La geometria della riga e compasso: Primo
incontro
Progetto “Lauree Scientifiche” A.S. 2010/2011
Università degli Studi di Firenze
23/11/2010
Quando si devono rappresentare disegni geometrici, è importante
stabilire quali strumenti utilizzare. Tutto ciò non deve trarre in
inganno: in matematica gli strumenti non servono soltanto a
disegnare . . .
Una scelta attribuita a Platone
”Sono state date varie spiegazioni circa la restrizione di usare nelle
costruzioni soltanto riga e compasso. La linea retta e la
circonferenza erano, secondo i Greci, figure fondamentali e la riga e
il compasso sono i loro analoghi fisici . . . ”
Una scelta attribuita a Platone
”Sono state date varie spiegazioni circa la restrizione di usare nelle
costruzioni soltanto riga e compasso. La linea retta e la
circonferenza erano, secondo i Greci, figure fondamentali e la riga e
il compasso sono i loro analoghi fisici . . . ”
”È stata anche avanzata come spiegazione l’ipotesi che Platone si
sia opposto all’uso di altri strumenti meccanici perché essi avevano
attinenza più con il mondo dei sensi che con quello delle idee”(M.
Kline, 1991).
ripresa da Aristotele . . .
”Dato che le dimostrazioni sono universali, e che gli oggetti
universali non possono venir percepiti, è evidente che non sarà
possibile una conoscenza dimostrativa attraverso la sensazione. La
sensazione si rivolge infatti necessariamente all’oggetto singolo,
mentre la scienza consiste nel render noto l’oggetto universale”
(Aristotele).
Gli ”Elementi” di Euclide
Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano nella
forma costruttiva. La 1a proposizione degli Elementi di Euclide ci
presenta subito un problema costruttivo.
Gli ”Elementi” di Euclide
Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano nella
forma costruttiva. La 1a proposizione degli Elementi di Euclide ci
presenta subito un problema costruttivo.
”Sopra un segmento costruire un triangolo equilatero”
Gli ”Elementi” di Euclide
Per i matematici greci i problemi geometrici si presentavano nella
forma costruttiva. La 1a proposizione degli Elementi di Euclide ci
presenta subito un problema costruttivo.
”Sopra un segmento costruire un triangolo equilatero”
Ogni costruzione con riga e compasso equivale a una dimostrazione
dell’esistenza dell’oggetto costruito a partire dai postulati di
Euclide.
I postulati di Euclide
I primi 3 postulati degli “Elementi” di Euclide stabiliscono
l’esistenza della riga non graduata e del compasso e dettano le
regole con cui si possono usare.
I postulati di Euclide
I primi 3 postulati degli “Elementi” di Euclide stabiliscono
l’esistenza della riga non graduata e del compasso e dettano le
regole con cui si possono usare.
1
Per due punti distinti qualsiasi è possibile tracciare una ed una
sola retta.
I postulati di Euclide
I primi 3 postulati degli “Elementi” di Euclide stabiliscono
l’esistenza della riga non graduata e del compasso e dettano le
regole con cui si possono usare.
1
Per due punti distinti qualsiasi è possibile tracciare una ed una
sola retta.
2
Si può prolungare un segmento indefinitamente.
I postulati di Euclide
I primi 3 postulati degli “Elementi” di Euclide stabiliscono
l’esistenza della riga non graduata e del compasso e dettano le
regole con cui si possono usare.
1
Per due punti distinti qualsiasi è possibile tracciare una ed una
sola retta.
2
Si può prolungare un segmento indefinitamente.
3
Dato un punto e una lunghezza, è possibile tracciare un
cerchio che ha per centro quel punto e per raggio quella
lunghezza.
I postulati di Euclide
I primi 3 postulati degli “Elementi” di Euclide stabiliscono
l’esistenza della riga non graduata e del compasso e dettano le
regole con cui si possono usare.
1
Per due punti distinti qualsiasi è possibile tracciare una ed una
sola retta.
2
Si può prolungare un segmento indefinitamente.
3
Dato un punto e una lunghezza, è possibile tracciare un
cerchio che ha per centro quel punto e per raggio quella
lunghezza.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali.
I postulati di Euclide
I primi 3 postulati degli “Elementi” di Euclide stabiliscono
l’esistenza della riga non graduata e del compasso e dettano le
regole con cui si possono usare.
1
Per due punti distinti qualsiasi è possibile tracciare una ed una
sola retta.
2
Si può prolungare un segmento indefinitamente.
3
Dato un punto e una lunghezza, è possibile tracciare un
cerchio che ha per centro quel punto e per raggio quella
lunghezza.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali.
