Teoria degli Insiemi - Matematica e Informatica

Teoria degli Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Teoria degli Insiemi
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Docente: Francesca Benanti
Ottobre 2016
Corrispondenze
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Proprietà delle . . .
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Teoria degli Insiemi
1.
Teoria degli Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine
del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor
(1845-1918). Inizialmente controversa,
è arrivata ad avere il ruolo di teoria
fondamentale nella matematica moderna. I concetti di questa teoria, quali per
esempio quelli di funzione e di relazione,
sono presenti in ogni suo settore.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
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Teoria degli Insiemi
1.
Teoria degli Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
La Teoria degli Insiemi è una branca della matematica creata alla fine
del diciannovesimo secolo principalmente dal matematico tedesco Georg Cantor
(1845-1918). Inizialmente controversa,
è arrivata ad avere il ruolo di teoria
fondamentale nella matematica moderna. I concetti di questa teoria, quali per
esempio quelli di funzione e di relazione,
sono presenti in ogni suo settore.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
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Un insieme è una collezione di oggetti determinati e distinti
della nostra percezione o del nostro pensiero concepiti come
un tutto unico. Tali oggetti si dicono gli elementi dell’insieme. (G. Cantor)
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Teoria degli Insiemi
2.
Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non può essere
definito in termini di altre nozioni più elementari, sinonimo
di collezione, raccolta di elementi.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
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Teoria degli Insiemi
2.
Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non può essere
definito in termini di altre nozioni più elementari, sinonimo
di collezione, raccolta di elementi.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Insiemi Numerici:
• N = {0, 1, 2, 3, 4 . . .} = l’insieme dei numeri naturali,
• Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = l’insieme dei numeri interi,
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Corrispondenze
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Relazioni d’ordine
{. . . , −2.7, . . . , − 43 , . . . , 0, . . . , 17
• Q=
. . . , 4.8(2), . . .} = l’insieme dei numeri razionali,
√
√
• R = {. . . , − 5, . . . , − 54 , . . . , 0, . . . , 2 . . . , 7, . . .} = l’insieme dei numeri reali.
Relazioni . . .
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2.
Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Insieme: concetto primitivo, nel senso che non può essere
definito in termini di altre nozioni più elementari, sinonimo
di collezione, raccolta di elementi.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
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Insiemi Numerici:
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• N = {0, 1, 2, 3, 4 . . .} = l’insieme dei numeri naturali,
• Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .} = l’insieme dei numeri interi,
Corrispondenze
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Relazioni d’ordine
{. . . , −2.7, . . . , − 43 , . . . , 0, . . . , 17
• Q=
. . . , 4.8(2), . . .} = l’insieme dei numeri razionali,
√
√
• R = {. . . , − 5, . . . , − 54 , . . . , 0, . . . , 2 . . . , 7, . . .} = l’insieme dei numeri reali.
Relazioni . . .
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Osservazione:
I simboli N∗ , Z∗ , Q∗ , R∗ indicano gli insiemi numerici N, Z,
Q, R privati dell’elemento zero.
+
+
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+
I simboli Z , Q , R indicano gli interi, i razionali, i reali
positivi, rispettivamente.
I simboli Z− , Q− , R− indicano gli interi, i razionali, i reali
negativi, rispettivamente.
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Definire un insieme
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Modi per definire un insieme:
• Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell’insieme
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
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Esempio: A = {−2, −1, 0, 1, 2}
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3.
Definire un insieme
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Modi per definire un insieme:
• Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell’insieme
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
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Esempio: A = {−2, −1, 0, 1, 2}
• Modo implicito: si elencano le proprietà che caratterizzano gli elementi dell’insieme
Corrispondenze
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Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Esempio: A = {x intero, − 2 ≤ x ≤ 2}
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3.
Definire un insieme
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Modi per definire un insieme:
• Modo esplicito: si elencano tutti gli elementi dell’insieme
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Esempio: A = {−2, −1, 0, 1, 2}
• Modo implicito: si elencano le proprietà che caratterizzano gli elementi dell’insieme
Corrispondenze
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Relazioni d’ordine
Esempio: A = {x intero, − 2 ≤ x ≤ 2}
• Rappresentazione grafica: Diagrammi di EuleroVenn
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Esempio:
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A=
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Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive
a∈A
e si legge a appartiene all’insieme A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
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Teoria degli Insiemi
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive
a∈A
e si legge a appartiene all’insieme A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ A
e si legge b non appartiene all’insieme A.
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
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Teoria degli Insiemi
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive
a∈A
e si legge a appartiene all’insieme A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ A
e si legge b non appartiene all’insieme A.
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Esempi:
Proprietà delle . . .
• A = {−2, −1, 0, 1, 2}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
−1 ∈ A, 3 6∈ A
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Teoria degli Insiemi
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive
a∈A
e si legge a appartiene all’insieme A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ A
e si legge b non appartiene all’insieme A.
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Esempi:
Proprietà delle . . .
• A = {−2, −1, 0, 1, 2}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
−1 ∈ A, 3 6∈ A
• A = {x ∈ N | x = 2n, x2 > 11}
5 6∈ A, 4 ∈ A
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Teoria degli Insiemi
Per indicare che a è un elemento dell’insieme A si scrive
a∈A
e si legge a appartiene all’insieme A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Per indicare che b non è un elemento dell’insieme A si scrive
b 6∈ A
e si legge b non appartiene all’insieme A.
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Esempi:
Proprietà delle . . .
• A = {−2, −1, 0, 1, 2}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
−1 ∈ A, 3 6∈ A
• A = {x ∈ N | x = 2n, x2 > 11}
5 6∈ A, 4 ∈ A
• A=
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3 6∈ A, 1 ∈ A.
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Teoria degli Insiemi
4.
Insiemi
Inclusione
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è un
sottoinsieme di B (o che A è incluso in B) e si scrive
A⊆B
se ogni elemento di A è un elemento di B, ossia è vera
l’implicazione
∀x∈A⇒x∈B
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
4.
