continuita` di funzione

CONTINUITA' DI FUNZIONE
CONTINUITA' IN UN PUNTO
Una funzione si dice continua in un punto “x=c” quando:
Lim f ( x ) = f ( c )
x⇒ c
In parole questa definizione si traduce nella proprietà
per cui il limite della funzione in un dato punto è un
numero uguale al valore della funzione stessa nel punto.
La continuità presuppone necessariamente l'esistenza di
tre condizione per cui, se anche una sola non è
rispettata, la funzione si dice discontinua ed il
corrispondente valore della “x” si dice punto di
discontinuità. Elenchiamo le tre condizioni:
1. f ( c ) = l ≠ ± ∞
il valore della funzione esiste come numero reale;
2. Lim− f ( x ) = Lim− f ( x ) ≠ ± ∞
x→ c
x→ c
i limiti destro e sinistro sono numeri uguali;
3 Lim− f ( x ) = f ( c )
x→ c
il limite è uguale al valore della funzione.
CONTINUITA' IN INTERVALLI
Quando una funzione ha la proprietà di essere continua in
tutti i punti di un certo intervallo o, eventualmente, in
tutto il suo dominio di esistenza, si dice che la
funzione è continua in tale intervallo oppure che è
continua. Dal punto di vista grafico questa proprietà
identifica le funzioni continue con i rispettivi grafici
che possono essere tracciati senza “rotture” o
interruzioni nei loro domini. Ogni volta, invece, che un
tracciato grafico si interrompe in un dato punto, in tale
punto la funzione è discontinua.
DISCONTINUITA'
Un punto di discontinuità di una funzione è un dato
valore della “x” per il quale almeno una delle tre
condizioni della continuità non è rispettata. Abbiamo la
seguente classificazione dei punti di discontinuità:
1 - Discontinuità di prima specie:
Lim f ( x ) = l , Lim f ( x ) = l ; Lim− f ( x ) ≠ Lim f ( x )
1 x⇒ c+
2 x⇒ c
x⇒ c−
x⇒ c+
i limiti destro e sinistro sono numeri reali diversi.
2 – Discontinuità di seconda specie:
 Lim−
 x⇒ c

 xLim
 ⇒ c+
f ( x) = ± ∞
f ( x) ≠ ± ∞
 Lim−
 x⇒ c
O 
 xLim
 ⇒ c+
f ( x) ≠ ± ∞
f ( x) = ± ∞
 Lim−
 x⇒ c
o
 xLim
 ⇒ c+
f ( x) = ± ∞
f ( x) = ± ∞
almeno uno dei limiti destro e sinistro vale infinito.
3- Discontinuità di terza specie (o eliminabile).
Lim f ( x ) = l ≠ f ( x )
x⇒ c
Il limite esiste come numero finito ma esso è diverso dal
valore della funzione che può anche non esistere.
In questo caso si conviene di potere eliminare, per così
dire, la discontinuità assumendo che il valore della
funzione corrisponda a quello del suo limite che,
frequentemente, è una forma indeterminata [0/0].
Simboli dei limiti destro e sinistro:
Assumeremo da ora la possibilità di scrivere i limiti
destro e sinistro, rispettivamente f(c+) e f(c-).
Ricerca dei punti di discontinuità:
La ricerca dei punti di discontinuità deve avvenire
svolgendo i calcoli dei limiti destro e sinistro nei
valori della funzione che sono esclusi dal dominio di
esistenza (limiti agli estremi interni del dominio) o
anche, nei casi di funzioni definite da formule diverse a
seconda degli intervalli, nei punti di separazione fra
gli intervalli cui la funzione cambia ovvero per le
cosiddette “funzioni definite a tratti”. La ricerca del
dominio, il calcolo dei limiti destro e sinistro e la
loro valutazione è quindi essenziale.
Esempi di discontinuità di funzioni.
1
f ( x) =
Es. 1:
;
1
−x
1+ 2
1
1
− ) = 1 = 1 =0
f 0+ =
=
=1
,
f
0
(
1 + 2− ∞ 1 + 0
1 + 2∞ 1 + ∞
c=0 è una discontinuità di prima specie di f ( x )
( )
x
;
2− x
2
2
2
2
−)=
f(2+ ) =
=
=
−
∞
,
f(2
=
= +∞
−
−
+
+
0
2
−
2
2− 2
0
c = 2 discontinuità di seconda specie.
f ( x) =
ES. 2:
x2 − 4
3- Es.3: f ( x ) =
x+ 2
0
f ( − 2) =   il valore della funzione non è definito in c=-2
 0
 ( x − 2) ( x + 2) 
f − 2+ = f ( − 2− ) = 
 = 4 ; esistono i limiti;
x
+
2


