2 è un numero irrazionale
Dimostrazione per assurdo
Un numero irrazionale non si può scrivere sotto
forma di frazione.
Ogni frazione si può ridurre ai minimi termini.
Le frazioni ridotte ai minimi termini non sono
semplificabili.
I numeri pari sono multipli di due.
Pari x Pari = Pari e
Dispari x Dispari = Dispari
Supposto che √2 sia un numero razionale e perciò
si possa scrivere come frazione ridotta ai minimi
termini:
dove a, b sono interi
a
privi di fattori comuni e
2=
b
b ≠ 0.
Elevando al quadrato entrambi I membri:
a
2=
b
2
⎛ a ⎞
2 = ⎜ ⎟
⎝ b ⎠
2
a
2= 2
b
∴ a 2 = 2b 2
2
2
a a a
⎛ a ⎞
⎜ ⎟ = × = 2
b b b
⎝ b ⎠
Semplificando il
denominatore:
Allora a2 è un numero pari (è il doppio di b2).
Se a2 è un numero pari, anche a deve essere un
numero pari.
Perché:
Pari x Pari = Pari e
Dispari x Dispari = Dispari
Se a è pari, allora è il doppio di unaltro numero:
a = 2r
(i numeri pari sono multipli di due).
Sostituendo:
2
a = 2b
a = 2r
2
2
(2r ) = 2b
2
4r = 2b
2
2
2
⇒ b = 2r
2
Come prima si può dedurre che b2 è pari e quindi,
b deve essere pari.
Allora a e b hanno il fattore due in comune e
perciò la frazione:
a
b
si può semplificare.
€
CONTRADDIZIONE
Partendo dallʼuguaglianza:
a
2=
b
abbiamo trovato che la frazione ridotta ai minimi
termini è comunque semplificabile.
Lʼerrore nasce dallʼaver posto la radice di due sotto
forma di frazione
€
Poiché
2
Non si può porre sotto forma di frazione allora √2
deve essere un numero irrazionale.
€
