Lezione 1. Introduzione alla goniometria, angoli e circonferenza goniometrica.
GONIOMETRIA
INTRODUZIONE ALLA GONIOMETRIA
Per goniometria intendiamo, convenzionalmente, quella branca della matematica che si occupa dello studio
delle relazioni che intercorrono tra gli angoli. Vengono, infatti, introdotte alcune nuove funzioni definite
appunto goniometriche (come il seno e il coseno) per valutare alcune misure strettamente legate al
concetto di angolo. Uno dei primi matematici ad occuparsi di goniometria fu Talete di Mileto, scienziato e
filosofo al quale fu chiesto di calcolare l’altezza di alcuni obelischi e piramidi senza poterle misurare
direttamente. Egli sfruttò l’idea che i raggi del sole formano con il terreno stessi angoli in stessi momenti;
andando, pertanto, a valutare la lunghezza dell’ombra dell’edificio in particolari orari della giornata. A
mezzogiorno, ad esempio, sia la sua ombra che quella dell’obelisco erano quasi nulle; misurandole però in
un diverso momento notò che la sua ombra era pari alla sua altezza e, quindi, doveva esserlo anche quella
dell’obelisco. Naturalmente, lo studio della goniometria è qualcosa di più del calcolo delle altezze delle
piramidi di Giza e i matematici greci approfondirono tali tematiche per secoli, fino a creare una “teoria degli
angoli” tutt’ora particolarmente sfruttata a livello industriale e scientifico, ma non solo.
GLI ANGOLI
DEFINIZIONE. Chiamiamo angolo ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette aventi
origine in comune. (come nella figura seguente). Definiamo, inoltre, lati dell’angolo le due semirette che lo
caratterizzano e vertice il punto in comune ai due lati.
Notiamo che ogni coppia di semirette determina sempre una coppia di angoli, chiamati concavo e
convesso.
DEFINIZIONE. Si definisce convesso quell’angolo in cui presi due qualsiasi punti del semipiano, il segmento
che li congiunge giace interamente sullo stesso. È concavo, al contrario, quell’angolo in cui vi è almeno una
coppia di punti la cui congiungente non appartiene pienamente al suo semipiano.
Per convenzione si preferisce utilizzare lettere dell’alfabeto greco come πΌ , π½ , πΎ, πΏ … … … per indicare
gli angoli. Oppure, se appartenenti ad un triangolo precedentemente nominato, con le lettere dei lati che lo
descrivono ed un cappelletto sul punto che ne determina il vertice: π΄π΅ΜπΆ, π·πΈΜ πΉ ….
Pierandrea Vergallo
Lezione 1. Introduzione alla goniometria, angoli e circonferenza goniometrica.
MISURARE GLI ANGOLI
Ad ogni angolo può essere assegnato un valore numerico che ne indica la grandezza o, più precisamente,
l’ampiezza. In effetti, non possiamo parlare di grandezza di un angolo poiché la parte di piano che lo
caratterizza, essendo delimitato da due semirette, ha area infinita. Ciò che, però, possiamo misurare è la
sua relazione rispetto ad un angolo giro (una rotazione completa) o rispetto al raggio della circonferenza di
cui può essere arco. Queste due possibilità ci permettono di determinare due metodi di misurazione degli
angoli, il primo in gradi (sessagesimali) e il secondo in radianti.
Per lo studio dell’angolo in gradi ci si riconduce alle consuete tecniche operative comunemente apprese
durante le scuole elementari e medie, ricordando che si lavora in base 60 e non in base 10. Tale metodo di
misurazione non verrà, infatti, approfondito poiché ritenuto poco comodo per lavorare con più complesse
equazioni goniometriche.
