I NUMERI REALI E I RADICALI Problemi, ragionamenti, deduzioni
Scheda di lavoro
PROBLEMI, RAGIONAMENTI, DEDUZIONI
Espressioni a confronto
兹苶
2
兹3
苶 兹2
苶 ⫹ 兹3
苶
È maggiore ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ o ᎏᎏ ?
8
12
10
FRANCESCO:
CHIARA:
FRANCESCO:
«Nessuna delle due: sono uguali! Ho fatto il calcolo approssimato,
sapendo che 兹3苶 è circa 1,7 e 兹2苶 è circa 1,4: entrambe le espressioni danno 0,3».
«Forse hai usato un’approssimazione eccessiva. Inoltre, anche se
due espressioni hanno lo stesso valore approssimato con un numero grande di cifre, non è detto che siano uguali. Posso farti degli
esempi».
«Giusto. E poi, perché tanti calcoli? Usiamo l’algebra!».
䉴 Per il confronto, utilizza le regole sui radicali e quelle sulle disuguaglianze.
1. Usiamo l’algebra!
兹2苶
兹3苶 兹2苶 ⫹ 兹3苶
Confrontiamo fra loro ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ e ᎏᎏ utilizzando le regole che hai studiato per i radicali.
8
12
10
Nella prima espressione esegui l’addizione, ottenendo un’unica frazione:
兹苶
2
兹3苶
…… ⫹ ……
ᎏᎏ ⫹ ᎏᎏ ⫽ ᎏᎏ.
8
12
……
Riduci la frazione così ottenuta e quella della seconda espressione allo stesso denominatore:
…… ⫹ ……
prima espressione ⫽ ᎏᎏ;
120
…… ⫹ ……
seconda espressione ⫽ ᎏᎏ.
120
Ora è sufficiente confrontare i numeratori delle due frazioni. Risulta:
兹2苶
兹3苶
兹2苶 ⫹ 兹3苶
ᎏᎏ ⫹ᎏᎏ ⬎ ᎏᎏ
8
12
10
se e solo se
…… ⫹ 10兹3苶 ⬎ 12兹2苶 ⫹ …… .
Sottrai la medesima quantità a entrambi i membri, in modo da ottenere una disuguaglianza equivalente alla precedente, ma con un radicale simile a 兹2苶 soltanto al primo membro:
……兹2苶 ⫹ 10兹3苶 ⬎ 12兹3苶.
Analogamente puoi ottenere una disuguaglianza con soltanto un radicale simile a 兹3苶 al secondo membro:
……兹2苶 ⬎ ……兹3苶.
Porta ora i fattori dentro alle radici e, per finire, confronta i radicali.
Cosa puoi concludere? …………………………………………………………………………………………….
Copyright © 2010 Zanichelli editore SpA, Bologna [6821 der]
Questo file è una estensione online dei corsi di matematica di Massimo Bergamini, Anna Trifone e Graziella Barozzi
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I NUMERI REALI E I RADICALI Problemi, ragionamenti, deduzioni
2. Un secondo confronto
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Per confrontare 兹3苶 ⫺ 兹2苶 e ᎏᎏ , scegli valori approssimati di 兹3苶 e 兹2苶, con cinque cifre decimali.
兹3苶 ⫹ 兹2苶
Che cosa noti? …………………………………………………………………………………………………….
Puoi concludere che le espressioni sono uguali? …….
Dimostra la loro uguaglianza mediante il calcolo algebrico.
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