Insiemi
Inclusione
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è un
sottoinsieme di B (o che A è incluso in B) e si scrive
A⊆B
se ogni elemento di A è un elemento di B, ossia è vera
l’implicazione
∀x∈A⇒x∈B
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A non è un
sottoinsieme di B (o che A non è incluso in B) e si scrive
A 6⊆ B
se esiste qualche elemento di A che non appartiene a B, ossia
è vera la proposizione
∃ x ∈ A | x 6∈ B
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
• A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
B = {−1, 4, 5}
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
C = {−2, 3, 4, 7}
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Corrispondenze
Allora, si ha
Relazioni
B ⊆ A,
C 6⊆ A
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
• A = {−2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5}
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
B = {−1, 4, 5}
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
C = {−2, 3, 4, 7}
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Corrispondenze
Allora, si ha
Relazioni
B ⊆ A,
C 6⊆ A
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
• A = {x ∈ Z | x < 5, }
Relazioni . . .
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B = {x ∈ N | x2 < 20, }
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C = {x ∈ N | x2 < 30, }
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Allora, si ha
B ⊆ A,
C 6⊆ A
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Teoria degli Insiemi
• Consideriamo i seguenti insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Allora, si ha
B 6⊆ A,
C ⊆ A.
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
5.
Sottoinsiemi Propri e Impropri
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Si definisce insieme vuoto l’insieme privo di
elementi e si indica
∅
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
5.
Sottoinsiemi Propri e Impropri
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Si definisce insieme vuoto l’insieme privo di
elementi e si indica
∅
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Esempio:
Proprietà delle . . .
2
A = {x ∈ N | x = −1} = ∅
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
5.
Sottoinsiemi Propri e Impropri
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Si definisce insieme vuoto l’insieme privo di
elementi e si indica
∅
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Esempio:
Proprietà delle . . .
2
A = {x ∈ N | x = −1} = ∅
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Osservazione: Dato un generico insieme A per convenzione
si pone
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A ⊆ A, ∅ ⊆ A
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemi
impropri di A l’insieme vuoto e A stesso.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemi
impropri di A l’insieme vuoto e A stesso.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che A è un
sottoinsieme proprio di B e si scrive
A⊂B
se A è un sottoinsieme di B diverso dall’insieme vuoto e da
B stesso, ossia
A 6= ∅, ∃ x ∈ B | x 6∈ A
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dato un insieme A si definiscono sottoinsiemi
impropri di A l’insieme vuoto e A stesso.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B, si dice che A è un
sottoinsieme proprio di B e si scrive
A⊂B
se A è un sottoinsieme di B diverso dall’insieme vuoto e da
B stesso, ossia
A 6= ∅, ∃ x ∈ B | x 6∈ A
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Esempio:
Relazioni . . .
A = {a, b, 1}
sottoinsiemi impropri di A:
∅, A
sottoinsiemi propri di A:
{a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dato un insieme A si definisce insieme delle
parti di A l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, e
si indica
P(A)
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dato un insieme A si definisce insieme delle
parti di A l’insieme i cui elementi sono i sottoinsiemi di A, e
si indica
P(A)
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Esempio:
Relazioni
A = {a, b, 1}
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
P(A) = {A, ∅, {a}, {b}, {1}, {a, b}, {a, 1}, {b, 1}}.
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è uguale
a B, e si scrive
A=B
se ogni elemento di A è un elemento di B e viceversa, ovvero
A ⊆ B, B ⊆ A
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B si dice che A è uguale
a B, e si scrive
A=B
se ogni elemento di A è un elemento di B e viceversa, ovvero
A ⊆ B, B ⊆ A
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Esempio:
A = {x ∈ N | x2 < 11}
B = {0, 1, 2, 3}
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
Allora
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A=B
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Teoria degli Insiemi
6.
Operazioni tra Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce unione di
A e di B, e si indica
Sottoinsiemi Propri . . .
A ∪ B,
l’insieme di tutti gli elementi che stanno in almeno uno dei
due insiemi
Proprietà delle . . .
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Operazioni tra Insiemi
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
6.
Operazioni tra Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce unione di
A e di B, e si indica
Sottoinsiemi Propri . . .
A ∪ B,
l’insieme di tutti gli elementi che stanno in almeno uno dei
due insiemi
Proprietà delle . . .
A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
Operazioni tra Insiemi
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Esempio:
Relazioni . . .
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}
Allora
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A ∪ B = {1, 2, 3, 4}
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce intersezione di A e di B, e si indica
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
A ∩ B,
l’insieme di tutti gli elementi che appartengono sia ad A che
aB
A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Esempio:
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}
Allora
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
A ∩ B = {3}
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce differenza
di A e B, e si indica
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
A\B,
l’insieme di tutti gli elementi che appartengono ad A e non
aB
A\B = {x | x ∈ A ∧ x 6∈ B}
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
(Analogamente B\A = {x | x ∈ B ∧ x 6∈ A}, detta la differenza di B e A)
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Esempio:
Relazioni . . .
A = {1, 2, 3}, B = {4, 3}
Allora
Funzioni
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A\B = {1, 2} B\A = {4}
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Teoria degli Insiemi
Osservazione: Se A ⊆ B allora B\A è detto complementare di A in B.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Esempio:
Sottoinsiemi Propri . . .
A = {0, 1}, B = {−1, 0, 1, 4, 3}
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Allora
Prodotto Cartesiano
A ⊆ B, B\A = {−1, 3, 4}
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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(Analogamente se B ⊆ A allora A\B è detto complementare
di B in A)
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Teoria degli Insiemi
Sia U un fissato universo, ossia un insieme che contiene tutti
gli oggetti che ci possono interessare.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dato un insieme A, si definisce complementare di A, e si indica
C
A,
l’insieme di tutti gli elementi che non appartengono ad A
C
A = {x ∈ U | x 6∈ A} = {x | x 6∈ A}
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Esempio:
Relazioni . . .
A = {x |x < 2}
Allora
Funzioni
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C
A = {x |x ≥ 2}
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7.
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
7.
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
2. Associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
7.
