3x + 3 − 3 < ε
⇒
− ε < 3x + 3 − 3 < ε
⇒
3x + 3 > 3 − ε
3x + 3 < 3 + ε
Prima disequazione:
3
y = 3−ε
y = 3−ε
2
1
y = 3x + 3
⇒ x = y2 − 1
y = 3x + 3 ⇒
3
y ≥0
la parabola sovrasta la retta in (x1 ; +∞) . Troviamo x1 :
3
−1
3x + 3 = 3 − ε
⇒
3x + 3 = 9 − 6ε + ε
x1
2
5
x1 =
1
ε2
(9 − 3 − 6ε + ε2 ) = 2 − 2ε +
3
3
Si vede che se se −2ε +
ε2
ε2
< 0 , la quantità 2 − 2ε +
è senz’altro più piccola di 2 . Questo accade quando
3
3
ε2
< 2 ε ⇒ ε < 6 . Per valori di ε più piccoli di 6 risulta quindi x 1 < 2 . D’altronde il condominio della
3
funzione f (x ) = 3x + 3 è [ 0;+∞) quindi i valori di ordinata dei punti sulla funzione che stanno sotto
y = 3 possono distare da y = 3 al massimo 3 , pertanto avere ε < 6 non contraddice la definizione di
limite nel senso che sono tutti i valori ammissibili per quella funzione.
Seconda disequazione:
y = 3+ε
2
1
y = 3x + 3
⇒ x = y2 − 1
y = 3x + 3 ⇒
3
y ≥0
la retta sovrasta la parabola in (−1; x 2 ) . Troviamo x 2 :
y = 3+ε
3
3
3x + 3 = 3 + ε
x2 =
⇒
3x + 3 = 9 + 6ε + ε
2
1
ε2
(9 − 3 + 6ε + ε2 ) = 2 + 2ε +
3
3
−1
x2
ed evidentemente x 2 > 2 .
Intersezione delle soluzioni:
−1
0
x1
2
x2
3x + 3 − 3 > − ε
3x + 3 − 3 < ε
Come si vede la soluzione del sistema di disequazioni comprende senz’altro un intorno di 2 , il cui raggio è
δε = min {2 − x1; x 2 − 2} .
Esempio 4
Verificare il limite:
x 2 − 5x + 6
=1
x →3
x −3
lim
La disuguaglianza:
x 2 − 5x + 6
−1 < ε
x −3
6
deve essere soddisfatta in un intorno di x = 3 , della forma (3 − δε ; 3 + δε ) . In questo caso la funzione non
può essere calcolata in x = 3 , che comunque è un punto di accumulazione per il D : ℝ − {3} .
Osserviamo che anche il numeratore ha x = 3 come radice, quindi conviene semplificare, operazione che
può essere eseguita solo se x ≠ 3 :
(x − 3) (x − 2)
x −3
−1 < ε
⇒
x −3 < ε
⇒
−ε <x −3 < ε
⇒
3−ε <x < 3+ε
La soluzione trovata è con tutta evidenza un intorno di x 0 = 3 di
3−ε
3
3+ε
raggio δε = ε .
Studiare tomo C1 pp 32-35; es p29n1, verifiche limiti p 322 n3,9,11, p323 n20.
7
