2008 - TUTORIAL di P. Barberis
Intuitivamente:
f(xo)
una funzione è
xo
CONTINUA IN x0
quando non stacco
“la penna dal foglio”
f(xo)
xo
Se invece
faccio un “salto” in corrispondenza ad xo
C’è DISCONTINUITA’
l2
l1
xo
Limite sinistro l1
xo
x0 non appartiene al Dominio
Limite sinistro -
Limite destro l2
Limite destro +
ordinata f(x0)=l1
l = f(x0)
xo
Quindi una funzione
é continua in x0
se soddisfa
tre condizioni :
1- x0 deve appartenere al DOMINIO
e quindi esiste l’ordinata f(xo)
2 - esiste il limite l per x che tende d x0 di f(x)
cioè il limite sinistro = al limite destro
3 - il valore l del limite è uguale all’ordinata f(xo)
Definizione: Una funzione si dice
CONTINUA in un punto P di ascissa x0 se
il limite coincide con la sua ordinata
lim f ( x) = f ( x )
0
x → x0
x0
2 - esiste il limite l
per x che tende
ad x0 di f(x)
se
se
3 -Sono
uguali
1 - x0 appartiene
al Dominio ed
esiste f(x0)
lim f ( x) = f ( x ) f(x) è continua in x0 a destra
lim f ( x) = f ( x ) f(x) è continua in x0 a sinistra
x → x0 +
x → x0 −
0
0
Funzioni continue in un intervallo
Una funzione è continua in un intervallo quando e'
continua in ogni punto dell'intervallo
Le FUNZIONI MATEMATICHE sono continue in ogni
punto interno al loro DOMINIO. Ecco alcuni esempi:
y=x
Funz identità, razionale intera :
continua per ogni x appartenente ai numeri Reali:
x −3
y=
x −5
Funz omografica, raz intera: continua per ogni x
y = x−7
y = 2− x
Funz Irrazionale intera: continua per x
( in x=7 c’è continuità a destra )
Funz Irrazionale intera: continua per x
( in x=2 c’è continuità a sinistra )
7:
2:
∀x ∈ R
5
[+7,+ [
]-
,+2]
Data una funzione e trovato il suo dominio si pone il
seguente problema:
Trovare i punti di discontinuità e indicarne la tipologia
A- Trovo i punti di discontinuita’
- calcolando il Dominio : le ascisse x0 escluse
sono punti di discontinuità .
( inoltre c’è discontinuità nelle eventuali ascisse nelle quali cambia una
funzione definita per intervalli - vedi esercizio 2)
B- Studio il tipo di discontinuita’ ,
calcolando i limiti sinistro e destro per x che tende a x0
lim
f ( x)
lim
f ( x)
x→ x0−
x→ x0+
CI SONO
TRE CASI
Discontinuità di I^ SPECIE a “salto”
se i limiti sinistro l1 e destro l2 sono:
- finiti (cioè numeri )
- e diversi
lim f ( x) = l
x→ x 0
+
2
lim f ( x) = l
x→ x 0−
1
Limite destro
Limite sinistro
x0
Discontinuità di II^ SPECIE
se almeno uno dei due limiti sinistro e destro
o è infinito
o non esiste
Limite destro
lim f ( x) = +∞
x → x0 +
Limite sinistro
lim f ( x) = −∞
x → x0 −
x0
Discont. di TERZA SPECIE (o eliminabile)
SE i limiti sinistro e destro coincidono
MA la funzione in x0
a) non esiste oppure b) esiste ma è diversa dal limite
Ordinata f(x0)
Limite l
Limite l
x0
x0
E'comunque possibile eliminare tale discontinuita'
definendo l’ordinata di x0 uguale al limite l
ordinata f(x0) = limite l
1
O
I
Z
I
C
ESER
Determina il tipo di discontinuità in x0
analizzando il grafico
1
O
I
Z
I
C
ESER
Risposte: tipo di discontinuità in x0
I specie: limiti finiti
III specie:stesso limite
II specie: limite
I specie:limiti finiti
R
E
S
E
2
O
I
CIZ
Studia i punti di discontinuità
x + 3, x < 0
y=
x + 1, x ≥ 0
Dominio: R
funzione definita per intervalli
x=0 appartiene al Dominio
ordinalta f(0)=0+1=1
ma poiché la funzione cambia
può esserci una Discontinuità a “salto”!
Verifico, calcolando i limiti sinistro e destro per x che tende a 0
lim x + 3 = 0 + 3 = 3
x→0−
lim x + 1 = 0 + 1 = 1
x→ 0+
I limiti sono
FINITI e DIVERSI:
c’è quindi un “salto”
ed è discontinuità di
PRIMA specie!
3
O
I
IZ
C
ER
S
E
Studia i punti di discontinuità
x −3
y=
x −5
D: x 5
Nel punto x=5 c’è quindi
una discontinuità!
Di che tipo?
Calcolo i limiti sinistro e destro per x che tende a 5.
x−3 2
= − = −∞
lim
0
x →5 − x − 5
x−3 2
= + = +∞
lim
0
x →5 + x − 5
Poiché almeno uno dei due è
infinito ( qui entrambi lo
sono!) concludo affermando
che c’è discontinuità di
seconda specie!
E
S
E
O
I
IZ
C
R
4
Dominio
D: x 2
Studia i punti di
discontinuità
x 2 − 3x + 2
y=
x−2
Nel punto x=2 c’è quindi una
discontinuità!
Di che tipo?
Calcolo i limiti sinistro e destro per x che tende a 2
x 2 − 3x + 2 0
( x − 2)( x − 1)
=
→
= lim x − 1 → 2 − 1 = 1
lim
lim
x−2
0
x−2
x →2 −
x →2 −
x →2 −
x 2 − 3x + 2 0
( x − 2)( x − 1)
= → lim
= lim x − 1 → 2 − 1 = 1
lim
+
+
x−2
0
x−2
x →2
x →2
x →2 +
Poiché i limiti coincidono concludo affermando che c’è
discontinuità di terza specie!