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
2. Associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:
A ∪ B = B ∪ A,
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
A ∩ B = B ∩ A;
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
7.
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
2. Associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:
A ∪ B = B ∪ A,
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
A ∩ B = B ∩ A;
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
4. Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
Relazioni . . .
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7.
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
2. Associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:
A ∪ B = B ∪ A,
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
A ∩ B = B ∩ A;
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
4. Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
5. Legge dei neutri:
A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U,
A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A;
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
7.
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
2. Associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:
A ∪ B = B ∪ A,
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
A ∩ B = B ∩ A;
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
4. Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
5. Legge dei neutri:
A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U,
A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A;
6. Complemento:
A ∪C A = U, A ∩C A = ∅,
C C
( A) = A, C ∅ = U, C U = ∅;
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
7.
Proprietà delle Operazioni
tra Insiemi
1. Idempotenza:
A ∪ A = A,
A ∩ A = A;
2. Associativa:
(A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C),
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C);
3. Commutativa:
A ∪ B = B ∪ A,
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
A ∩ B = B ∩ A;
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
4. Distributiva:
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C),
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);
5. Legge dei neutri:
A ∪ ∅ = A, A ∪ U = U,
A ∩ ∅ = ∅, A ∩ U = A;
6. Complemento:
A ∪C A = U, A ∩C A = ∅,
C C
( A) = A, C ∅ = U, C U = ∅;
Relazioni . . .
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7. Leggi di De Morgan :
C
(A ∪ B) =C A ∩C B,
C
(A ∩ B) =C A ∪C B.
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Teoria degli Insiemi
8.
Prodotto Cartesiano
Insiemi
Definire un insieme
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto
cartesiano di A e B, e si indica
Inclusione
A × B,
l’insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A e
b∈B
Operazioni tra Insiemi
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Sottoinsiemi Propri . . .
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
8.
Prodotto Cartesiano
Insiemi
Definire un insieme
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto
cartesiano di A e B, e si indica
Inclusione
A × B,
l’insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A e
b∈B
Operazioni tra Insiemi
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Sottoinsiemi Propri . . .
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Esempio:
Relazioni . . .
A = {x, y, z}, B = {1, 2}
Allora
Funzioni
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A × B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
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Teoria degli Insiemi
8.
Prodotto Cartesiano
Insiemi
Definire un insieme
Definizione: Dati due insiemi A e B, si definisce prodotto
cartesiano di A e B, e si indica
Inclusione
A × B,
l’insieme formato dalle coppie ordinate (a, b) in cui a ∈ A e
b∈B
Operazioni tra Insiemi
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B}
Sottoinsiemi Propri . . .
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Esempio:
Relazioni . . .
A = {x, y, z}, B = {1, 2}
Allora
Funzioni
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A × B = {(x, 1), (x, 2), (y, 1), (y, 2), (z, 1), (z, 2)}
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Osservazione:
• (x, y) 6= (y, x)
• X × Y 6= Y × X
• (x1 , y1 ) = (x2 , y2 ) ⇔ x1 = x2 , y1 = y2
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Rappresentazioni del Prodotto Cartesiano:
1. (Tavola Pitagorica)
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
2. (Piano Cartesiano)
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
3. (Diagramma di Eulero - Venn)
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esercizi:
Definire un insieme
1. Dimostrare le proprietà delle operazioni tra insiemi;
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esercizi:
Definire un insieme
1. Dimostrare le proprietà delle operazioni tra insiemi;
Inclusione
2. Siano
Sottoinsiemi Propri . . .
4
2
A = {x ∈ Z | x − 13x + 36 = 0}
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
e
B = {x ∈ Z | x|18}.
Determinare A ∪ B, A ∩ B, A\B e B\A.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esercizi:
Definire un insieme
1. Dimostrare le proprietà delle operazioni tra insiemi;
Inclusione
2. Siano
Sottoinsiemi Propri . . .
4
2
A = {x ∈ Z | x − 13x + 36 = 0}
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
e
B = {x ∈ Z | x|18}.
Determinare A ∪ B, A ∩ B, A\B e B\A.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
3. Siano
Proprietà delle . . .
A = {a, b}, B = {2, 3} e C = {4, 3}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Determinare A × (B ∪ C), (A × B) ∪ (A × C), A × (B ∩ C)
e (A × B) ∩ (A × C).
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Proprietà Distributiva, A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):
Verifichiamo
• A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C):
∀x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∧ x ∈ (B ∪ C) ⇒
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇒
(x ∈ A ∩ B) ∨ (x ∈ A ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C):
∀x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⇒ x ∈ (A ∩ B) ∨ x ∈ (A ∩ C) ⇒
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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(x ∈ A ∧ x ∈ B) ∨ (x ∈ A ∧ x ∈ C) ⇒
(x ∈ A) ∧ (x ∈ B ∨ x ∈ C) ⇒
x ∈ A ∧ (x ∈ B ∪ C) ⇒ x ∈ A ∩ (B ∪ C).
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Teoria degli Insiemi
9.
Corrispondenze
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispondenza o relazione R da A in B una legge che associa elementi
di A ad elementi di B.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
Stampa
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Teoria degli Insiemi
9.
Corrispondenze
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispondenza o relazione R da A in B una legge che associa elementi
di A ad elementi di B.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
N.B. A è detto dominio della corrispondenza,
B è detto codominio della corrispondenza.
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
9.
Corrispondenze
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si definisce corrispondenza o relazione R da A in B una legge che associa elementi
di A ad elementi di B.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
N.B. A è detto dominio della corrispondenza,
B è detto codominio della corrispondenza.
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Esempio:
Relazioni d’ordine
A = {1, 4, −5} B = {0, 1, −2, 2, 3}
Relazioni . . .
Funzioni
consideriamo la corrispondenza R definita nel modo seguente:
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aRb, se b2 = a
dove a ∈ A e b ∈ B.
