Sede di Spezia – Prova A del 11/01/2016 Lo stude

UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia – Prova A del 11/01/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un ragno di massa mR = 5.0 g usa il proprio filo come una liana (lunghezza L =10 cm). Partendo
da fermo con il filo inclinato di un angolo θ =60o rispetto alla verticale, il ragno si lancia e quando il filo
transita per la verticale il ragno cattura una mosca (mM = 3.0 g) che stava volando in orizzontale in
verso opposto al ragno con velocità vM =90 cm/s. Determinare
1. La tensione del filo quando si trova in posizione verticale un istante prima dell’impatto con la
mosca
2. A quale angolo massimo risalgono il ragno e la mosca dopo l’impatto, schematizzando
l’impatto come un urto totalmente anelastico.
ME 2 – Un disco di momento di inerzia I=0.40 kg m2 e massa m=5.0 kg viene messo in
5.0
/ .
rotazione attorno al suo asse orizzontale fino alla velocità angolare
All’istante t0=0 s, il disco viene appoggiato al piano orizzontale (coefficiente di attrito
dinamico
0.20) e lasciato andare con velocità lineare nulla. Calcolare:
1. Durante il moto di strisciamento per
0.10 , la velocità del centro di massa
2. Quando termina lo strisciamento, la velocità angolare
EM 1 – Una lunga bacchetta isolante parallela all’asse z viene
caricata con una densità lineare uniforme
6.0 / . La
bacchetta viene posta ad ugual distanza d= 10 cm da 2 cariche
puntiformi uguali
2.0
che distano a loro volta d nel piano
xy (vedi figura) e che si trovano nei punti A e B.
1. calcolare il vettore forza risultante che le cariche esercitano
sulla bacchetta
2. Calcolare il lavoro (minimo) esterno necessario a spostare la
carica da A a O origine degli assi.
EM 2 – Una particella di carica q = +1.6 x 10-19 C entra in una regione con un campo magnetico
uniforme, di modulo B = 1.0 T e direzione ortogonale alla velocità della particella. Si osserva che il
raggio di curvatura della traiettoria della particella vale R = 10 cm. Determinare
1. La quantità di moto della particella.
2. Successivamente, uscita dalla regione con campo magnetico, la particella attraversa in un
tempo t = 1.0 ms una regione con un campo elettrico uniforme di modulo E = 100 V/m,
parallelo e concorde alla velocità della particella: determinare la nuova quantità di moto della
particella dopo il tempo t.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia – Prova B del 11/01/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un ragno di massa mR = 5.0 g usa il proprio filo come una liana (lunghezza L =12 cm). Partendo
da fermo con il filo inclinato di un angolo θ =50o rispetto alla verticale, il ragno si lancia e quando il filo
transita per la verticale il ragno cattura una mosca (mM = 3.0 g) che stava volando in orizzontale in
verso opposto al ragno con velocità vM =100 cm/s. Determinare
1. La tensione del filo quando si trova in posizione verticale un istante prima dell’impatto con la
mosca
2. A quale angolo massimo risalgono il ragno e la mosca dopo l’impatto, schematizzando
l’impatto come un urto totalmente anelastico.
ME 2 – Una sfera di momento di inerzia I=0.50 kg m2 e massa m=4.0 kg viene messa in
5
/ .
rotazione attorno al suo asse orizzontale fino alla velocità angolare
All’istante t0=0 s, la sfera viene appoggiata al piano orizzontale (coefficiente di attrito
dinamico
0.10) e lasciata andare con velocità lineare nulla. Calcolare
1. Durante il moto di strisciamento per
0.10 , la velocità del centro di massa
2. Quando termina lo strisciamento, la velocità angolare
EM 1 – Una lunga bacchetta isolante parallela all’asse z viene
caricata con una densità lineare uniforme
6.0 / . La
bacchetta viene posta ad ugual distanza d= 10 cm da 2 cariche
puntiformi uguali
2.0
che distano a loro volta d nel piano
xy (vedi figura) e che si trovano nei punti A e B.
1. calcolare il vettore forza risultante che le cariche esercitano
sulla bacchetta
2 Calcolare il lavoro (minimo) esterno necessario a spostare la
carica da A a O origine degli assi.
EM 2 – Una particella di carica q = +1.6 x 10-19 C entra in una regione con un campo magnetico
uniforme, di modulo B = 1.0 T e direzione ortogonale alla velocità della particella. Si osserva che il
raggio di curvatura della traiettoria della particella vale R = 20 cm. Determinare
1. La quantità di moto della particella.
2. Successivamente, uscita dalla regione con campo magnetico, la particella attraversa in un
tempo t = 2.0 ms una regione con un campo elettrico uniforme di modulo E = 150 V/m,
parallelo e concorde alla velocità della particella: determinare la nuova quantità di moto della
particella dopo il tempo t.
