Funzioni continue

Funzioni continue
Partiamo dalla seguente definizione abbastanza intuitiva visto quando detto in precedenza.
Definizione: data una funzione f : R → R essa ha limite in x0 se
lim f ( x ) = l = lim+ f ( x )
x→ x0−
x → x0
Cioè se il limite destro e il limite sinistro sono uguali e limitati.
Passiamo ora a studiare la continuità delle funzioni.
Intuitivamente e quindi non rigorosamente “una funzione si dice continua se per tracciare il grafico
non si stacca mai la penna da foglio”.
Tale proposizione esprime il concetto ma non è rigorosa dal punto di vista del linguaggio, infatti:
Definizione: data una funzione f : R → R essa è continua in un punto x0 se
lim f ( x ) = f ( x0 ) = lim+ f ( x )
x→ x0−
x→ x0
Cioè se il limite destro e il limite sinistro sono uguali al valore limitato che la funzione assume
proprio nel punto x0 .
Osservazione
La definizione appena enunciata ha carattere locale, cioè essa è valida per un intorno del punto x0
che si considera, pertanto tale definizione non dice nulla riguardo la continuità in generale della
funzione considerata.
Più in generale diremo che un a funzione è continua se è continua in ogni suo punto.
Discontinuità di una funzione
La studio della continuità di una funzione è legato allo studio della propria discontinuità, infatti se
consideriamo una funzione qualsiasi, possiamo individuare grazie al campo di esistenza i punti
critici, quei punti per i quali essa presenta dei problemi e potremo dedurre che, data una funzione, il
dominio individua le criticità, cioè gli elementi in cui è possibile trovare una discontinuità, per gli
altri punti invece la funzione non presenta problemi e quindi e continua.
Fondamentalmente calcolare il campo di esistenza mi permette di individuare i punti in cui è
possibile che la funzione presenti discontinuità, mentre per gli altri punti esso mi assicura che tale
problema non sussiste, garantendo la continuità.
Discontinuità di prima specie
Definizione: data una funzione f : R → R essa presenta in un punto x0 una discontinuità di prima
specie se
lim f ( x ) = l1 ≠ l2 = lim+ f ( x )
x→ x0−
x→ x0
Cioè se i limiti destro e sinistro esistono finiti ma sono diversi tra loro.
Esempio
Consideriamo la funzione f ( x ) =
x
, il cui grafico è rappresentato da:
x
Verifichiamo la discontinuità.
Studiando il dominio della funzione si determiana che 0 è un punto critico per il campo di esistenza,
pertanto studiamo il limite destro e sinistro per tale valore.
lim
x→0 −
x
x
= lim−
= −1 (infatti 0 − è una quantità negativa pertanto 0 − = −0 − , quindi in questo caso
x
→
0
x
−x
x → 0− ⇒ x = − x )
lim+
x→0
x
x
= lim+ = 1 (infatti 0 + è una quantità positiva pertanto 0 + = 0 + , quindi in questo caso
x x →0 x
x → 0+ ⇒ x = x )
Quindi limite destro e limite sinistro esistono finiti ma assumono valori diversi, pertanto possiamo
concludere che x = 0 è un punto di discontinuità di prima specie.
Discontinuità di seconda specie
Definizione: data una funzione f : R → R essa presenta in un punto x0 una discontinuità di
seconda specie se almeno uno dei due non esiste o non sia finito cioè
lim f ( x ) = ∞ oppure lim− f ( x ) = ∞
x→ x0−
x→ x0
Cioè se almeno uno dei limiti destro e sinistro non è finito oppure non esiste.
Esempio
Consideriamo la funzione f ( x ) = tan x il cui grafico è rappresentato da:
Verifichiamo la discontinuità.
Il dominio della funzione si richiede che x ≠
π
2
. Studiamo il limite destro e sinistro per tale valore.
lim− tan x = +∞
lim+ tan x = −∞
x→
x→
π
2
π
2
Limite destro e limite sinistro sono infiniti pertanto possiamo concludere che x =
π
2
è un punto di
discontinuità di seconda specie.
Discontinuità di terza specie
Definizione: data una funzione f : R → R essa presenta in un punto x0 una discontinuità di terza
specie o eliminabile se
lim f ( x ) = l = lim+ f ( x )
x→ x0−
x → x0
e accade che f non è definita in x0 oppure f ( x0 ) ≠ l .
E’ possibile eliminare tale discontinuità assegnando alla funzione nel punto x0 il valore l del limite
come segue:
 f ( x ) x ≠ x0
f (x ) = 
l x = x0
x3 + 8
il cui grafico è rappresentato da:
Consideriamo la funzione f ( x ) =
x+2
Verifichiamo la discontinuità.
Il dominio della funzione si richiede che x ≠ −2 . Studiamo il limite destro e sinistro per tale valore.
(
)
(
(
)
(
lim−
(x + 2) x 2 − 2 x + 8 = lim x 2 − 2 x + 8 = 16
x3 + 8 0
= = lim−
x → −2 −
x + 2 0 x → −2
x+2
lim+
(x + 2) x 2 − 2 x + 8 = lim x 2 − 2 x + 8 = 16
x3 + 8 0
= = lim+
x→−2 +
x + 2 0 x→−2
x+2
x → −2
x → −2
)
)
Limite destro e limite sinistro sono uguali pertanto x = −2 è un punto di discontinuità di terza
specie.
Possiamo allora prolungare la continuità della funzione nel punto x = −2 (oppure possiamo
eliminare la discontinuità nel punto x = −2 ) ponendo:
 x3 + 8
x ≠ −2

f (x ) =  x + 2
16 x = −2

Osservazione
Per alcune funzioni il dominio può richiedere l’esclusione di intervalli di valori per la variabile (e
non singoli valori per l’incognita).
Esempio
f (x ) = 4 − x
C.E. 4 − x ≥ 0 x ≤ 4
Come si può osservare per tale funzione non ha senso parlare di limite destro per x = 4 , infatti tali
valori non sono compresi nel dominio, pertanto non si può calcolare il limite destro x → 4 + per
f (x ) = 4 − x .
Ecco quindi che per alcune funzioni si può considerare la continuità a destra e a sinistra.
Definizione: data una funzione f : R → R essa è continua a destra in un punto x0 se
lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x→ x0+
Definizione: data una funzione f : R → R essa è continua a sinistra in un punto x0 se
lim f ( x ) = f ( x0 ) .
x→ x0−