Allora si ha:
1 R 1, 4 R 2, 4 R − 2
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Teoria degli Insiemi
Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad un
elemento del dominio può essere associato più di un elemento
o nessun elemento del codominio.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Osservazione: In una corrispondenza da A in B ad un
elemento del dominio può essere associato più di un elemento
o nessun elemento del codominio.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Esempio:
Proprietà delle . . .
A = {1, 4, −5} B = {0, 1, −2, 2, 3}
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
2
aRb, se b = a
Relazioni
Proprietà delle . . .
1R1
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
4 R 2, 4 R − 2
Funzioni
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6 ∃b ∈ B | − 5Rb
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Corso di Algebra 1, a.a. 2016/17
Teoria degli Insiemi
Osservazione: Una corrispondenza da A in B può essere
vista come un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B,
ossia
A R B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B, a R b} ⊆ A × B
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Corso di Algebra 1, a.a. 2016/17
Teoria degli Insiemi
Osservazione: Una corrispondenza da A in B può essere
vista come un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × B,
ossia
A R B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B, a R b} ⊆ A × B
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Esempio:
Corrispondenze
A = {1, 4, −5} B = {0, 1, −2, 2, 3}
Relazioni
Proprietà delle . . .
aRb, se b2 = a
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
1 R 1, 4 R 2, 4 R − 2
Funzioni
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A R B = {(1, 1), (4, 2), (4, −2)} ⊆ A × B
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
10.
Relazioni
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione binaria o semplicemente relazione su A una corrispondenza R
da A in se stesso.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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10.
Relazioni
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione binaria o semplicemente relazione su A una corrispondenza R
da A in se stesso.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × A.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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10.
Relazioni
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dato un insieme A si definisce relazione binaria o semplicemente relazione su A una corrispondenza R
da A in se stesso.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Osservazione: Una relazione su A individua un sottoinsieme del prodotto cartesiano A × A.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Esempio: Sia
Relazioni d’ordine
A = {0, 1, . . . , 9}
consideriamo la relazione R definita nel modo seguente:
a R a, se a = 2a
dove a, a ∈ A. Allora
A R A = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a} =
= {(0, 0), (1, 2), (2, 4), (3, 6), (4, 8)}.
Relazioni . . .
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Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Osservazione: Una relazione su A può essere rappresentata anche mediante un grafo in cui i nodi sono gli elementi di
A e gli archi le relazioni tra gli elementi di A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Osservazione: Una relazione su A può essere rappresentata anche mediante un grafo in cui i nodi sono gli elementi di
A e gli archi le relazioni tra gli elementi di A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Esempio: A = {0, 1, . . . , 9}
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
A R A = {(a, a) | a, a ∈ A, a = 2a}
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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11.
Proprietà delle Relazioni
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
• Proprietà Riflessiva: Una relazione R definita su
un insieme A è riflessiva se ogni elemento di A è in
relazione con sè stesso:
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
∀x ∈ A, xRx.
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Relazioni . . .
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11.
Proprietà delle Relazioni
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
• Proprietà Riflessiva: Una relazione R definita su
un insieme A è riflessiva se ogni elemento di A è in
relazione con sè stesso:
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
∀x ∈ A, xRx.
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
• Proprietà Simmetrica: Una relazione R definita
su un insieme A è simmetrica se, comunque presi x e
y in A, se x è in relazione con y allora y è in relazione
con x:
∀x, y ∈ A, xRy ⇒ yRx.
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
• Proprietà Antisimmetrica: Una relazione R definita su un insieme A è antisimmetrica se, comunque
presi x e y in A con x 6= y, se x è in relazione con y
allora y non è in relazione con x:
∀x, y ∈ A, x 6= y, xRy ⇒ y 6 Rx.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
o, equivalentemente, se x è in relazione con y e y è in
relazione con x allora x = y
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x = y.
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
• Proprietà Antisimmetrica: Una relazione R definita su un insieme A è antisimmetrica se, comunque
presi x e y in A con x 6= y, se x è in relazione con y
allora y non è in relazione con x:
∀x, y ∈ A, x 6= y, xRy ⇒ y 6 Rx.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
o, equivalentemente, se x è in relazione con y e y è in
relazione con x allora x = y
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x = y.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
• Proprietà Transitiva: Una relazione R definita su
un insieme A è transitiva se, comunque presi tre elementi in A, x, y, z, se x è in relazione con y e y con z,
allora x è in relazione con z:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ xRz.
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12.
Relazioni d’ordine
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale
valgono le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva è
detta relazione d’ordine parziale.
A è detto parzialmente ordinato.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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12.
Relazioni d’ordine
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale
valgono le proprietà riflessiva, antisimmetrica e transitiva è
detta relazione d’ordine parziale.
A è detto parzialmente ordinato.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Definizione: Una relazione d’ordine R su un insieme A è
detta relazione d’ordine totale se comunque presi due elementi a e b in A si ha aRb o bRa, ossia a e b si possono
sempre confrontare.
A è detto totalmente ordinato.
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine parziale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine parziale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∀x ∈ A, x|x
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine parziale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∀x ∈ A, x|x
Relazioni
Proprietà delle . . .
• R è antisimmetrica:
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x|y, y|x ⇒ x = y
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = {1, 2, 3, 6, 12}, consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x|y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine parziale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∀x ∈ A, x|x
Relazioni
Proprietà delle . . .
• R è antisimmetrica:
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x|y, y|x ⇒ x = y
Funzioni
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• R è transitiva:
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∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x|y, y|z ⇒ x|z ⇒ xRz
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Graficamente:
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Insiemi
Graficamente:
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
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Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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N.B. La relazione d’ordine non è totale, infatti 2 6 | 3 e 3 6 | 2,
dunque 2 6 R3 e 3 6 R2.
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Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita
nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita
nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine totale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita
nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine totale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∀x ∈ A, x ≤ x
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita
nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine totale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∀x ∈ A, x ≤ x
Relazioni
Proprietà delle . . .
• R è antisimmetrica:
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita
nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine totale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∀x ∈ A, x ≤ x
Relazioni
Proprietà delle . . .