UNIVERSITA’ DEGLI STUDI DI GENOVA –SCUOLA POLITECNICA
FISICA GENERALE I - Sede di Spezia – Prova C del 11/01/2016
Lo studente mostri i passaggi principali con alcune parole di spiegazione leggibile e fornisca
i risultati numerici finali in unità del sistema internazionale (SI), senza passaggi spiegati
e risultati l’elaborato non verrà corretto. Risultati finali siano espressi con due cifre
significative.
ME 1 – Un ragno di massa mR = 5.0 g usa il proprio filo come una liana (lunghezza L =15 cm). Partendo
da fermo con il filo inclinato di un angolo θ =55o rispetto alla verticale, il ragno si lancia e quando il filo
transita per la verticale il ragno cattura una mosca (mM = 4.0 g) che stava volando in orizzontale in
verso opposto al ragno con velocità vM =80 cm/s. Determinare
1. La tensione del filo quando si trova in posizione verticale un istante prima dell’impatto con la
mosca
2. A quale angolo massimo risalgono il ragno e la mosca dopo l’impatto, schematizzando l’impatto
come un urto totalmente anelastico.
ME 2 – Un anello di momento di inerzia I=0.60 kg m2 e massa m=6.0 kg viene messo in
5
/ .
rotazione attorno al suo asse orizzontale fino alla velocità angolare
All’istante t0=0 s, l’anello viene appoggiato al piano orizzontale (coefficiente di attrito
dinamico
0.30) e lasciato andare con velocità lineare nulla. Calcolare
1. Durante il moto di strisciamento per
0.10 , la velocità del centro di massa
2. Quando termina lo strisciamento, la velocità angolare
EM 1 – Una lunga bacchetta isolante parallela all’asse z viene
caricata con una densità lineare uniforme
6.0 / . La
bacchetta viene posta ad ugual distanza d= 10 cm da 2 cariche
puntiformi
2.0
e
2.0
che distano a loro volta
d nel piano xy (vedi figura) e che si trovano nei punti A e B.
1. calcolare il vettore forza risultante che le cariche esercitano
sulla bacchetta
2. Calcolare il lavoro (minimo) esterno necessario a spostare la
carica da A a O origine degli assi.
EM 2 – Una particella di carica q = +1.6 x 10-19 C entra in una regione con un campo magnetico
uniforme, di modulo B = 1.0 T e direzione ortogonale alla velocità della particella. Si osserva che il
raggio di curvatura della traiettoria della particella vale R = 15 cm. Determinare
1. La quantità di moto della particella.
2. Successivamente, uscita dalla regione con campo magnetico, la particella attraversa in un tempo
t = 1.5 ms una regione con un campo elettrico uniforme di modulo E = 200 V/m, parallelo e
concorde alla velocità della particella: determinare la nuova quantità di moto della particella dopo
il tempo t.
SOLUZIONI con spiegazione dettagliata
ME 1
1. Conservazione energia meccanica totale tra momento del lancio e istante in cui il filo è
verticale, subito prima dell’impatto con la mosca: (
)2
(1
(1
+
cos %)
0.99 , .
cos %)
'
(
'
. Si trova
Scegliamo un sistema di riferimento con una direzione radiale (verso il basso), applicando la
seconda legge di Newton in questo istante:
0
./
1
-2
(ricordarsi che
l’accelerazione è centripeta quindi diretta in alto) da cui |T |= 9.8 x 10 N. (Fila B
T = 8.4 x 10-2 N ; Fila C T = 9.1 x 10-2 N)
2. Con la velocità determinata in precedenza, il ragno colpisce la mosca; applicando la
conservazione della quantità di moto (asse orizzontale con verso concorde con quella del
ragno) otteniamo:
(
(
2 (2
2 )3 da cui troviamo la velocità dell’insieme
mosca + ragno dopo l’urto: V = 0.28 m/s. Riapplichiamo la conservazione dell’energia
meccanica: : (
ovvero %4
2)
(1
cos %4 )
'
(
2 )3
'
da cui otteniamo cos %4
16.34° ≅ 16° (Fila B 10.48° ≅ 10° Fila C 12.63° ≅ 13°)
0.96
ME 2
Qui è importante definire la terna di assi di riferimento e ricordarsi che quando c’è strisciamento
velocità lineare e velocità angolare sono indipendenti, non esiste relazione fra loro.
