Costruzioni con riga e compasso
Elena Barozzi
ITGS ‘Pascal’ Reggio Emilia
Classe 1I
Classe prima di scuola secondaria di secondo grado (liceo delle scienze applicate).
Tipo di macchine utilizzato
Riga e Compasso
Altro materiale
Fogli bianchi, laboratorio d’informatica con installato GeoGebra
Durata
Dal 28/4/2012 al 24/5/2012 per un totale di 8 ore.
Presentazione
L’esperienza si è svolta in una prima liceo scientifico in una classe di 27 studenti, nel
secondo quadrimestre dell’A.S. 2011/2012. Ho scelto di riprendere alcune
costruzioni geometriche già note agli alunni (perché già affrontate alla scuola media o
nelle ore di disegno), per vedere come possono essere giustificate con una
dimostrazione di geometria euclidea.
In questo modo ho cercato di creare un collegamento tra quanto viene fatto in
matematica e una disciplina apparentemente molto diversa quale disegno e storia
dell’arte. Tutto questo aveva lo scopo di legare una parte della matematica molto
astratta, quali le dimostrazioni dei teoremi, con un’attività laboratoriale ed
estremamente concreta. Volevo far vedere che se le costruzioni che loro
acriticamente hanno sempre accettato ‘funzionano’ c’è una motivazione teorica
dimostrabile.
Gli alunni hanno riprodotto tutte le costruzioni fatte con riga e compasso con un
software di geometria dinamica: GeoGebra.
Obiettivi
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Familiarizzare gli alunni con l’uso di GeoGebra;
Rivedere le principali costruzioni geometriche note e, dimostrando le
proprietà delle figure geometriche che si vengono a formare, dare una
giustificazione teorica del loro funzionamento;
Trovare un ambito non strettamente matematico in cui le dimostrazioni della
PARTE I -
geometria sintetica trovano applicazione;
Pre-requisiti
Criteri di congruenza dei triangoli, proprietà del triangolo isoscele, definizione di
circonferenza.
Metodologia
La metodologia è stata principalmente laboratoriale. Inizialmente l’insegnante ha
spiegato agli alunni quali erano le consegne, poi la classe divisa a gruppi ha svolto
varie attività che di volta in volta sono state consegnate all’insegnante e condivise col
resto della classe.
Descrizione dell’attività
Inizialmente ho fatto una breve introduzione sul funzionamento di GeoGebra e ho
spiegato alla classe le finalità del progetto.
Successivamente la classe è stata divisa in gruppi ed è guidata nel lavoro dai protocolli
da predisposti dall’insegnante.
Scheda1 (costruzione del punto medio di un segmento AB): a questa scheda è stato
dedicato più tempo che alle altre perché, essendo la prima, gli alunni dovevano anche
apprendere un metodo di lavoro. Un’ora è stata dedicata alla costruzione dell’asse di
un segmento sia con riga e compasso che con GeoGebra. Quasi tutti i gruppi per la
costruzione con riga e compasso hanno costruito due archi (uno centrato in A e uno
in B) di ampiezza a piacere superiore alla metà del segmento. Quando, però, hanno
trasportato la costruzione in GeoGebra si sono accorti che muovendo la figura in
alcuni casi i due cerchi non si incontravano più e quindi hanno costruito con centro
in A e B due circonferenze di raggio AB. Sono stati invitati a riflettere sul perché
fosse accaduta questa cosa e generalmente è uscita la disuguaglianza triangolare.
Nella lezione successiva gli alunni hanno dovuto giustificare perché la costruzione del
punto medio ‘funziona’. Questa parte è stata quella che ha creato maggiori difficoltà.
Io non ho dato alcun suggerimento se non quello di tracciare i raggi delle
circonfereze che potevano essere utili per la dimostrazione. Alcuni gruppi hanno
faticato a distinguere quello che poteva essere considerato come noto, grazie alle
proprietà del compasso e alla costruzione e quello che invece doveva essere
dimostrato. Per alcuni varie proprietà della figura erano ovvie ed evidenti e non
necessitavano dimostrazione. Alla fine, però, tutti i gruppi tranne uno sono riusciti a
portare a termine una dimostrazione corretta. In particolare non era chiaro l’uso del
compasso per il trasporto di segmenti congruenti.
Negli incontri successivi le difficoltà nel dimostrare e nel distinguere quello che
poteva essere considerato ipotesi da quello che invece doveva essere dimostrato si
sono via via attenuate. Questi incontri non hanno evidenziato particolari difficoltà.
Nell’ultimo incontro ogni gruppo ha prodotto costruzioni diverse rispetto a quelle da
me proposte, qui c’è stata un’ampia varietà di costruzioni, alcune riguardavano
quadrati, rombi, rettangoli, argomenti che ancora non avevo affrontato e che sono
stati poi molto utili per introdurre i quadrilateri.
Infine tutti i gruppi hanno dovuto presentare i vari lavori svolti in un file word o
power point. Alcuni hanno messo assieme il lavoro in un corpo organico, altri hanno
tenuto i lavori slegati, ma ogni gruppo ha prodotto i materiali richiesti entro i tempi
previsti o con ritardi, ma lievi.
Successi, difficoltà, situazioni inattese
All’inizio gli alunni hanno avuto delle difficoltà perché tendevano a dare per scontate
proprietà che invece dovevano essere dimostrate. Inoltre, io ritenevo che tutti
conoscessero il compasso e i vari usi che se ne possono fare, invece è opportuno fare
una lezione introduttiva sul compasso come strumento.
Dopo queste difficoltà iniziali il lavoro è proceduto speditamente e ho rilevato un
notevole miglioramento nelle capacità di argomentare e di riconoscere le proprietà
delle figure da parte degli studenti.
Quest’anno ho notato che gli alunni sono in generale più sciolti nelle dimostrazioni.
In particolare ha funzionato bene assegnare un ruolo ad ogni alunno all’interno del
gruppo perché ha fatto sì che tutti lavorassero e che ci fosse un responsabile per ogni
compito assegnato.
Considerazioni e riflessioni conclusive dell’insegnante
Questo lavoro in termini di tempo è stato abbastanza dispendioso, si è fatto in 8 ore
quello che con lezioni frontali poteva essere fatto in metà tempo, forse meno. Il
lavoro di preparazione e di gestione è stato notevole, perché si sono dovute preparare
le schede, il lavoro svolto in classe è stato di volta in volta corretto e anche gli
elaborati finali sono stati controllati. La metodologia laboratoriale porta in alcuni
momenti la sensazione di perdere il controllo sui processi che avvengono all’interno
della classe.
Nonostante tutto questo io penso che questa esperienza sia stata molto positiva
perchè gli studenti hanno avuto modo di cambiare le loro conoscenze ‘profonde’, i
loro metodi di lavoro in un modo che rispetta i tempi di ciascuno ed è quindi molto
più efficace della lezione frontale. Il tempo ‘perso’ per portare a termine il progetto è
stato ampiamente guadagnato successivamente perché gli alunni avevano appreso i
concetti fondamentali e acquisito un buon metodo di lavoro, questo ha portato a
snellire il lavoro successivo.
Penso inoltre che la sensazione di ‘perdita di controllo’ sia solo apparente perché
questa attività ha permesso agli studenti di essere protagonisti in prima persona del
proprio apprendimento e di sedimentare in profondità i concetti trattati
PARTE I -