• R è antisimmetrica:
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y
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• R è transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z ⇒ xRz
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Sia A = R. Consideriamo la relazione R definita
nel modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
xRy ⇔ x ≤ y, x, y ∈ A.
R è una relazione d’ordine totale su A, infatti
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∀x ∈ A, x ≤ x
Relazioni
Proprietà delle . . .
• R è antisimmetrica:
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
∀x, y ∈ A, xRy, yRx ⇒ x ≤ y, y ≤ x ⇒ x = y
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• R è transitiva:
∀x, y, z ∈ A, xRy, yRz ⇒ x ≤ y, y ≤ z ⇒ x ≤ z ⇒ xRz
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• e inoltre
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∀x, y ∈ A, x ≤ y, oppure y ≤ x.
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Teoria degli Insiemi
13.
Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale
valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta
relazione d’equivalenza.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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13.
Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale
valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta
relazione d’equivalenza.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Esempi:
Relazioni
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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13.
Relazioni d’equivalenza
Definizione: Una relazione R su un insieme A per la quale
valgono le proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva è detta
relazione d’equivalenza.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Esempi:
Relazioni
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Banalmente si verifica che R è una relazione d’equivalenza su A.
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R è riflessiva:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
∀a ∈ Z, a − a = 0 = 2 · 0 ⇒ aRa;
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R è riflessiva:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
∀a ∈ Z, a − a = 0 = 2 · 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∀a, b ∈ Z, aRb ⇒ a − b = 2 · n, n ∈ Z ⇒
b−a = −(a−b) = −(2·n) = 2·(−n) = 2·n0 , n0 ∈ Z ⇒
bRa;
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Corso di Algebra 1, a.a. 2016/17
Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R è riflessiva:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
∀a ∈ Z, a − a = 0 = 2 · 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∀a, b ∈ Z, aRb ⇒ a − b = 2 · n, n ∈ Z ⇒
b−a = −(a−b) = −(2·n) = 2·(−n) = 2·n0 , n0 ∈ Z ⇒
bRa;
• R è transitiva:
∀a, b, c ∈ Z, aRb e bRc ⇒
a − b = 2 · n, b − c = 2 · n0 , n, n0 ∈ Z ⇒
a−c = (a−b)+(b−c) = 2·n+2·n0 = 2·(n+n0 ) =
2 · m, m ∈ Z ⇒ aRc.
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
• R è riflessiva:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
∀a ∈ Z, a − a = 0 = 2 · 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∀a, b ∈ Z, aRb ⇒ a − b = 2 · n, n ∈ Z ⇒
b−a = −(a−b) = −(2·n) = 2·(−n) = 2·n0 , n0 ∈ Z ⇒
bRa;
• R è transitiva:
∀a, b, c ∈ Z, aRb e bRc ⇒
a − b = 2 · n, b − c = 2 · n0 , n, n0 ∈ Z ⇒
a−c = (a−b)+(b−c) = 2·n+2·n0 = 2·(n+n0 ) =
2 · m, m ∈ Z ⇒ aRc.
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3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R non è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
2
∀a ∈ Z, aa = a ≥ 0 ⇒ aRa;
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R non è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
2
∀a ∈ Z, aa = a ≥ 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∀a, b ∈ Z, aRb ⇒ ab ≥ 0 ⇒ ba ≥ 0 ⇒ bRa;
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Teoria degli Insiemi
3. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab ≥ 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R non è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
2
∀a ∈ Z, aa = a ≥ 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∀a, b ∈ Z, aRb ⇒ ab ≥ 0 ⇒ ba ≥ 0 ⇒ bRa;
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• R non è transitiva:
3R0, 0R(−5) ma 3 6 R(−5).
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4. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
4. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∗
2
∀a ∈ Z , aa = a > 0 ⇒ aRa;
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
4. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∗
2
∀a ∈ Z , aa = a > 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∗
∀a, b ∈ Z , aRb ⇒ ab > 0 ⇒ ba > 0 ⇒ bRa;
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Teoria degli Insiemi
4. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
R è una relazione d’equivalenza su A, infatti:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
• R è riflessiva:
Corrispondenze
∗
2
∀a ∈ Z , aa = a > 0 ⇒ aRa;
• R è simmetrica:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
∗
∀a, b ∈ Z , aRb ⇒ ab > 0 ⇒ ba > 0 ⇒ bRa;
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• R è transitiva:
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∀a, b, c ∈ Z∗ , aRb, bRc ⇒ ab > 0, bc > 0 ⇒
(ab)(bc) > 0 ⇒ ab2 c > 0 ⇒ ac > 0 ⇒ aRc.
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione
di equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classe
di equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli
elementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione
di equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classe
di equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli
elementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione
di equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classe
di equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli
elementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Esempi:
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R una relazione
di equivalenza definita in A. Sia a ∈ A, si chiama classe
di equivalenza di a il sottoinsieme di A formato da tutti gli
elementi b di A che sono in relazione con a
[a] = {b ∈ A | aRb}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Osservazione: [a] 6= ∅, infatti a ∈ [a].
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Esempi:
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione
R definita nel modo seguente:
xRy ⇔ x = y, x, y ∈ A.
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Sia a ∈ A, allora
[a] = {b ∈ A | aRb} = {b ∈ A | a = b} = {a}.
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [3]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [3]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[3] = {x ∈ Z | 3Rx} = {x ∈ Z | 3 − x = 2n, n ∈ Z} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z | x = 3 − 2n = 3 + 2n0 = 2n00 + 1, n00 ∈ Z} =
Proprietà delle . . .
{x ∈ Z | x = 2n + 1, n ∈ Z} =
Relazioni d’ordine
{tutti gli interi dispari}
Relazioni . . .
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3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [−5] e [−2]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [−5] e [−2]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[−5] = {x ∈ Z∗ | (−5)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−5)x > 0} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione R definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [−5] e [−2]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[−5] = {x ∈ Z∗ | (−5)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−5)x > 0} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Analogamente
[−2] = {x ∈ Z∗ | (−2)Rx} = {x ∈ Z∗ | (−2)x > 0} =
Relazioni . . .
