Corso di Laurea in Ingegneria Informatica
corso di Telecomunicazioni
(Prof. G. Giunta)
(editing a cura dell’ing. F. Benedetto)
Soluzioni di Esercizi di Esame di Segnali Aleatori per Telecomunicazioni
Esame del 5 Febbraio 2003
Esercizio 1
Si consideri la variabile aleatoria x ottenuta dalla seguente trasformazione:
x=7+p+u
ove p e’ una variabile aleatoria binomiale che può assumere i soli due valori {1,-1} con eguale
probabilità, mentre u è una variabile aleatoria, indipendente da p, uniformemente distribuita
nell’intervallo {10,11}. Determinare:
a) il grafico della densità di probabilità di x.
b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile x.
c) inoltre, il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile y, definita
dalla relazione: y = 2 x.
Soluzione
Dapprima rappresentiamo graficamente le d.d.p. di p e di u e calcoliamone i momenti statistici del
primo e del secondo ordine.
Pp(p)
1/2
-1
1/2
p
1
1 1
M = − 1 ⋅ 2 + 1 ⋅ 2 = 0
1
1
VQM = σ p2 = ⋅ (− 1)2 + ⋅ (1)2 = 1
2
2
1
10 + 11
=
= 21 2
M
2
2
2 (11 − 10 )
= 1 12
σ u =
12
VQM = M 2 + σ u2 = 331 3
1
Pu(u)
10
11
Poniamo ora v = 7 + u in modo da ottenere una nuova variabile aleatoria caratterizzata dalla
seguente d.d.p.:
Pv(v)
1
Pv (v ) = rect v − 7 −
21
35
= rect v −
2
2
17
18
Ed i cui momenti statistici del primo e secondo ordine sono, rispettivamente:
35
M v = E [v ] = E [7 + u ] = 7 + E [u ] =
2
2
2
σv =σu
919
3
Si noti che la varianza non cambia in quanto essa non dipende dalla traslazione effettuata.
VQM v =
Si può ora scrivere x = p + v, ottenendo, per la d.d.p. di x la seguente formula:
Px ( x ) = Pp ( p ) ∗ Pv (v )
Ovvero, riscrivendo la convoluzione in x:
(
)2 ∗ 12 δ (x + 1) + 12 δ (x − 1) = per le proprietà della Delta di Dirac
1
1
1
= rect (x − 35 + 1) + rect (x − 35 − 1) = [rect (x − 33 ) + rect (x − 37 )]
2
2
2
2
2
2
2
Px ( x ) = Pp ( p ) ∗ Pv (v ) = rect x − 35
Px(x)
1/2
x
16
17
Calcoliamo ora i momenti statistici di x:
M x = E[x ] = E [ p + v ] = E [ p ] + E[v] = 35
18
19
2
[ ] [
] [ ] [ ]
= E [x ] − (E [x ]) = 13
12
VQM x = E x = E ( p + v ) = E p + E v 2 + 2 ⋅ E [ p ⋅ v ] = 922
2
2
Varx = σ
2
x
2
2
3
2
2
Infine eseguiamo la trasformazione y = 2 x, ottenendo una variabile aleatoria caratterizzata dai
seguenti momenti:
E [ y ] = E [2 ⋅ x ] = 2 ⋅ E [x ] = 35
[ ] [
] [ ]
σ = E [y ] − (E [ y ]) = 13 3
E y 2 = E (2 ⋅ x ) = 4 E x 2 = 3688
2
2
y
2
3
2
e descritta dalla seguente d.d.p.:
Py ( y ) =
1 y 1
Px = [rect 2 ( y − 33) + rect 2 ( y − 37 )]
2 2 4
3
Esame del 7 Aprile 2003
Esercizio 1
Si consideri la variabile aleatoria x ottenuta dalla seguente trasformazione:
x = –2 + u1 – u2
ove u1 e u2 sono due variabili aleatorie indipendenti, uniformemente distribuite negli intervalli
{6,7} e {12,13}, rispettivamente. Determinare:
a) il grafico della densità di probabilità di x.
b) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile x.
c) inoltre, il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile y, definita
dalla relazione: y = –3 x.
Soluzione
Dapprima rappresentiamo graficamente le due d.d.p. di u1 ed u2:
Pu1(u1)
Pu2(u2)
1
6
1
7
12
13
Poniamo ora v = -2 + u1 e w = -u2, ottenendo due nuove variabili aleatorie le cui d.d.p. sono
rappresentate di seguito:
Pv(v)
Pw(w)
1
4
1
5
-13
-12
A questo punto, la variabile aleatoria x sarà data dalla trasformazione x=v+w ovvero, in termini di
d.d.p.:
Px ( x ) = Pw (w) ∗ Pv (v )
Dalla teoria è ben noto che la convoluzione di due rect di pari base ed altezza è una tri di base
doppia, centrata nella somma dei ritardi delle due rect. Ovvero, nel nostro caso, centrata in –8.
