Nome………………..Cognome………………………… classe 4G
27 Novembre 2008
Verifica di matematica: Goniometria
1) Calcola il valore delle seguenti espressioni: (punti: 1.5)
2
a) cos 2 arcsin
3
π
2
b) tan + arccos −
3
3
arctan(−5)
c) sin
2
2) Delle seguenti funzioni:
determina l’intersezione con l’asse delle ordinate
determina le intersezioni con l’asse delle ascisse
traccia il grafico
a)
y = 4 sin 2 (3x) − 3
(punti: 1,5)
b) y = 3 sin x − 3 cos x + 1
(punti: 1)
c) y = 1 − sin(4 x)
(punti: 1.5)
3) Risolvi le seguenti equazioni (punti: 1.5)
x
a) 2 sin 2 + sin x = 0
2
b) 3 cos 2 x − sin 2 x + sin 2 x = 0
π
π
c) cos 3 x + − cos − 2 x = 0
6
4
4) Risolvi le seguenti disequazioni (punti: 1.5)
a)
3 + 3 tan x
2 sin x − 1
2
>0
b) cos x − 3 sin x ≤ 0
π
3
c) sin(3 x + ) ≤
3
2
5) Scrivi l’equazione della parabola p che è tangente all’asse delle ascisse nel suo punto V di ascissa 2 e passa per
A(-2;-3). Determina l’equazione della retta tangente alla parabola nel punto di intersezione con l’asse delle ordinate
(punti: 1.5)
Verifica 27/11/2008 classe 4G
1
SOLUZIONI: verifica di matematica del 27 novembre
2
ESERCIZIO 1 a) Calcola il valore di cos 2 arcsin
3
1
2
ponendo α = arcsin sappiamo che sin α = e α è nel 1° quadrante e, usando la formula di
3
3
8 1
1
duplicazione del coseno dobbiamo calcolare cos 2 arcsin = cos(2α) = 1 − 2 sin 2 α = 1 − =
9 9
3
π
2
ESERCIZIO 1 b) Calcola il valore di tan + arccos −
3
3
2
2
ponendo α = arccos − sappiamo che cos α = − e α è nel 2° quadrante e, usando la formula di
3
3
addizione della tangente, dobbiamo calcolare:
π
tan + tan α
π
π
3 + tan α
2
3
tan + arccos − = tan( + α) =
=
π
3
3
3
1 − tan ⋅ tan α 1 − 3 tan α
3
Dall’identità goniometrica fondamentale, tenendo conto del quadrante si ha
5
5
, quindi tan α = −
sin α = + 1 − cos 2 α = +
Si ottiene quindi
3
2
5
3−
π
2
2 = 2 3− 5
tan + arccos − =
15
2 + 15
3
3
1+
2
arctan(−5)
ESERCIZIO 1 c) Calcola il valore di sin
2
ponendo α = arctan(−5) sappiamo che tan α = −5 e α è nel 4° quadrante , usando la formula di bisezione
1 − cos α
arctan(−5)
α
del seno e tenendo conto del quadrante possiamo scrivere: sin
= sin = −
2
2
2
1
1
Dalla relazione tra tangente e coseno, tenendo conto del quadrante: cos α = +
=+
,
2
26
1 + tan α
1
1−
26 − 26
1
26
=−
quindi sin arctan(−5) = −
2
52
2
Esercizio 2 a) Considera la funzione y = 4 sin 2 (3x) − 3
intersezione con l’asse delle ordinate;
L’intersezione con l’asse delle ordinate si trova semplicemente sostituendo 0 alla x. Si ha così il punto
A( 0;−3)
intersezione con l’asse delle ascisse:
Per l’intersezione con l’asse delle ascisse bisogna porre y=0 e risolvere l’equazione
3
3
π
goniometrica 4 sin 2 (3x) − 3 = 0 ⇒ sin 2 (3 x) =
⇒ sin(3 x) = ±
⇒ 3 x = ± + kπ
4
2
3
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2
π kπ
+
9 3
quindi x = ±
per tracciare il grafico devo abbassare di grado usando le formule di duplicazione del coseno, in
cos(2α) = 1 − 2 sin 2 α ,
particolare
sin 2 3 x =
da
cui
si
ricava
1 − cos(6 x)
2
,
la
funzione
da
disegnare
1
−
cos(
6
)
x
y = 4 sin 2 (3 x) − 3 = 4 ⋅
− 3 = −2 cos(6 x) − 1
2
sin 2 α =
può
1 − cos(2α)
2
quindi
essere
e
quindi
riscritta:
.