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{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z− = [−5].
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Teoria degli Insiemi
Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su un
insieme A. ∀a, b ∈ A,
[a] = [b] ⇔ aRb.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Domanda: Quando due classi di equivalenza coincidono?
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Criterio: Sia R una relazione di equivalenza definita su un
insieme A. ∀a, b ∈ A,
[a] = [b] ⇔ aRb.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Dimostrazione:
(⇒): bRb ⇒ b ∈ [b] = [a] ⇒ b ∈ [a] ⇒ aRb.
(⇐): Dimostriamo dapprima che [a] ⊆ [b]. ∀c ∈ [a] ⇒ aRc.
Ma per ipotesi aRb. Dunque, per la proprietà simmetrica,
si ha che bRa. Allora bRa e aRc. Per la transitività di R,
si ha bRc. Dunque c ∈ [b]. In modo analogo si dimostra che
[b] ⊆ [a]. In conclusione si ha [a] = [b].
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazione di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quoziente
di A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazione di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quoziente
di A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Esempi:
Corrispondenze
Relazioni
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione
∼ definita nel modo seguente:
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazione di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quoziente
di A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Esempi:
Corrispondenze
Relazioni
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione
∼ definita nel modo seguente:
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Relazioni . . .
Funzioni
Sia a ∈ A, allora [a] = {a}.
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Sia dato un insieme A e sia R =∼ una relazione di equivalenza definita in A. Si definisce insieme quoziente
di A modulo ∼ l’insieme di tutte le classi di equivalenza
A/ ∼= {[a]∼ | a ∈ A}.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Esempi:
Corrispondenze
Relazioni
1. Sia A un generico insieme. Consideriamo la relazione
∼ definita nel modo seguente:
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
x ∼ y ⇔ x = y, x, y ∈ A.
Relazioni . . .
Funzioni
Sia a ∈ A, allora [a] = {a}.
Dunque
A/ ∼= {[a] | a ∈ A} = {{a} | a ∈ A}.
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
a ∼ b ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
a ∼ b ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [0]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
a ∼ b ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [0]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0 − x = 2n, n ∈ Z} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z | x = −2n = 2n0 , n0 ∈ Z} =
Proprietà delle . . .
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
a ∼ b ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [0]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0 − x = 2n, n ∈ Z} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z | x = −2n = 2n0 , n0 ∈ Z} =
Proprietà delle . . .
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Determiniamo [1]:
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
a ∼ b ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [0]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0 − x = 2n, n ∈ Z} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z | x = −2n = 2n0 , n0 ∈ Z} =
Proprietà delle . . .
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Determiniamo [1]:
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[1] = {x ∈ Z | 1 ∼ x} = {x ∈ Z | 1 − x = 2n, n ∈ Z} =
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0
0
{x ∈ Z | x = 1 − 2n = 1 + 2n , n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n + 1, n ∈ Z} = {tutti gli interi dispari}
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2. Sia A = Z. Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
a ∼ b ⇔ a − b = 2n, n ∈ Z, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [0]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[0] = {x ∈ Z | 0 ∼ x} = {x ∈ Z | 0 − x = 2n, n ∈ Z} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z | x = −2n = 2n0 , n0 ∈ Z} =
Proprietà delle . . .
{x ∈ Z | x = 2n, n ∈ Z} = {tutti gli interi pari}
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Determiniamo [1]:
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[1] = {x ∈ Z | 1 ∼ x} = {x ∈ Z | 1 − x = 2n, n ∈ Z} =
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0
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{x ∈ Z | x = 1 − 2n = 1 + 2n , n ∈ Z} =
{x ∈ Z | x = 2n + 1, n ∈ Z} = {tutti gli interi dispari}
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Dunque
Z/ ∼= {[0], [1]}.
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3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [1]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [1]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [1]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Determiniamo [−1]:
Relazioni . . .
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3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [1]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Determiniamo [−1]:
Relazioni . . .
Funzioni
[−1] = {x ∈ Z∗ | (−1) ∼ x} = {x ∈ Z∗ | (−1)x > 0} =
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{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
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3. Sia A = Z∗ . Consideriamo la relazione ∼ definita nel
modo seguente:
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
aRb ⇔ ab > 0, a, b ∈ A.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Determiniamo [1]:
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
[1] = {x ∈ Z∗ | 1 ∼ x} = {x ∈ Z∗ | 1x > 0} =
Corrispondenze
Relazioni
{x ∈ Z∗ | x > 0} = Z+
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Determiniamo [−1]:
Relazioni . . .
Funzioni
[−1] = {x ∈ Z∗ | (−1) ∼ x} = {x ∈ Z∗ | (−1)x > 0} =
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{x ∈ Z∗ | x < 0} = Z−
Dunque
Z/ ∼= {Z+ , Z− }.
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Teoria degli Insiemi
Risultato: Sia dato un insieme A e sia ∼ una relazione di
equivalenza definita in A. Allora l’insieme quoziente A/ ∼ è
una partizione di A, ossia è una famiglia di sottoinsiemi di
A non vuoti, a due a due disgiunti e la cui unione è tutto A.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
14.
Funzioni
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazione
o funzione da A in B una corrispondenza che associa ad ogni
elemento di A uno ed un solo elemento di B. Si scrive:
f :A→B
a→b
dove a ∈ A. Si scrive anche f (a) = b.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
14.
Funzioni
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Definizione: Dati due insiemi A e B si chiama applicazione
o funzione da A in B una corrispondenza che associa ad ogni
elemento di A uno ed un solo elemento di B. Si scrive:
f :A→B
a→b
dove a ∈ A. Si scrive anche f (a) = b.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
N.B. A è detto dominio della funzione,
B è detto codominio della funzione.
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esempio: Dati gli insiemi
Definire un insieme
Inclusione
A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
si consideri la corrispondenza
f :A→B
definita da
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
2
f (x) = x , ∀x ∈ A.