4
Otteniamo quindi una variabile aleatoria la cui d.d.p. è rappresentata nella figura seguente ed i cui
momenti statistici sono:
Px(x)
E [x ] = E [v + w] = −8
A=1
[ ] [
] [ ] [ ]
σ = E [x ] − (E [x ]) = 0.166
E x 2 = E (v + w) = E v 2 + E w 2 + 2 ⋅ E [v ⋅ w] = 64.166
2
2
x
2
2
-9
-8
-7
L’altezza della tri deve essere tale che l’area sottesa alla d.d.p. sia unitaria.
Infine eseguiamo la trasformazione y = -3 x, ottenendo una variabile aleatoria caratterizzata dai
seguenti momenti:
E [ y ] = E[− 3 ⋅ x ] = −3 ⋅ E[x ] = 24
[ ] [
]
σ = E [y ] − (E [ y ])
[ ]
E y 2 = E (− 3 ⋅ x ) = 9 E x 2 = 577.494
2
2
y
2
2
= 1.494
5
Esame del 9 Giugno 2003
Esercizio 1
Si consideri la variabile aleatoria x ottenuta dalla seguente trasformazione:
x = g + u1 + u2
ove u1 e u2 sono due variabili aleatorie indipendenti, uniformemente distribuite negli intervalli
{1,2} e {1,8}, g e’ una variabile gaussiana indipendente a media nulla e varianza unitaria,
rispettivamente.
Determinare:
a) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile x.
b) il grafico della densita’ di probabilita’ di x.
Soluzione
Dapprima rappresentiamo graficamente le due d.d.p. di u1, u2 e di g:
Pu1(u1)
Pu2(u2)
1
1
1/7
2
1
8
Pg(g)
Con la trasformazione v = u1 + u2 si ottiene una nuova variabile aleatoria descritta da una densità di
probabilità pari a:
Pv (v ) = Pu1 (u1 ) ∗ Pu2 (u 2 ) , ovvero graficamente si ha:
A=1/7
2 3
Affinchè l’area della d.d.p. sia unitaria si ricava
immediatamente che l’altezza del trapezio deve valere
A = 1/7.
6 9 10
6
Si ottiene x = g + v, con d.d.p. definita da:
Px ( x ) = Pv (v ) ∗ Pg ( g )
I cui momenti sono dati da:
E [x ] = E[v + g ] = E[v ] + E[g ] = 6
[ ] [
] [ ] [ ]
σ = E [x ] − (E [x ]) = 5.166
[ ] [ ] [ ]
E x 2 = E (v + g ) = E v 2 + E g 2 + 2 ⋅ E [v ⋅ g ] = E u12 + E u12 + E g 2 + 2 E [u1 ] ⋅ E[u1 ] = 247
2
2
x
2
6
2
Graficamente si ottiene (approssimativamente) una curva del tipo rappresentata nella figura
seguente:
Px(x)
σx=2.27
E[x]=6
7
Esame del 10 Settembre 2003
Esercizio 1
Si consideri la variabile aleatoria x ottenuta dalla seguente trasformazione:
x = -3 + b1 - b2
ove b1 e b2 sono variabili aleatorie binomiali (valori possibili: {0,1}) indipendenti con
probabilità p(b1=1)=0.2, p(b1=0)=0.8, p(b2=1)=0.6, p(b2=0)=0.4.
Determinare:
a) il valore atteso, la varianza ed il valore quadratico medio della variabile aleatoria x;
b) il grafico px(x) della densità di probabilità di x;
c) il grafico dx(x) della funzione di distribuzione cumulativa di x;
Soluzione
Dapprima rappresentiamo graficamente le due d.d.p. di b1 ed b2:
0.8
0.6
0.2
0.4
P(b1)
0
1
P(b2)
0
1
In seguito poniamo w = -8 + b1 e z = -b2 in modo da ottenere due variabili aleatorie caratterizzate
dalle seguenti d.d.p.:
0.8
0.6
0.2
0.4
P(w)
-8
-7
P(z)
-1
0
La V.A. x sarà ottenuta da x = w + z con densità di probabilità pari alla convoluzione delle singole
d.d.p. e caratterizzata dai seguenti momenti statistici:
E[ x] = E[ w + z ] = (− 8 ⋅ 0.8) + (− 7 ⋅ 0.2 ) + (− 1 ⋅ 0.6) + 0 = −8.4
E[ x 2 ] = E[(w + z ) ] = E[ w 2 ] + E[ z 2 ] + 2 ⋅ E[ w ⋅ z ] = 70.96
2
σ x2 = E[ x 2 ] − (E [x])2 = 0.40
Momenti ottenuti ricordando la definizione dei momenti statistici di una variabile aleatoria
binomiale.
8
Il grafico della d.d.p. di x è rappresentato in figura, notare che la somma totale degli impulsi è
sempre pari ad 1.
0.48
0.44
0.08
-9
-8
Px(x)
-7
Calcoliamo ora la funzione di distribuzione cumulativa di x. Essa graficamente è pari a:
0.92
1
dx(x)
0.48
-9
-8
-7
9
