I LIMITI
Consideriamo funzioni
f : Rn → R.
Sia A ⊆ Rn il dominio di f e sia x̄ un punto di accumulazione di A.
Definizione. Si dice che esiste il limite per x che tende a x̄ di f (x) ed è uguale a l ∈ R, e si
indica con
lim f (x) = l
x→x̄
se
∀B(l, ε)∃B(x̄, δ), x ∈ B(x̄, δ) ∩ A \ {x̄} =⇒ f (x) ∈ B(l, ε)
Osservazioni.
1. Nella definizione è importante escludere il punto x̄ dall’insieme dei punti in cui si valuta
la funzione. Per esempio, se noi definiamo una funzione f : R → R:
f (x) =
2
0
se x 6= 1
se x = 1
vedremo in seguito che limx→0 f (x) = 1. Se però non escludessimo 0 dall’insieme dei
punti considerati, questa funzione non avrebbe limite.
2. Se x̄ non è un punto di accumulazione di A, esisterebbe un intorno di x̄ tale che B(x̄, δ)∩
A \ {x̄} = ∅ e la definizione non sarebbe significativa.
3. Nella definizione è essenziale l’ordine con il quale si scelgono gli intorni: bisogna prima
prendere un intorno arbitrario di l; in funzione di questo, dobbiamo trovare un intorno
di x̄ sul quale valutare la funzione.
Esempi.
1.
f (x) =
2
0
se x 6= 1
se x = 1
Verifichiamo che limx→1 f (x) = 2.
Osserviamo che il dominio di f è tutto R. Dobbiamo far vedere che.
∀B(2, ε)∃B(1, δ), x ∈ B(1, δ) ∩ R \ {1} =⇒ f (x) ∈ B(2, ε)
e cioè, scelto ε > 0, dobbiamo trovare un δ > 0 tale che, se 0 < |x − 1| < δ, allora
|f (x) − 2| < ε.
Dato che, per ogni x 6= 1, f (x) = 2, abbiamo che |f (x) − 2| = 0 < ε, qualunque sia
l’intorno di x̄ = 1 scelto e dunque limx→1 f (x) = 2.
Come abbiamo già osservato in precedenza, se non togliamo il punto x̄ = 1, la proposizione non è più vera, perché f (1) = 0, che non sta in un intorno arbitrario di 2.
1
2. Data la funzione
f : R2 → R,
f (x, y) = x2 + y 2 ,
verifichiamo che
lim
(x,y)→(0,0)
(x2 + y 2 ) = 0.
Sia O = (0, 0). Dob- biamo far vedere che
∀B(O, ε)∃B(0, δ), (x, y) ∈ B(O, δ) \ {O} =⇒ x2 + y 2 ∈ B(0, ε),
e cioè, fissato un intorno arbitrario di 0 sull’asse reale (un intervallo (−ε, ε)), dobbiamo
trovare un intorno dell’origine
che hanno distanza inferiore
√ 2 (cioè2 l’insieme dei punti2(x, y)
2
a δ dall’origine,
e
dunque
x
+
y
<
δ
)
per
i
quali
x
+y
<
ε. Basterà allora prendere
√
δ = ε.
Rileggiamo la definizione di limite ricordando cosa si intende per intorno sferico di un
punto in R e in Rn . In particolare, un intorno B(x̄, δ) è l’insieme dei punti che hanno distanza
da x̄ inferiore a δ. Indicato con x un punto di Rn e con y un numero reale:
x ∈ B(x̄, δ) \ {x̄} ⇐⇒ 0 < kx − x̄k < δ
y ∈ B(l, ε) ⇐⇒ |y − l| < ε ⇐⇒ l − ε < y < l + ε
Potremo allora dire che limx→x̄ f (x) = l se e solo se
∀ε > 0 ∃δ > 0, 0 < kx − x̄k < δ e x ∈ A =⇒ |f (x) − l| < ε
o anche
∀ε > 0 ∃δ > 0, 0 < kx − x̄k < δ e x ∈ A =⇒ l − ε < f (x) < l + ε.
A seconda dei casi useremo la notazione che più ci farà comodo.