5
Data una retta ed un punto esterno ad essa, è possibile
tracciare per quel punto una ed una sola parallela alla retta
data.
I postulati di Euclide
I primi 3 postulati degli “Elementi” di Euclide stabiliscono
l’esistenza della riga non graduata e del compasso e dettano le
regole con cui si possono usare.
1
Per due punti distinti qualsiasi è possibile tracciare una ed una
sola retta.
2
Si può prolungare un segmento indefinitamente.
3
Dato un punto e una lunghezza, è possibile tracciare un
cerchio che ha per centro quel punto e per raggio quella
lunghezza.
4
Tutti gli angoli retti sono uguali.
5
Data una retta ed un punto esterno ad essa, è possibile
tracciare per quel punto una ed una sola parallela alla retta
data.
LE REGOLE DEL GIOCO
Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare
rette, semirette, segmenti e circonferenze servendosi
esclusivamente di una riga e di un compasso ideali.
LE REGOLE DEL GIOCO
Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare
rette, semirette, segmenti e circonferenze servendosi
esclusivamente di una riga e di un compasso ideali.
La riga ideale permette di tracciare la retta passante per due
qualunque punti distinti assegnati
LE REGOLE DEL GIOCO
Eseguire una costruzione con riga e compasso significa tracciare
rette, semirette, segmenti e circonferenze servendosi
esclusivamente di una riga e di un compasso ideali.
La riga ideale permette di tracciare la retta passante per due
qualunque punti distinti assegnati
Il compasso ideale (compasso ”euclideo”) permette di
tracciare la circonferenza con centro assegnato e passante per
un punto assegnato. Non è difficile dimostrare (basta saper
tracciare la parallela ad una retta per un dato punto) che
tutto ciò che è costruibile con riga e compasso ideale è
costruibile con riga e compasso ”moderno” (si può tracciare la
circonferenza con centro assegnato e con raggio assegnato). e
viceversa.
Problema costruibile con riga e compasso
Un problema si dice risolubile con riga e compasso quando può
essere ricondotto ad una sequenza finita di operazioni scelte tra le
(I-V), cio:
1
dati due punti, costruire la retta passante per essi;
2
dato un punto ed un segmento, trovare la circonferenza che
ha quel punto come centro e quel segmento come raggio;
3
date due rette, trovarne (se esiste) il punto comune;
4
date una retta ed una circonferenza, trovarne (se esistono) i
punti comuni;
5
date due circonferenze, trovarne (se esistono) i punti comuni.
Il passaggio dalla Geometria all’Algebra
Le estensioni algebriche
Ci riferiamo a un sistema cartesiano rispetto a cui è dato un
segmento (ad esempio unitario).
Il passaggio dalla Geometria all’Algebra
Le estensioni algebriche
Ci riferiamo a un sistema cartesiano rispetto a cui è dato un
segmento (ad esempio unitario).
Consideriamo le coordinate degli elementi costruibili, a partire
da esso, con riga e compasso; mediante addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione otteniamo tutti i numeri
del campo Q: tutti i punti con coordinate razionali.
Il passaggio dalla Geometria all’Algebra
Le estensioni algebriche
Ci riferiamo a un sistema cartesiano rispetto a cui è dato un
segmento (ad esempio unitario).
Consideriamo le coordinate degli elementi costruibili, a partire
da esso, con riga e compasso; mediante addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione otteniamo tutti i numeri
del campo Q: tutti i punti con coordinate razionali.
Mediante lestrazione di radice quadrata,
possiamo costruire
√
anche altri punti: ad esempio, 2
Il passaggio dalla Geometria all’Algebra
Le estensioni algebriche
Ci riferiamo a un sistema cartesiano rispetto a cui è dato un
segmento (ad esempio unitario).
Consideriamo le coordinate degli elementi costruibili, a partire
da esso, con riga e compasso; mediante addizione,
sottrazione, moltiplicazione, divisione otteniamo tutti i numeri
del campo Q: tutti i punti con coordinate razionali.
Mediante lestrazione di radice quadrata,
possiamo costruire
√
anche altri punti: ad esempio, 2
Ricorrendo ancora alle
√ operazioni razionali, costruiamo quindi
tutti i numeri p + q 2 (p, q ∈ Q) ottenendo un campo
esteso, pi vasto di Q.
Somma e differenza di numeri
Prodotto di numeri
Per la similtudine dei triangoli DAE e BAC , si ha che AE = ab
Rapporto di numeri
Per la similitudine dei triangoli EAD e CAB, si ha che AE = a/b
Radice quadrata di 2
