seconda prova intermedia Analisi Matematica
NOME e COGNOME:............................................................... MATRICOLA: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Rispondere UNICAMENTE su questo foglio, scrivendo le risposte e le spiegazioni richieste.
Stabilire la verità (V) o falsità (F) di ciascuna delle seguenti affermazioni, marcando con una crocetta il simbolo
corrispondente e Motivando brevemente la risposta.
In seguito sono riportati esercizi risolti. In blu sono invece riportati commenti ed indicazioni per aiutare lo studente a
risolvere l’esercizio (non sono da riportare in un eventuale scritto).
(V) (F) Sia f : [1, 9] → R una funzione derivabile su ]1, 9[, allora è continua sul chiuso [1, 9].
F. Il fatto che la funzione sia derivabile sull’aperto ]1, 9[ non implica che la funzione sia continua sul chiuso [1,9],
Controesempio:
3 x ∈ ]1, 9 [
f (x) =
1 x ∈ {1, 9}
in questo caso f è derivabile in ]1, 9[, ma non è continua in [0, 9].
(V) (F) Sia f :]1, 12[→ R una funzione derivabile, strettamente monotona. Se f (3) = 5, f 0 (5) = 17, f 0 (3) = 2,
allora (f −1 )0 (5) = 1/2.
F. Applichiamo il teorema di derivazione della funzione inversa: (f −1 )0 (x0 ) =
otiene
(f −1 )0 (5)
=
1
f 0 (3)
=
1
.
f 0 (f −1 (x0 ))
Scegliendo x0 = 5 si
1
2.
(V) (F) Se f : ] − π, π[→ R è una funzione derivabile, i suoi punti di massimo sono tutti punti critici.
V. Perché l’intervallo e’ aperto, e quindi si puo’ applicare il teorema di Fermat.
1
è monotona decrescente sul dominio.
x
1
F. Il dominio della funzione e’ (−∞, 0)∪(0, +∞) La funzione è monotona decrescente in (−∞, 0) e nell’intervallo
x
(0, +∞), ma non sull’unione.
(V) (F) La funzione
(V) (F) Sia f : [1, 4] → R una funzione derivabile. Allora f (4) = f (1) + 3f 0 (2).
F. L’enunciato del teorema di Lagrange afferma che se la funzione f è continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[
(a)
allora ∃ c ∈ ]a, b[ tale che f 0 (c) = f (b)−f
, quindi non è detto che questo punto c sia proprio 2.Controesempio: la
b−a
parabola f (x) = x2 è derivabile e f 0 (x) = 2x, quindi f 0 (2) = 4 6=
f (4)−f (1)
4−1
=
15
3
= 5.
(V) (F) Sia A ⊂ R non vuoto, f : A → R una funzione derivabile. Se f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ A, allora f e’
costante.
F. Controesempio: si può prendere una funzione definita su due intervalli disgiunti e costante in questi intervalli,
per esempio A = [1, 3] ∪ [4, 6] con:
1 x ∈ [1, 3]
f (x) =
2 x ∈ [4, 6]
Per questa funzione f 0 (x) = 0 per ogni x ∈ A, ma f non è costante in A.
(V) (F) Sia f : ]0, 8[ → R una funzione continua e di classe C 1 ( ]0, 5[ ∪ ]5, 8[ ). Se f 0 (x) > 0 per ogni x ∈
]0, 5[ ∪ ]5, 8[ , f è monotona strettamente crescente su ciascuno degli intervalli ]0, 5[ e ]5, 8[, ma non è monotona
sull’unione.
F. poiche’ f e’ continua su ]0, 8[ esiste una proposizione che garantisce che sotto queste ipotesi f sia monotona su
]0, 8[
(V) (F) Sia f :]0, 9[→ R una funzione di classe C 2 . Se f 00 (x) > 0 su ]0, 4[ f 00 (4) = 0, f 00 (x) > 0 su ]4, 9[. Allora
f è strettamente convessa.