Infiniti.
Per estensione, abbiamo definito come intorno di +∞ in R una semiretta (a, +∞), mentre
(−∞, a) è un intorno di −∞. Per uniformità di notazione, continuiamo a denotare con
B(+∞, a) e B(−∞, a) questi intorni.
Sia x̄ un punto di accumulazione del dominio A di una funzione f : Rn → R. Supponiamo
che f sia illimitata in un intorno di x̄.
Definizione. Diremo che f (x) tende a +∞ per x → x̄, e scriveremo
lim f (x) = +∞
x→x̄
se
∀B(+∞, a) ∃B(x̄, δ), x ∈ B(x̄, δ) ∩ A \ {x̄} =⇒ f (x) ∈ B(+∞, a).
Ricordando il significato di intorno di x̄ e di intorno di +∞, la definizione può essere scritta
anche cosı̀:
∀a ∈ R ∃δ > 0, 0 < kx − x̄k < δ e x ∈ A =⇒ f (x) > a.
Definizione. Diremo che f (x) tende a −∞ per x → x̄, e scriveremo
lim f (x) = −∞
x→x̄
2
se
∀B(−∞, a) ∃B(x̄, δ), x ∈ B(x̄, δ) ∩ A \ {x̄} =⇒ f (x) ∈ B(−∞, a).
o anche
∀a ∈ R ∃δ > 0, 0 < kx − x̄k < δ e x ∈ A =⇒ f (x) < a.
Esempi.
1. Sia f (x) =
questo caso
1
.
x2
Allora A =domf = R \ {0}, e 0 è punto di accumulazione di A. In
1
= +∞.
x→x̄ x2
lim
Dobbiamo far vedere che
∀a ∈ R ∃δ > 0, 0 < |x| < δ e x ∈ A =⇒
1
> a.
x2
Se a ≤ 0 x12 > a per ogni x ∈ A. Se invece a > 0, x12 > a ⇐⇒ x2 < a1 e x 6= 0, cioè se
e solo se |x| < √1a e x 6= 0. Abbiamo cosı̀ trovato un intorno di x̄ = 0 di raggio δ = √1a
per cui la proposizione è verificata.
2. Analogamente si può mostrare che
1
lim − 2
x→x̄
x
= −∞.
3. Non tutte le funzioni illimitate hanno limite uguale a +∞ o a −∞. Per esempio, la
funzione f (x) = x1 non ha limite per x → 0. In questo caso però possiamo ancora dare
una definizione utile.
Definizione. Diremo che la funzione tende a ∞ per x → x̄, e scriveremo
lim f (x) = ∞
x→x̄
se
∀B(+∞, a) ∃B(x̄, δ), x ∈ B(x̄, δ) ∩ A \ {x̄} =⇒ |f (x)| ∈ B(+∞, a)
cioè se
∀a ∈ R ∃δ > 0, 0 < kx − x̄k < δ e x ∈ A =⇒ |f (x)| > a.
La funzione f (x) = x1 soddisfa questa proprietà.
Definizione. Una funzione il cui limite per x → x̄ tende a ∞ viene detta un infinito per
x → x̄.
Osservazione. Non tutte le funzioni illimitate in un intorno di un punto di accumulazione del
dominio hanno limite infinito. Per esempio, la funzione
f (x) =
1
1
· sin
x
x
è illimitata in un intorno di x = 0, ma non ha limite, poiché in ogni intorno dell’origine assume
tutti i valori reali.
3
Esercizi.
1. Verificare, usando la definizione, che limx→0
1
x4
2. Verificare, usando la definizione, che limx→5
1
x−5
= +∞.
= ∞.
Limiti all’infinito.
In questo paragrafo lavoreremo esclusivamente con funzioni il cui dominio è un sottoinsieme di R.
Definizione. Dato un insieme A ∈ R, diremo che +∞ è un punto di accumulazione di A se
∀(a, +∞), A ∩ (a, +∞) 6= ∅.
Analogamente si dice che −∞ è un punto di accumulazione di A se ∀(−∞, a), A ∩
(−∞, a) 6= ∅.
