CONTINUITA' DI FUNZIONE CONTINUITA' IN UN PUNTO Una funzione si dice continua in un punto “x=c” quando: Lim f ( x ) = f ( c ) x⇒ c In parole questa definizione si traduce nella proprietà per cui il limite della funzione in un dato punto è un numero uguale al valore della funzione stessa nel punto. La continuità presuppone necessariamente l'esistenza di tre condizione per cui, se anche una sola non è rispettata, la funzione si dice discontinua ed il corrispondente valore della “x” si dice punto di discontinuità. Elenchiamo le tre condizioni: 1. f ( c ) = l ≠ ± ∞ il valore della funzione esiste come numero reale; 2. Lim− f ( x ) = Lim− f ( x ) ≠ ± ∞ x→ c x→ c i limiti destro e sinistro sono numeri uguali; 3 Lim− f ( x ) = f ( c ) x→ c il limite è uguale al valore della funzione. CONTINUITA' IN INTERVALLI Quando una funzione ha la proprietà di essere continua in tutti i punti di un certo intervallo o, eventualmente, in tutto il suo dominio di esistenza, si dice che la funzione è continua in tale intervallo oppure che è continua. Dal punto di vista grafico questa proprietà identifica le funzioni continue con i rispettivi grafici che possono essere tracciati senza “rotture” o interruzioni nei loro domini. Ogni volta, invece, che un tracciato grafico si interrompe in un dato punto, in tale punto la funzione è discontinua. DISCONTINUITA' Un punto di discontinuità di una funzione è un dato valore della “x” per il quale almeno una delle tre condizioni della continuità non è rispettata. Abbiamo la seguente classificazione dei punti di discontinuità: 1 - Discontinuità di prima specie: Lim f ( x ) = l , Lim f ( x ) = l ; Lim− f ( x ) ≠ Lim f ( x ) 1 x⇒ c+ 2 x⇒ c x⇒ c− x⇒ c+ i limiti destro e sinistro sono numeri reali diversi. 2 – Discontinuità di seconda specie: Lim− x⇒ c xLim ⇒ c+ f ( x) = ± ∞ f ( x) ≠ ± ∞ Lim− x⇒ c O xLim ⇒ c+ f ( x) ≠ ± ∞ f ( x) = ± ∞ Lim− x⇒ c o xLim ⇒ c+ f ( x) = ± ∞ f ( x) = ± ∞ almeno uno dei limiti destro e sinistro vale infinito. 3- Discontinuità di terza specie (o eliminabile). Lim f ( x ) = l ≠ f ( x ) x⇒ c Il limite esiste come numero finito ma esso è diverso dal valore della funzione che può anche non esistere. In questo caso si conviene di potere eliminare, per così dire, la discontinuità assumendo che il valore della funzione corrisponda a quello del suo limite che, frequentemente, è una forma indeterminata [0/0]. Simboli dei limiti destro e sinistro: Assumeremo da ora la possibilità di scrivere i limiti destro e sinistro, rispettivamente f(c+) e f(c-). Ricerca dei punti di discontinuità: La ricerca dei punti di discontinuità deve avvenire svolgendo i calcoli dei limiti destro e sinistro nei valori della funzione che sono esclusi dal dominio di esistenza (limiti agli estremi interni del dominio) o anche, nei casi di funzioni definite da formule diverse a seconda degli intervalli, nei punti di separazione fra gli intervalli cui la funzione cambia ovvero per le cosiddette “funzioni definite a tratti”. La ricerca del dominio, il calcolo dei limiti destro e sinistro e la loro valutazione è quindi essenziale. Esempi di discontinuità di funzioni. 