V. Per teorema: f convessa ⇔ f 0 crescente ⇔ f 00 ≥ 0.
Svolgere gli esercizi seguenti
|2 cos(x) − 1|
√
ESERCIZIO 1 Sia f (x) = log
+ 3 . La funzione f è derivabile su tutto R. Calcolare f 0 .
x2 + 2
√
1
√
2 + 2 − (2 cos(x) − 1) 1 (x2 + 2)− 2 2x
segn(2
cos(x)
−
1)
−
2
sin(x)
x
2
2
x +2
=
f 0 (x) =
|2 cos(x) − 1|
x2 + 2
√
2segn(2 cos(x) − 1) x2 + 2 − sin(x)(x2 + 2) − x(2 cos(x) − 1)
=
(x2 + 2)|2 cos(x) − 1|
ESERCIZIO 2 Sia f (x) = |x − 3|1/2 exp(|x − 3|) − 1 . Dire se la funzione è derivabile nel punto 3.
Osserviamo che
f (x) = |x − 3|1/2 (|x − 3| + o(|x − 3|)) = o(x − 3)
per x → 3, e quindi e’ differenziabile nel punto 3, con derivata 0.
|x−2|
ESERCIZIO 3 Determinare dominio ed intervalli di monotonia della funzione f (x) = arctan |x+1|−5
.
Dominio di f : |x + 1| =
6 5 ⇒ x + 1 6= ±5 ⇒ x 6= 4, x 6= −6, quindi D(f ) = (−∞, −6) ∪ (−6, 4) ∪ (4, +∞).
La funzione arctan è monotona crescente, quindi non influisce sulla monotonia della funzione f , è sufficiente allora
|x−2|
studiare la monotonia del suo argomento g(x) = |x+1|−5
Per ogni x ∈] − ∞, −1[∪] − 1, 2[∪]2, +∞[ esiste g 0 e
g 0 (x) =
segn(x − 2)
segn(x − 2)(|x + 1| − 5) − |x − 2|segn(x + 1)
=
(|x + 1| − 5)2
|x + 1| − 5 − (x − 2)segn(x + 1)
3segn(x + 1) − 5
= segn(x − 2)
(|x + 1| − 5)2
(|x + 1| − 5)2
Pertanto
Se x < −1, allora f 0 (x) > 0,
Se − 1 < x < 2 allora f 0 (x) > 0,
Se x > 2 allora f 0 (x) < 0
Allora gli intervalli di monotonia della funzione f sono:
• f è monotona crescente in (−∞, −6) e in (−6, 2] ma non e’ crescente sull’unione dei due intervalli
• f è monotona decrescente in [2, 4) e in (4, +∞), ma non e’ decrescente sull’unione dei due intervalli
ESERCIZIO 4 Determinare il massimo e il minimo assoluto della funzione seguente: f : [−1, 5] → R, f (x) = |x|1/2 ex .
I punti di massimo e minimo vanno cercati fra gli zeri di f 0 , i punti di non derivabilita’ e gli estremi.
Per ogni x 6= 0 esiste
p
p 1
1
f 0 (x) = p sign(x)ex + |x|ex = ex |x|
+1
2x
2 |x|
Allora f 0 si annulla nel punto x = − 21 .
Confrontando i valori che la funzione f assume nei punti {0, − 12 , −1, 5} si ha che: 0 è il minimo assoluto di f e
√ 5
5e = f (5) è il massimo assoluto di f .
ESERCIZIO 5 Determinare intervalli di convessità della funzione f (x) = |x − 4|e2x−5 .
La funzione f e’ definita e continua su tutto R. Inoltre per ogni x 6= 4 esiste f 0 (x) e
f 0 (x) = sign(x − 4)e2x−5 + |x − 4|e2x−5 2 = sign(x − 4)e2x−5 (1 + 2(x − 4)) = sign(x − 4)e2x−5 (2x − 7)
Per ogni x 6= 4 esiste anche f 00 (x) e
f 00 (x) = sign(x − 4)(e2x−5 2(2x − 7) + e2x−5 2) = 4sign(x − 4)e2x−5 (x − 3)
Studio del segno di f 00 :
Se x < 3, allora f 00 (x) > 0,
Se 3 < x < 4 allora f 00 (x) < 0,
Se x > 4 allora f 00 (x) > 0
Quindi la funzione f e’ convessa sull’intervallo (−∞, 3] e su [4, +∞), ma non e’ convessa sull’unione.