Per esempio, +∞ è l’unico punto di accumulazione di N, mentre +∞ e −∞ sono gli unici
punti di accumulazione di Z.
Definizione. Sia f : A ⊆ R → R e sia +∞ un punto di accumulazione di A. Diremo che
esiste il limite per x → +∞ di f ed è uguale a l ∈ R, e scriveremo
lim f (x) = l
x→+∞
se
∀B(l, ε) ∃(a, +∞), x ∈ (a, +∞) ∩ A
=⇒
f (x) ∈ B(l, ε).
La stessa definizione può essere scritta cosı̀:
∀ε > 0 ∃a ∈ R, x > a e x ∈ A
=⇒
l − ε < f (x) < l + ε.
Se −∞ è un punto di accumulazione di A, potremo dare una analoga definizione di limite
per x → −∞. Inoltre, può accadere che tali limiti siano uguali a +∞, −∞ o ∞. Lasciamo
al lettore la formulazione delle definizioni esatte.
Esempi.
1. Sia f (x) = x1 . Il dominio di f è R \ {0}, quindi +∞ e −∞ sono punti di accumulazione
del dominio. Vediamo che
1
lim
= 0.
x→+∞ x
Dobbiamo dimostrare che, fissato ε > 0, esiste a ∈ R tale che, se x > a e x 6= 0, allora
−ε < x1 < ε.
Possiamo limitarci alle x > 0, per le quali f (x) > 0. Osserviamo allora che
solo se x > 1ε ; sceglieremo dunque a = 1ε .
Il lettore dimostri che anche limx→−∞
1
x
1
x
< ε se e
= 0.
2. f (x) = x2 . In questo caso mostriamo che
lim x2 = +∞.
x→−∞
Dobbiamo far vedere che:
∀(M, +∞) ∃(−∞, a), x ∈ (−∞, a)
=⇒
f (x) = x2 ∈ (M, +∞).
Ma x2 ∈ (M, +∞) se e solo se x2 > M . Se M <√0 la diseguaglianza
è sempre verificata.
√
2
Se invece M > 0, x > M se e solo
√ se x < − M o x > M . Abbiamo cosı̀ trovato
l’intorno di −∞ cercato: (−∞, − M ).
4
Notazioni. Da adesso in poi indicheremo con c un punto di accumulazione di A (eventualmente uguale a +∞ o a −∞) e con B(c) un intorno di c (a seconda dei casi sarà un
incontro sferico o una semiretta). Quando necessario, specificheremo meglio il tipo di intorno
considerato.
Limite destro e limite sinistro.
Definizione.
1. Sia x̄ ∈ R. Diciamo intorno destro di x̄ un intervallo [x̄, x̄ + δ). Diciamo intorno sinistro
di x̄ un intervallo (x̄ − δ, x̄].
Denotiamo con B + (x̄) un intorno destro e con B(x̄− ) un intorno sinistro di x̄.
2. Sia A ⊆ R. Diciamo che x̄ è un punto di accumulazione destro di A se ∀B + (x̄), A ∩
B + (x̄) \ {x̄} =
6 ∅.
Diciamo che x̄ è un punto di accumulazione sinistro di A se ∀B − (x̄), A∩B − (x̄)\{x̄} =
6 ∅.
Definizione. Sia f : A ⊆ R → R e sia c un punto di accumulazione destro di A. Diremo che
esiste il limite destro di f (x) per x che tende a c, ed è uguale a L e scriveremo
lim f (x) = L
x→c+
se
∀B(L) ∃B + (c), x ∈ B + (c) ∩ A \ {c} =⇒ f (x) ∈ B(L).
Analogamente definiremo il limite sinistro di f (x) per x che tende a c, che indicheremo
come
lim− f (x) = L.
x→c
Lasciamo al lettore quest’ultima definizione.
Può accadere che una funzione non abbia limite per x → c, ma che abbia limite destro e
limite sinistro. Per esempio, f (x) = x1 non ha limite per x → 0, ma:
lim
x→0+
1
= +∞,
x
lim
x→0−
5
1
= −∞
x
Come verificare che una funzione non ha limite per x → x̄.
