studio di funzioni

STUDIO DI FUNZIONI FUNZIONI REALI DI UNA VARIABILE REALE
Vogliamo ora limitare la nostra attenzione a quelle funzioni che hanno come
insieme di partenza e di arrivo un sottoinsieme dei numeri reali, cioè 𝐴, 𝐵 ⊆ ℝ .
Es6. Funzione costante: 𝑓 𝑥 = 𝑘;
Es7. Funzione identità: 𝑓 𝑥 = 𝑥;
Es8. Funzione polinomiale di primo grado: 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 + 𝑞;
Es9. Funzione polinomiale di secondo grado: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 ! + 𝑏𝑥 + 𝑐;
Es10. Funzione polinomiale: 𝑓 𝑥 = 𝑎! 𝑥 ! + 𝑎!!! 𝑥 !!! + ⋯ + 𝑎! 𝑥 + 𝑎! ;
Es11. Funzione razionale: 𝑓 𝑥 =
!! ! ! !!!!! ! !!! !⋯!!! !!!!
!! ! ! !!!!! ! !!! !⋯!!! !!!!
.
Ci limiteremo, per ora, ad analizzare solo queste tipologie di funzioni
reali.
Ma qual è il problema principale da affrontare nello studio di una funzione?
È quello di tracciare nel piano cartesiano il grafico relativo alla funzione
considerata.
DEF.4 Si chiama GRAFICO DI UNA FUNZIONE REALE DI VARIABILE
REALE 𝑓: 𝐴 → 𝐵 il sottoinsieme del piano cartesiano ℝ×ℝ formato da quei
punti 𝑃 𝑥, 𝑦 tali che 𝑦 = 𝑓 𝑥 con 𝑥 ∈ 𝐴,
𝐺! =
𝑥, 𝑦 ∈ ℝ×ℝ: 𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 = 𝑓 𝑥
Nell’Es6. il grafico è una retta parallela all’asse x;
nell’Es7. il grafico è la bisettrice del primo e terzo quadrante;
nell’Es8. il grafico è una retta;
nell’Es9. il grafico è una parabola.
L’obiettivo del nostro lavoro è quello di determinare caso per caso il
grafico delle funzioni del tipo descritto negli esempi 10 e 11.
Per raggiungere il nostro obiettivo dovremo di volta in volta determinare:
STUDIO DI FUNZIONI 6 STUDIO DI FUNZIONI 1. Il campo di esistenza;
2. Le intersezioni con gli assi;
3. Il segno della funzione;
4. Gli asintoti verticali, orizzontali e obliqui;
5. I massimi e i minimi;
6. I flessi.
7 STUDIO DI FUNZIONI STUDIO DI FUNZIONI IL CAMPO DI ESISTENZA
DEF.5 Si chiama CAMPO DI ESISTENZA DI UNA FUNZIONE il più
grande insieme di valori della x per i quali l’espressione 𝑓 𝑥 ha senso, ovvero
è il più grande dominio che la legge f può avere.
Ad esempio le funzioni polinomiali hanno come campo di esistenza tutto
l’insieme dei numeri reali. Infatti le operazioni coinvolte in una funzione
polinomiale sono addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni ed elevamento a
potenza con esponente intero e positivo: tutte operazioni sempre eseguibili
nell’insieme dei numeri reali.
Invece se consideriamo le funzioni razionali fratte (tipo quelle
rappresentate nell’esempio ES11.) allora il campo di esistenza non coinciderà
sempre con l’insieme dei numeri reali. Infatti in questi casi la funzione
comprende un’operazione non sempre eseguibile: la divisione. È noto che non
ha senso dividere per zero: la divisione 3:0 è impossibile mentre la divisione 0:0
è indeterminata. Pertanto nel caso delle funzioni razionali fratte per determinare
il campo di esistenza basterà togliere, dall’insieme di tutti i numeri reali, gli zeri
del polinomio che si trova al denominatore della frazione.