y
3
Il grafico di y = −2 cos(6 x) − 1 si ottiene dal grafico del coseno,
dilatando verticalmente di 2 e comprimendo orizzontalmente di
6, si considera di quanto ottenuto il simmetrico rispetto all’asse
delle ascisse ed infine si sposta l’asse orizzontale in alto di 1.
x
−3
3
−3
Esercizio 2 b) Considera la funzione: y = 3 sin x − 3 cos x + 1
intersezione con l’asse delle ordinate;
L’intersezione con l’asse delle ordinate si trova semplicemente sostituendo 0 alla x. Si ha così il punto
A( 0;−2)
intersezione con l’asse delle ascisse:
Per l’intersezione con l’asse delle ascisse bisogna porre y=0 e risolvere l’equazione goniometrica
lineare
3 sin x − 3 cos x + 1 = 0
, che si può risolvere con uno dei tre metodi studiati. Dovendo poi
tracciare il grafico il metodo più saggio è quello dell’angolo aggiunto.
cos α =
sin α =
a
a2 + b2
b
a2 + b2
3
;
2
=−
=
1
2
a 2 + b 2 = 12 = 2 3 ;
,
quindi α =
5
π
6
5
5
3
L’equazione diventa quindi: 2 3 cos x − π + 1 = 0 ⇒ cos x − π = −
,
6
6
6
La soluzione quindi è:
5
3
5
3
+ 2kπ ⇒ x = π ± arccos −
x − π = ± arccos −
6 + 2kπ
6
6
6
Verifica 27/11/2008 classe 4G
3
y
3
5
Il grafico di f ( x) = 2 3 cos x − π + 1 , si ottiene da
6
quello del coseno dilatato verticalmente di 2 3 , spostando
5
l’asse verticale a sinistra di π e quello orizzontale in
6
basso di 1.
x
−3
3
−3
Esercizio 2 c) Considera la funzione y = 1 − sin(4 x)
intersezione con l’asse delle ordinate;
L’intersezione con l’asse delle ordinate si trova semplicemente sostituendo 0 alla x. Si ha così il punto
A( 0;1)
intersezione con l’asse delle ascisse:
Per l’intersezione con l’asse delle ascisse bisogna porre y=0 e risolvere l’equazione goniometrica
π
π kπ
1 − sin(4 x) = 0 ⇒ sin(4 x) = 1 ⇒ 4 x = + 2kπ e quindi x = +
2
8 2
Per tracciare il grafico è necessario riscrivere il testo della funzione utilizzando l’identità
goniometrica fondamentale e la formula di duplicazione del seno:
.
y = cos 2 (2 x) + sin 2 (2 x) − 2 sin( 2 x) cos(2 x) = (cos(2 x) − sin(2 x)) 2 = cos(2 x) − sin(2 x)
Il grafico di y = cos(2 x) − sin(2 x) si ottiene riscrivendo la funzione con il metodo dell’angolo
aggiunto:
cos α =
sin α =
a2 + b2 = 2 ;
a
a2 + b2
b
a +b
2
2
=
2
;
2
=−
2
2
,
quindi α = −
La funzione della quale disegnare il grafico è equivalente a:
π
π
y = 2 cos(2 x + ) = 2 cos 2( x + ) ; si disegna il grafico
4
8
y
3
2
e compresso
π
orizzontalmente di 2, si sposta l’asse verticale a destra di
e
8
si ribaltano le parti negative (perché c’è il modulo su tutta
l’espressione)
del coseno dilatato verticalmente di
π
4
x
−3
3
−3
x
Esercizio 3 a) Nell’equazione 2 sin 2 + sin x = 0 si può utilizzare la formula di bisezione del seno ed
2
2
1 − cos x
+ sin x = 0 diventa
ottenere un’equazione lineare: 2 ±
2
1 − cos x + sin x = 0 che può essere risolta con uno dei tre metodi studiati,
per esempio utilizzando il secondo metodo si ha:
B
Verifica 27/11/2008 classe 4G
A
4
1 − X + Y = 0
X = 0
X = 1
π
che
risolto
dà
A
:
∨
B
:
e quindi x = − + 2kπ ∨ x = 2kπ
2
2
2
X + Y = 1
Y = −1
Y = 0
Esercizio 3 b) Utilizzando la formula di duplicazione del seno l’equazione 3 cos 2 x − sin 2 x + sin 2 x = 0 è
π