(
)
c = − 2 discontinuità di terza specie.
Funzioni con modulo o valore assoluto.
La funzione elementare detta modulo è una funzione
continua su tutto R ed è definita così:
x , x≥ 0
=
; f 0+ =f 0− =0
 −x , x< 0
( )
f ( x) = x
( )
La funzione rapporto fra il modulo e la x ha invece una
discontinua di prima specie nell'origine:
x
f ( x) =
=
x





x
= +1 , x ≥ 0
x
−x
= −1 , x < 0
x
( )
→
f 0+
→
f ( 0− ) = − 1
= +1
Le funzioni con modulo hanno la caratteristica di
assumere forme diverse in relazione ad intervalli diversi
del dominio di esistenza e, in corrispondenza ai valori
di separazione, si possono avere vari tipi di
discontinuità a seconda dei valori assunti dai limiti
destro e sinistro. Vediamo alcuni esempi.
Es.1: f ( x ) =
x2 − 1
; riscriviamo la funzione scomposta e calcoliamo:
x− 1
 x2 − 1
 0  =  ( x − 1) ( x + 1)  = 2
+
,
x>1
→
f
1
=
(
)
x− 1


 0 
x− 1



f ( x) =  2
 x − 1 , x<1 → f ( 1− ) =  0 =  ( x − 1) ( x + 1)  =-2


 0 
 − ( x − 1)
 − ( x − 1) 

c=1 è un punto di discontinuità di prima specie
x+ 3
; riscriviamo la funzione scomposta e calcoliamo:
x 2 + 6x + 9
 x+ 3
 0 =  1  = 1 = 1 =+∞
+
,
x
>
−
3
→
f
−
3
=
(
)
2
 ( x + 3)
 0  x + 3  − 3+ + 3 0+

f ( x) = 
 − ( x + 3) , x > − 3 → f ( − 3− ) =  0 =  1  = 1 = 1 =-∞
 0  x + 3 − 3− + 3 0−
 ( x + 3) 2
c=-3 è un punto di discontinuità di seconda specie.
ES.2: f ( x ) =
x2 − 4
3- Es.3: f ( x ) = 2
; riscriviamo la f(x) scomposta
x − 5x + 6
x+
 ( x − 2) × ( x + 2)
−
,
x
≤
-2
∪
x
≥
+
2
→
y
−
2
=
Lim
(
)
 ( x − 2) ( x − 3)
x⇒ − 2
x−

f ( x) = 
x+
 − ( x − 2) × ( x + 2) , -2<x<+2
→ y ( − 2+ ) = Lim
x⇒ − 2
 ( x − 2) ( x − 3)
x−
c = − 2 non è un punto di discontinuità della f ( x )
−
+
e calcoliamo:
2 −2+ 2
=
= 0;
3 −2− 3
2 −2+ 2
=
= 0.
3 −2− 3
0
x + 2
2+ 2
 0  =  x + 2 = 2 + 2 = − 4
−
y(+ 2+ ) =   = 
=
=
−
4
;
y
(
+
2
)
=
 0
 x − 3 
2− 3
2− 3
 0
 x − 3 
0
c=+2 è un punto di discontinuità di terza specie perchè f ( 2) =  
 0
i limiti destro e sinistro coincidono nel valore -4
mentre
Funzioni definite a tratti.
Si tratta, come detto, di funzioni che assumono forme
diverse in intervalli del loro dominio differenti e, come
caso particolare, includono le funzioni modulo già viste.
Es.1 : f ( x ) =
 x2

x

2
− 1 , x≤ 2
, x > 2
; D ] − ∞ ,∞ [
calcoliamo i limiti destro e sinistro nel punto c=2:
f ( c− ) = 22 − 1 = 3, f c+ = 2 = 1 → c=2 discontinuità di prima specie
2
( )
 4 − x2 , x ≤ 1
ES.2: f ( x ) =  2
; D= ] − ∞ ,3[ ∪ ] 3, + ∞ [
 2− x , x > 1

calcoliamo i limiti destro e sinistro per c=1 e c=2:
y ( 1− ) = 4 − 12 = 3 , y 1+ = 2 = 2 → c=1 discontinuità di 1A specie
2− 1
2 = 2 = ∞ ; y 2− =
2 = 2 = − ∞ → c=2 d. di 2A sp.
y ( 2− ) =
(
)
−
+
2− 2
0−
0
2 − 2+
( )
Grafico esempio 1
Grafico esempio 2
5 <IS>