1 f ( x) = Es. 1: ; 1 −x 1+ 2 1 1 − ) = 1 = 1 =0 f 0+ = = =1 , f 0 ( 1 + 2− ∞ 1 + 0 1 + 2∞ 1 + ∞ c=0 è una discontinuità di prima specie di f ( x ) ( ) x ; 2− x 2 2 2 2 −)= f(2+ ) = = = − ∞ , f(2 = = +∞ − − + + 0 2 − 2 2− 2 0 c = 2 discontinuità di seconda specie. f ( x) = ES. 2: x2 − 4 3- Es.3: f ( x ) = x+ 2 0 f ( − 2) = il valore della funzione non è definito in c=-2 0 ( x − 2) ( x + 2) f − 2+ = f ( − 2− ) = = 4 ; esistono i limiti; x + 2 ( ) c = − 2 discontinuità di terza specie. Funzioni con modulo o valore assoluto. La funzione elementare detta modulo è una funzione continua su tutto R ed è definita così: x , x≥ 0 = ; f 0+ =f 0− =0 −x , x< 0 ( ) f ( x) = x ( ) La funzione rapporto fra il modulo e la x ha invece una discontinua di prima specie nell'origine: x f ( x) = = x x = +1 , x ≥ 0 x −x = −1 , x < 0 x ( ) → f 0+ → f ( 0− ) = − 1 = +1 Le funzioni con modulo hanno la caratteristica di assumere forme diverse in relazione ad intervalli diversi del dominio di esistenza e, in corrispondenza ai valori di separazione, si possono avere vari tipi di discontinuità a seconda dei valori assunti dai limiti destro e sinistro. Vediamo alcuni esempi. Es.1: f ( x ) = x2 − 1 ; riscriviamo la funzione scomposta e calcoliamo: x− 1 x2 − 1 0 = ( x − 1) ( x + 1) = 2 + , x>1 → f 1 = ( ) x− 1 0 x− 1 f ( x) = 2 x − 1 , x<1 → f ( 1− ) = 0 = ( x − 1) ( x + 1) =-2 0 − ( x − 1) − ( x − 1) c=1 è un punto di discontinuità di prima specie x+ 3 ; riscriviamo la funzione scomposta e calcoliamo: x 2 + 6x + 9 x+ 3 0 = 1 = 1 = 1 =+∞ + , x > − 3 → f − 3 = ( ) 2 ( x + 3) 0 x + 3 − 3+ + 3 0+ f ( x) = − ( x + 3) , x > − 3 → f ( − 3− ) = 0 = 1 = 1 = 1 =-∞ 0 x + 3 − 3− + 3 0− ( x + 3) 2 c=-3 è un punto di discontinuità di seconda specie. ES.2: f ( x ) = x2 − 4 3- Es.3: f ( x ) = 2 ; riscriviamo la f(x) scomposta x − 5x + 6 x+ ( x − 2) × ( x + 2) − , x ≤ -2 ∪ x ≥ + 2 → y − 2 = Lim ( ) ( x − 2) ( x − 3) x⇒ − 2 x− f ( x) = x+ − ( x − 2) × ( x + 2) , -2<x<+2 → y ( − 2+ ) = Lim x⇒ − 2 ( x − 2) ( x − 3) x− c = − 2 non è un punto di discontinuità della f ( x ) − + e calcoliamo: 2 −2+ 2 = = 0; 3 −2− 3 2 −2+ 2 = = 0. 3 −2− 3 0 x + 2 2+ 2 0 = x + 2 = 2 + 2 = − 4 − y(+ 2+ ) = = = = − 4 ; y ( + 2 ) = 0 x − 3 2− 3 2− 3 0 x − 3 0 c=+2 è un punto di discontinuità di terza specie perchè f ( 2) = 0 i limiti destro e sinistro coincidono nel valore -4 mentre Funzioni definite a tratti. Si tratta, come detto, di funzioni che assumono forme diverse in intervalli del loro dominio differenti e, come caso particolare, includono le funzioni modulo già viste. Es.1 : f ( x ) = x2 x 2 − 1 , x≤ 2 , x > 2 ; D ] − ∞ ,∞ [ calcoliamo i limiti destro e sinistro nel punto c=2: f ( c− ) = 22 − 1 = 3, f c+ = 2 = 1 → c=2 discontinuità di prima specie 2 ( ) 4 − x2 , x ≤ 1 ES.2: f ( x ) = 2 ; D= ] − ∞ ,3[ ∪ ] 3, + ∞ [ 2− x , x > 1 calcoliamo i limiti destro e sinistro per c=1 e c=2: y ( 1− ) = 4 − 12 = 3 , y 1+ = 2 = 2 → c=1 discontinuità di 1A specie 2− 1 2 = 2 = ∞ ; y 2− = 2 = 2 = − ∞ → c=2 d. di 2A sp. y ( 2− ) = ( ) − + 2− 2 0− 0 2 − 2+ ( ) Grafico esempio 1 Grafico esempio 2 5 <IS>