Praticamente nel caso di funzione razionale fratta, procediamo nel seguente
modo:
1. Risolviamo l’equazione associata al denominatore;
2. Se l’equazione è impossibile allora il campo di esistenza coincide con
tutto l’insieme dei numeri reali;
3. Se l’equazione ammette alcune soluzioni allora il campo di esistenza è
l’insieme dei numeri reali privato di quegli elementi che sono soluzioni
dell’equazione.
STUDIO DI FUNZIONI 8 STUDIO DI FUNZIONI ES12. Determina il campo di esistenza della funzione razionale fratta
3𝑥 ! + 2𝑥 − 5
𝑦=
2𝑥 ! + 𝑥 − 1
Basta risolvere l’equazione di secondo grado associata al denominatore, cioè
2𝑥 ! + 𝑥 − 1 = 0.
Applicando la nota formula risolutiva
𝑥!,! =
!!± ! ! !!!"
!!
,
in questo caso otteniamo :
−1 ! − 4 ⋅ 2 ⋅ −1
−1 ± 1 + 8 −1 ± 3
𝑥!,! =
=
=
2⋅2
4
4
da cui segue che gli zeri del denominatore sono:
−1 ±
𝑥! =
!!
!
!
!
!
!
= 1 e 𝑥! = = .
Dunque in conclusione il campo di esistenza è l’insieme dei numeri reali privato
dei due numeri appena trovati, in simboli:
!
!
𝐶. 𝐸. = ℝ − −1, ! = 𝑥 ∈ ℝ: 𝑥 ≠ −1 ∧ 𝑥 ≠ ! .
9 STUDIO DI FUNZIONI STUDIO DI FUNZIONI LE INTERSEZIONI CON GLI ASSI
Nella costruzione del grafico di una funzione rivestono particolare
interesse i punti in cui tale grafico interseca gli assi cartesiani. L’asse delle
ascisse (asse x) ha equazione 𝑦 = 0 , mentre l’asse delle ordinate (asse y) ha
equazione 𝑥 = 0 .
Per determinare gli eventuali punti d’intersezione del grafico con gli assi
cartesiani è sufficiente risolvere i corrispondenti sistemi di equazione:
INTERSEZIONE CON ASSE DELLE x: 𝑦=0
𝑦=0
⟺ 𝑦=𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 = 0
Ne segue che le soluzioni dell’equazione 𝑓 𝑥 = 0 forniranno le ascisse
degli eventuali punti d’intersezione con l’asse x. Parliamo di eventuali
intersezioni perché non sempre l’equazione considerata ammette soluzioni in ℝ.
Ad ogni sua soluzione corrisponderà un punto di intersezione con l’asse delle
ascisse e se l’equazione è impossibile allora il grafico della funzione non
intersecherà l’asse delle ascisse.
INTERSEZIONE CON ASSE DELLE y: Il punto di coordinate 0, 𝑓 0
𝑥=0
𝑥=0
⟺ 𝑦=𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑓 0
esiste solo nel caso in cui 0 ∈ 𝐶. 𝐸. ed in
tal caso l’intersezione sarà unica.
ES13. Consideriamo la funzione 𝑦 =
!! ! !!!!!
!! ! !!!!
. Essa interseca l’asse x nei punti
𝐴 𝑥! , 0 e 𝐵 𝑥! , 0 dove
𝑥!,! =
ovvero 𝑥! =
−2 ±
!!"
!
2
!
!
− 4 ⋅ 3 ⋅ −5
−2 ± 4 + 60 −2 ± 8
=
=
2⋅3
6
6
!
= − ! e 𝑥! = ! = 1 .
Quindi il grafico interseca l’asse delle ascisse nei punti
!
𝐴 − ! , 0 e 𝐵 1, 0 .
Rimane da trovare l’intersezione con l’asse y:
STUDIO DI FUNZIONI 10 STUDIO DI FUNZIONI 𝑥=0
𝑥=0
𝑥=0
𝑥=0
𝑥=0
!! ⟺
!∙!! !!∙!!! ⟺ ⟺ ⟺ 𝑦 =
𝑦=𝑓 𝑥
𝑦 = 𝑓 0
𝑦 = 5
𝑦 =
!
!!
!∙! !!!!
quindi il punto d’intersezione con l’asse y è 𝐶 0, 5 .
11 STUDIO DI FUNZIONI