omogenea 3 cos 2 x − sin 2 x + 2 sin x cos x = 0 ; con la condizione cos x ≠ 0 cioè x ≠ + kπ si può
2
2
2
dividere per cos x e ottenere l’equazione di 2° in tangente: tan x − 2 tan x − 3 = 0 e quindi le due
π
equazioni elementari tan x = 3 ∨ tan x = −1 che risolte danno x = arctan 3 + kπ ∨ x = − + kπ
4
π
π
Esercizio 3 c) l’equazione cos 3 x + − cos − 2 x = 0 è elementare del tipo cos( f ( x) ) = cos( g ( x) )
6
4
π
π
cos 3 x + = cos − 2 x equivale alle due equazioni algebriche:
6
4
π π
π
π
3 x + = − 2 x + 2kπ ∨ 3 x + = − + 2 x + 2kπ
che risolte danno:
6 4
6
4
π 2
5
x=
+ kπ ∨ x = − π + 2kπ
60 5
12
3 + 3 tan x
Esercizio 4 a) La disequazione
> 0 è fratta; si studiano quindi separatamente numeratore
2 sin 2 x − 1
e denominatore e si fa il grafico del prodotto dei segni
3 + 3 tan x > 0
2 sin 2 x − 1 > 0
3
tan x > −
3
2
2
sin x < −
∨ sin x >
2
2
⇒
La soluzione è:
π
π
3π
5π
+ kπ < x < + kπ ∨
+ kπ < x <
+ kπ
4
2
4
6
+
+
+
+
Esercizio 4 b) La disequazione cos x − 3 sin x ≤ 0 è lineare (o omogenea di 1° grado); si può risolvere
facilmente usando il 2° metodo
X
B
X − 3Y ≤ 0
Y ≥
3
graficamente tale sistema è
⇒
2
X + Y 2 = 1
X 2 + Y 2 = 1
l’intersezione tra la circonferenza goniometrica e il semipiano che ha come origine
A
X
la retta di equazione Y =
Per determinare le coordinate dei punti A e B e
3
quindi i corrispondenti angoli bisogna risolvere il sistema tra la retta e la circonferenza goniometrica
3
3
X =−
X =
X
Y
=
10
10
3
Si ottiene A :
∨ B:
X 2 + Y 2 = 1
Y = − 1
Y = 1
10
10
3
3
La soluzione della disequazione è: arccos
+ 2kπ ≤ x < π + arccos
+ 2kπ
10
10
.
:
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5
3
π
3
π
3
≤ sin(3 x + ) ≤
.
Esercizio 4 c) La disequazione sin(3 x + ) ≤
è equivalente a −
3
2
2
3
2
π
Si tratta di una (due) disequazione elementare (ponendo 3 x + = t )
3
π
π π
− + kπ ≤ 3 x + ≤ + kπ
La soluzione in t è:
quindi, risolta in x
3
3
3
si ottiene:
−
2π kπ
kπ
+
≤x<
9
3
3
Esercizio 5 Scrivi l’equazione della parabola p che è tangente all’asse delle ascisse nel suo punto V di ascissa 2 e
passa per A(-2;-3). Determina l’equazione della retta tangente alla parabola nel suo punto di intersezione con l’asse
delle ordinate
La parabola p ha asse verticale (dovendo essere tangente all’asse delle ascisse), poiché il vertice è V(2;0),
apparterrà al fascio y = a( x − 2) 2 , imponendo l’appartenenza di A(-2;-3) si trova il valore del parametro a:
3
3
3
3
3
A ∈ p − 3 = a ( − 4) 2 ⇒ a = −
quindi p : y = − ( x − 2) 2 = − x 2 + x −
16
16
16
4
4
Il punto P di intersezione con l’asse delle ordinate si trova sostituendo 0 alla x nell’equazione della
3
parabola: P 0;− .
4
La retta tangente apparterrà al fascio di centro in P, quindi:
3
y = mx −
e avrà coefficiente angolare dato dalla relazione
4
m = 2ax P + b = 1 oppure determinato imponendo che sia nullo il
discriminante dell’equazione di 2° grado che si ottiene mettendo a
sistema l’equazione della parabola con quella del fascio:
P
V
3 2 3
3
y
=
−
x
+
x
−
3
3
3
3
16
4
4
⇒ − x 2 + x ( − m) = 0 ⇒ ∆ = ( − m) 2 = 0 ⇒ m =
16
4
4
4
y = mx − 3
A
4
y
−3
3
−3
La retta tangente avrà quindi equazione y =
3
3
x−
4
4
−6
O
Verifica 27/11/2008 classe 4G
6
x
6