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esempio: Dati gli insiemi
Definire un insieme
Inclusione
A = {−2, −1, 0, 1, 2} e B = {−4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4}
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
si consideri la corrispondenza
f :A→B
definita da
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
2
f (x) = x , ∀x ∈ A.
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
f è un’applicazione, infatti ad ogni elemento di A corrisponde
uno ed un solo elemento di B
Relazioni . . .
Funzioni
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f (−2) = 4 ∈ B, f (−1) = 1 ∈ B, f (0) = 0 ∈ B,
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f (1) = 1 ∈ B, f (2) = 4 ∈ B.
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Insiemi
Graficamente:
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Criterio: Per verificare che una corrispondenza f : A → B
è un’applicazione bisogna verificare
• ∀x ∈ A, ∃f (x) ∈ B;
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
• ∀x ∈ A, ∃!f (x) (è unico):
x = y ⇒ f (x) = f (y)
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo la corrispondenza
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = 2x, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo la corrispondenza
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = 2x, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
f è un’applicazione, infatti
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo la corrispondenza
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = 2x, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
f è un’applicazione, infatti
Relazioni
Proprietà delle . . .
• ∀x ∈ Z, 2x ∈ Z ⇒ f (x) = 2x ∈ Z.
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo la corrispondenza
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = 2x, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
f è un’applicazione, infatti
Relazioni
Proprietà delle . . .
• ∀x ∈ Z, 2x ∈ Z ⇒ f (x) = 2x ∈ Z.
• Siano x, y ∈ Z. Se x = y ⇒ 2x = 2y ⇒ f (x) = f (y)
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
a
f ( ) = 5 , ∀ ∈ Q.
b
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
a
f ( ) = 5 , ∀ ∈ Q.
b
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f è un’applicazione, infatti
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
a
f ( ) = 5 , ∀ ∈ Q.
b
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f è un’applicazione, infatti
Corrispondenze
Relazioni
• ∀ ab ∈ Q, 5 ab ∈ Q ⇒ f ( ab ) ∈ Q.
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
a
f ( ) = 5 , ∀ ∈ Q.
b
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
f è un’applicazione, infatti
Relazioni
• ∀ ab ∈ Q, 5 ab ∈ Q ⇒ f ( ab ) ∈ Q.
• Siano ab , dc ∈ Q. Se
a
b
=
c
d
⇒ 5 ab = 5 dc ⇒ f ( ab ) = f ( dc )
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Relazioni . . .
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3. Consideriamo la corrispondenza
f :R→R
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
f (x) =
5
, ∀x ∈ R.
2−x
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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3. Consideriamo la corrispondenza
f :R→R
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
f (x) =
5
, ∀x ∈ R.
2−x
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f non è un’applicazione, infatti
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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3. Consideriamo la corrispondenza
f :R→R
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
f (x) =
5
, ∀x ∈ R.
2−x
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f non è un’applicazione, infatti
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
• f (2) 6∈ R
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4. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
f ( ) = 2b, ∀ ∈ Q.
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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4. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
f ( ) = 2b, ∀ ∈ Q.
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f non è un’applicazione, infatti
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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4. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
f ( ) = 2b, ∀ ∈ Q.
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f non è un’applicazione, infatti
Corrispondenze
Relazioni
• ∀ ab ∈ Q, 2b ∈ Q ⇒ f ( ab ) ∈ Q.
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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4. Consideriamo la corrispondenza
f :Q→Q
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
a
a
f ( ) = 2b, ∀ ∈ Q.
b
b
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f non è un’applicazione, infatti
Corrispondenze
Relazioni
• ∀ ab ∈ Q, 2b ∈ Q ⇒ f ( ab ) ∈ Q.
•
1
2
=
3
6
ma f ( 12 ) = 4 6= f ( 36 ) = 12
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è iniettiva se elementi distinti del
dominio hanno immagini distinte nel codominio, ossia
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y).
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è iniettiva se elementi distinti del
dominio hanno immagini distinte nel codominio, ossia
∀x, y ∈ A, x 6= y ⇒ f (x) 6= f (y).
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Esempi:
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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INIETTIVA
NON INIETTIVA
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Insiemi
Criterio: f : A → B è iniettiva se, ∀x, y ∈ A,
f (x) = f (y) ⇒ x = y
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Relazioni . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
f è iniettiva, infatti
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
f è iniettiva, infatti
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Siano x, y ∈ Z. Se
Funzioni
f (x) = f (y) ⇒
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3x + 1 = 3y + 1 ⇒ 3x = 3y ⇒ x = y
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
f (x) = x2 , ∀x ∈ Z.
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
f (x) = x2 , ∀x ∈ Z.
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f non è iniettiva, infatti
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Relazioni . . .
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
f (x) = x2 , ∀x ∈ Z.
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
f non è iniettiva, infatti
Corrispondenze
Relazioni
1 6= −1 ma f (1) = 1 = f (−1)
Proprietà delle . . .
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Relazioni . . .
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è surgettiva o suriettiva se ogni
elemento del codominio è immagine di qualche elemento del
dominio, ossia
∀b ∈ B, ∃a ∈ A t.c. f (a) = b.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è surgettiva o suriettiva se ogni
elemento del codominio è immagine di qualche elemento del
dominio, ossia
∀b ∈ B, ∃a ∈ A t.c. f (a) = b.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Esempi:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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SURGETTIVA
NON SURGETTIVA
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Insiemi
Criterio: f : A → B è surgettiva se, ∀b ∈ B ∃x ∈ A, tale
che l’equazione
f (x) = b
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
ha soluzione.
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Relazioni . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
f è surgettiva?
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Relazioni . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
f è surgettiva?
Relazioni
Proprietà delle . . .
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x + 6 = b?
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
f è surgettiva?
Proprietà delle . . .
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x + 6 = b?
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
Risolviamo
x+6=b
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
f è surgettiva?
Proprietà delle . . .
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x + 6 = b?
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
Risolviamo
x+6=b
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si ottiene
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x=b−6∈Z
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Insiemi
Esempi:
Definire un insieme
1. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
definita da
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
f è surgettiva?