Vogliamo far vedere come si nega l’esistenza del limite. Dalla logica sappiamo che negare
un predicato
∀y ∃x, p(x, y)
significa:
∃y ∀x, ¬p(x, y).
In questo caso p(x, y) è la proposizione x ∈ A ∩ B(x̄, δ) \ {x̄} =⇒ f (x) ∈ B(L, ε). In
logica abbiamo visto che il connettore p =⇒ q è equivalente ai connettori ¬p vel q. Negare
quest’ultimo, per le leggi di De Morgan, significa quindi affermare che deve essere vera la
proposizione p e ¬q.
Mettendo insieme tutto questo, far vedere che
lim f (x) 6= L
x→x̄
è equivalente a far vedere che
∃B(L)∀B(x̄) ∃x ∈ A ∩ B(δ) \ {x̄} e f (x) ∈
/ B(L).
Limiti di funzioni e limiti di successioni.
È possibile dimostrare un teorema che collega i limiti di successioni ai limiti di funzioni.
Sia f : A ⊆ R → R e sia c un punto di accumulazione di A. Sia inoltre g(n) = xn ∈ A una
qualunque successione tale che limn→+∞ g(n) = limn→+∞ xn = c. Possiamo allora calcolare
limn→+∞ f (xn ) Utilizzando il Teorema sul limite di funzione composta (cfr. Canuto-Tabacco),
si dimostra che:
Teorema. Sia f : A ⊆ R → R e sia c un punto di accumulazione di A.
Allora:
∃ lim f (x) = L
x→c
se e solo se, per ogni successione g(n) = xn ∈ A tale che limn→+∞ g(n) = limn→+∞ xn = c:
lim f (xn ) = L.
n→+∞
Questo teorema risulta spesso utile per dimostrare che una funzione non ha limite per
x → c.
Corollario. Sia f : A ⊆ R → R e sia c un punto di accumulazione di A.
Se esistono due successioni g(n) = xn ∈ A e h(n) = yn ∈ A tali che limn→+∞ xn =
limn→+∞ yn = c e tali che
lim f (xn ) 6= lim f (yn )
n→+∞
n→+∞
=⇒ f non ha limite per x → c.
Dim. Se f avesse limite, per il Teorema precedente dovremmo avere che limn→+∞ f (xn ) =
limn→+∞ f (yn ), contro le ipotesi del Corollario.
6
Limite di funzione composta.
Enunciamo i due teoremi sui limiti di funzione composta (per la dimostrazione del primo,
vedi Canuto - Tabacco).
Teorema 1. Siano f : A ⊆ R → R e g : B ⊆ R → R due funzioni. Sia inoltre c un punto di
accumulazione di A = dom f e sia limx→c f (x) = l ∈ B = dom g.
=⇒ esiste limx→c g ◦ f (x) = g(l).
Teorema 2. Siano f : A ⊆ R → R e g : B ⊆ R → R due funzioni tali che f (A) = B.
• Sia c un punto di accumulazione di A = dom f e sia limx→c f (x) = l.
• Esiste B(c) tale che per ogni x ∈ B(c) ∩ A, f (x) 6= l.
• Sia l un punto di accumulazione di B = dom g e sia limy→l g(y) = m.
=⇒ esiste limx→c g ◦ f (x) = g(l) = limy→l g(y) = m.
La dimostrazione del secondo teorema segue la linea della dimostrazione del teorema
precedente. Nell’esempio seguente, vediamo che, se non chiediamo che f (x) 6= l nei punti di
A ∩ B(c), il Teorema non è valido.
Esempio. Siano
f (x) = 0
g(y) =
1
y 6= 0
y=0
=⇒
g ◦ f (x) = g(0) = 0, ∀x ∈ R.
Dunque,
lim g ◦ f (x) = 0.
x→0
D’altra parte, limy→0 g(y) = 1. Se potessimo applicare il Teorema 2, dovremmo avere
che limx→0 g ◦ f (x) = limy→0 g(y) = 1, mentre abbiamo visto dal calcolo diretto che questo
limite è uguale a 0.
7