1. Tra disco e piano vi è attrito che tende a rallentare la
rotazione del disco e, poiché il punto di contatto ha
velocità verso sinistra, la forza di attrito 9: è diretta verso
destra. Inoltre 9: determina l’accelerazione lineare del
disco. Assumendo un asse x orizzontale a destra e y
verticale verso l’alto, la I eq. Cardinale si scrive come
;:9:
; =:>
0→ 9:
>
,
costante. Integrando per trovare la velocità del
CM →v=at (1) (la velocità iniziale è nulla) e per → (
0.20 / (fila B 0.098 m/s fila C 0.29 m/s)
x
2. Per avere una terna destrorsa asse z uscente. Il disco ha momento di inerzia ?
?
'
A
@ ' , anello ?
@ ') e sta girando in senso negativo (cioè
'
@ ' (sfera
< 0). Nel tempo la
velocità angolare diminuisce, dalla II eq. Cardinale lungo z: @9: ?C→ C @
/? e
C (2). La condizione di puro rotolamento sul punto di contatto è (
R=0 che non
̅
c’è all’inizio ma utilizzando le equazioni (1) e (2) si trova il tempo per cui la condizione viene
verificata (infatti la velocità lineare aumenta e quella angolare diminuisce) ̅
(
C ̅)@→@C ̅
̅=@
→ ̅
EF
/0 HI JK
G
MNI OP
L
0.33979 (fila B 0.81406
fila C 0.26863 )
da cui R
C ̅ -1.7 rad/s (fila B -1.4 rad/s fila C -2.5 rad/s)e a partire da tale istante
il moto è di puro rotolamento con R e (̅
Rt (t≥ ̅) costanti.
EM 1
1. Assumendo la lunghezza della bacchetta infinita, per il calcolo della forza risultante sulla
bacchetta (che non è una carica puntiforme!) occorre suddividere in tratti infinitesimi la
bacchetta, si somma con un integrale vettoriale la forza esercitata da una carica (p. es. A) su
WX
ciascun tratto T di bacchetta e si trova la risultante parziale 9U
( T) U`U ,
V
0
_____U|
YZ[F |]U^]
X
si sommano le forze parziali dovute alle 2 cariche 9U 9U
9U . D’altra parte il procedimento
è complesso, sfruttiamo invece il terzo principio della dinamica ovvero la forza che agisce sulla
carica in A vale 9U
a_U con a_U il campo elettrico generato dalla bacchetta in A, lo stesso
per B 9U
a_U e per la simmetria cilindrica |a_U | |a_U |, la somma delle forze cambiata di
segno sarà il risultato richiesto. Assumendo la bacchetta infinita il teorema di Gauss ci fornisce
ℎ/d con campo in direzione radiale
per la simmetria cilindrica del problema |a_U |2b ℎ
uscente (lungo i lati del triangolo equilatero tratteggiati
)→a
/(2b d )
ea_U e
da cui 9U
( a sin 30° , a cos 30°) e 9U
(a sin 30° , a cos 30°) e quindi 9U
(0, 3.7 × 10^j )> (fila B (0, 3.7 × 10^j )>, fila C (2.2 × 10^j , 0)>)
9U 9U
2. Il lavoro esterno (minimo perché l’energia cinetica è sempre considerata zero, il lavoro è solo
contro il campo elettrico) è pari alla variazione del potenziale elettrico complessivo (dovuto
alla carica in B e alla bacchetta che agiscono sulla carica in A) per il valore della carica in A (il
lavoro delle forze elettriche sarebbe k
∆m
∆3
esterno)→potenziale nel
Wp
YZ[F |]Uq ^]Up |
punto n per la carica B: 3o^
dista da B /2 e dalla bacchetta
ottenere
ln(
il
^u:vv )z
potenziale
√s
'
→ integrando il campo elettrico della bacchetta per
3t^u:vv
|
w
ln {|X}~•€€ ‚
'Z[F
•}~•€€
con riferimento all’infinito→ ricordando che O
3 ^u:vv
w
'
ln { s‚
'Z[F
√
V
t
w
'Z[F ]
w
xln( t^u:vv )
'Z[F
(non si può usare il riferimento all’infinito
essendo la distribuzione non limitata nello spazio, occorre integrare fra i due punti) → lavoro
(3t^
(3t^u:vv 3 ^u:vv ) 3.9 × 10^ƒ J (fila B 3.3 × 10^ƒ J,
esterno
3^ )
^ƒ
fila C 3.3 × 10 J)
EM 2
1. Sulla particella agisce la forza di Lorentz che fornisce la forza centripeta: in modulo („
.0
da cui …
(
„@
1.6;10^' † /
(fila B 3.2;10^' †
+
,
,
fila C
2.4;10^' † / )
2. Usando il teorema dell’impulso e della quantità di moto abbiamo a
…4 … da cui …4
^'
^'
^'
…
a
3.2;10 † / (fila B 8.0;10 † / , fila C 7.2;10 † / )