Per quanto riguarda l’angolo in radianti consideriamo una circonferenza qualsiasi per la quale parte dei lati
dell’angolo ne determinano il raggio. (come in figura 1). Si pensi, allora, che la misura totale della
circonferenza unitaria (avente raggio 1) è pari a 2π . Faremo corrispondere, pertanto, ad un angolo giro
l’ampiezza in radianti di 2π. Sapendo, ad esempio, che mezzo angolo giro (un angolo piatto) è banalmente
la metà di un angolo giro, possiamo dedurre che varrà π radianti. Ancora, un angolo retto è la metà di uno
piatto, pertanto misura
π
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radianti. Idealmente è come se facessimo scorrere il raggio del cerchio lungo la
sua circonferenza, fino ad indicare l’arco associato all’angolo da misurare (l’arco AB in figura).
Nella figura a margine sono riportati i principali valori in radianti
con i corrispondenti angoli in gradi. Continuando a lavorare con il
metodo precedente, cioè dimezzando gli angoli noti, sarà
complesso definire tutti gli angoli possibili di una circonferenza.
Esiste, allora, una proporzione particolarmente utile per passare
da gradi in radianti e viceversa, partendo proprio dall’idea iniziale
di corrispondenza tra un angolo giro (360°) e la grandezza della
circonferenza unitaria.
Pierandrea Vergallo
Lezione 1. Introduzione alla goniometria, angoli e circonferenza goniometrica.
FORMULARIO.
2π βΆ πΌ = 360° βΆ πΌ°
Dove, con πΌ indichiamo l’angolo in radianti, mentre con πΌ° l’angolo in gradi. Ne concludiamo che:
Avendo l’angolo in gradi e volendolo trasformare in radianti possiamo utilizzare la formula:
πΌ=
2π π₯ πΌ°
360°
Mentre, avendo l’angolo in radianti e volendolo passare in gradi possiamo utilizzare la formula:
πΌ° =
360° π₯ πΌ
2π
Riportiamo, infine, una tabella riassuntiva delle trasformazioni gradi-radianti relativa agli angoli che
utilizzeremo maggiormente durante il corso.
Pierandrea Vergallo
Lezione 1. Introduzione alla goniometria, angoli e circonferenza goniometrica.
LA CIRCONFERENZA GONIOMETRICA
DEFINIZIONE. Chiamiamo circonferenza goniometrica una circonferenza di raggio unitario avente il centro
nell’origine degli assi ed equazione: π₯ 2 + π¦ 2 = 1. Rappresentata come nel seguente disegno.
Su di essa andiamo a rappresentare un generico angolo πΌ avente come lati due raggi. Valutiamo, pertanto,
l’ampiezza di un angolo grazie alla misura in gradi o radianti dell’ampiezza dello stesso tra i due raggi
considerati. Possiamo rappresentare, inoltre, alcuni angoli noti come nella figura seguente, con le
corrispondenze gradi-radianti. Notiamo, infatti, che ci
basterà rappresentare fino ad un massimo di un angolo
giro, poiché gli angolo di ampiezza superiore possono
essere scritti come somma di un angolo giro e un ulteriore
angolo.
Ad esempio: avendo un angolo di 390°, questo è uguale a
360°+30°. Pertanto graficamente descriverà lo stesso arco
dell’angolo di 30°. Possiamo concludere che l’angolo di
390° è simile a quello di 30° (soprattutto per le
considerazione goniometriche di cui ci occuperemo in
seguito).
Per convezione daremo un valore positivo all’ampiezza degli angoli calcolata in senso antiorario, mentre
uno negativo a quella valutata in senso orario. Naturalmente, pur avendo punto di partenza differente il
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punto della circonferenza su cui ci fermiamo è il medesimo. Pensiamo all’angolo di π esso è simile
π
all’angolo di − 4 . O, in gradi, l’angolo di 270° corrisponde a quello di -90°. Gli unici due angoli che hanno lo
stesso valore nei due sensi di percorrenza della circonferenza (orario e antiorario) sono l’angolo piatto e
l’angolo nullo.
Pierandrea Vergallo