Proprietà delle . . .
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. x + 6 = b?
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
Risolviamo
x+6=b
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si ottiene
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x=b−6∈Z
dunque
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∀b ∈ Z ∃x = b − 6 ∈ Z t.c. f (b − 6) = b
f è surgettiva.
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
Operazioni tra Insiemi
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
Operazioni tra Insiemi
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
f è surgettiva?
Relazioni
Proprietà delle . . .
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
Operazioni tra Insiemi
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
f è surgettiva?
Relazioni
Proprietà delle . . .
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x + 1 = b?
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
Operazioni tra Insiemi
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
f è surgettiva?
Relazioni
Proprietà delle . . .
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x + 1 = b?
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Relazioni . . .
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3x + 1 = b
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Insiemi
2. Consideriamo l’applicazione
Definire un insieme
f :Z→Z
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
Operazioni tra Insiemi
f (x) = 3x + 1, ∀x ∈ Z.
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
f è surgettiva?
Relazioni
Proprietà delle . . .
∀b ∈ Z ∃x ∈ Z t.c. 3x + 1 = b?
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Relazioni . . .
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Funzioni
3x + 1 = b
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si ottiene
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x=
b−1
6∈ Z
3
dunque f non è surgettiva, infatti per b = 5 si ha x =
4
3
6∈ Z
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è biunivoca se è iniettiva e surgettiva.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è biunivoca se è iniettiva e surgettiva.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Esempi:
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
1.
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è biunivoca se è iniettiva e surgettiva.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Esempi:
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
1.
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
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definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione. Si dice che f è biunivoca se è iniettiva e surgettiva.
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Esempi:
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
1.
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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2. Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
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definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
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f è biunivoca
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Teoria degli Insiemi
Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione biunivoca. Si definisce funzione inversa di f , e si
indica f −1 , l’applicazione f −1 : B → A che associa ad ogni
elemento di B, b ∈ B, quell’unico elemento a ∈ A di cui è
immagine tramite la f , ossia f (a) = b.
∀b ∈ B, f
−1
(b) = a, dove a ∈ A e f (a) = b
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Definizione: Dati due insiemi A e B ed f : A → B un’applicazione biunivoca. Si definisce funzione inversa di f , e si
indica f −1 , l’applicazione f −1 : B → A che associa ad ogni
elemento di B, b ∈ B, quell’unico elemento a ∈ A di cui è
immagine tramite la f , ossia f (a) = b.
∀b ∈ B, f
−1
(b) = a, dove a ∈ A e f (a) = b
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Esempio:
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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f
f
−1
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Esempio: Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Abbiamo visto che f è biunivoca
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Teoria degli Insiemi
Esempio: Consideriamo l’applicazione
f :Z→Z
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
definita da
f (x) = x + 6, ∀x ∈ Z.
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Abbiamo visto che f è biunivoca
Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
La funzione inversa
Relazioni
f −1 : Z → Z
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
è definita da
f (x) = x − 6, ∀x ∈ Z.
Relazioni . . .
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Definizione: Siano f : A → B e g : B → C due applicazioni. Allora l’applicazione g ◦ f : A → C definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ A
è detta applicazione composta.
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
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Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
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Definizione: Siano f : A → B e g : B → C due applicazioni. Allora l’applicazione g ◦ f : A → C definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ A
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
è detta applicazione composta.
Proprietà delle . . .
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Esempio: Consideriamo
Corrispondenze
Relazioni
f : Z∗ → N
2
g:N→Q
∗
f (x) = x , ∀x ∈ Z
g(x) =
3x+5
,
2
∀x ∈ N
Proprietà delle . . .
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Definizione: Siano f : A → B e g : B → C due applicazioni. Allora l’applicazione g ◦ f : A → C definita da
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
g ◦ f (x) = g(f (x)), ∀x ∈ A
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
è detta applicazione composta.
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
Esempio: Consideriamo
Corrispondenze
Relazioni
f : Z∗ → N
2
g:N→Q
∗
f (x) = x , ∀x ∈ Z
g(x) =
3x+5
,
2
∀x ∈ N
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
g ◦ f : Z∗ → Q
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2
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(x2 ) =
3x + 5
2
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Corso di Algebra 1, a.a. 2016/17
Teoria degli Insiemi
Insiemi
Esercizi:
Definire un insieme
1. Delle seguenti relazioni su N verificare quali tra le proprietà riflessiva, simmetrica, anti-simmetrica e transitiva sono valide:
a) xRy ⇔ x|y;
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
b) xRy ⇔ hanno lo stesso numero di cifre;
c) xRy ⇔ x − y = 3n per qualche naturale n;
Prodotto Cartesiano
d) xRy ⇔ hanno un divisore comune diverso da 1.
Relazioni
Corrispondenze
Proprietà delle . . .
2. Su Z si definisca la seguente relazione:
xRy ⇔ λx − 3y = 1
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
con λ ∈ Z. Dire per quale valore di λ la relazione R è
simmetrica:
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a) λ = 0;
b) λ =
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;
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c) λ = −3;
d) λ = 2.
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Teoria degli Insiemi
3. Delle seguenti funzioni dire quali sono iniettive e quali
surgettive:
a) f : R → R, definita da f (x) = 4x + 1;
∗
b) g : R → R, definita da g(x) =
c) h : Z∗ → R, definita da h(x) =
2
;
x
1
;
x2 +1
Insiemi
Definire un insieme
Inclusione
Sottoinsiemi Propri . . .
Operazioni tra Insiemi
Proprietà delle . . .
Prodotto Cartesiano
4. Siano f : R → R e g : R → R due funzioni definite da
f (x) = (x − 1)2 e g(x) = x + 1. Determinare le funzioni composte f ◦ g, g ◦ f , f ◦ f e g ◦ g.
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
SOLUZIONI
Relazioni . . .
Funzioni
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15.
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Prodotto Cartesiano
Corrispondenze
Relazioni
Proprietà delle . . .
Relazioni d’ordine
Relazioni . . .
Funzioni
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