Progetto lauree scientifiche
Unità 1
Riga e compasso
A cura di Maurizio Dini e Paola Gario
Dipartimento di Matematica
“F. Enriques”
Università degli Studi di Milano
Il più famoso libro di matematica di
tutti i tempi !!!
• gli “Elementi” di
Euclide, scritti
verso il 300 a.C.,
• sono il modello del
modo di ragionare
in matematica.
“Caro re, anche tu come tutti, dovrai
seguire questa strada.
Non esistono vie regie in geometria! “
fu la risposta di
Euclide al re
Tolomeo, che
pretendeva un
modo più veloce
per imparare la
geometria
• Nella geometria di Euclide gli oggetti
geometrici, esclusi quelli primitivi, devono
essere costruiti seguendo precise regole.
• I postulati danno le regole del gioco!
Postulato I di Euclide
Che si possa condurre una linea retta da un
qualsiasi punto ad ogni altro punto.
.
.
Postulato II di Euclide
• E che una retta terminata si possa prolungare
continuamente in linea retta.
Postulato III di Euclide
• E che si possa descrivere un cerchio con
qualsiasi centro ed ogni raggio.
I Postulati di Euclide definiscono gli strumenti con
i quali possiamo fare le costruzioni geometriche.
• Diciamo che utilizziamo la riga quando
applichiamo i Postulati I e II di Euclide: mediante
la riga uniamo due punti e prolunghiamo i
segmenti.
• Diciamo che usiamo il compasso quando
applichiamo il Postulato III di Euclide: mediante il
compasso possiamo tracciare le circonferenze.
• In geometria non ha dunque molta
importanza la precisione del
disegno.
• Può essere fatto anche a mano
libera.
• È invece importante fare solo ciò
che le regole del nostro gioco
permettono!
• Così facendo, il nostro disegno,
anche se eseguito da mano
imprecisa, rappresenta una figura
esatta.
Osserva la costruzione fatta a partire dal
segmento AB che è qui riportata.
A
B
Qual è l’oggetto geometrico costruito?
Per costruire il triangolo equilatero
abbiamo ammesso che esista il punto C
comune alle due circonferenze disegnate.
C
A
B
D’ora in avanti ammetteremo sempre che:
• se i punti di un arco di circonferenza si
trovano sia all’esterno che all’interno di una
circonferenza data, allora tale arco ha un
punto che appartiene alla circonferenza
data.
• Analogamente, se i punti di un segmento si
trovano sia all’esterno che all’interno di una
circonferenza data, allora tale segmento ha
un punto che appartiene alla circonferenza
data.
Abbiamo così aggiunto una ulteriore
C
regola al nostro gioco, cioè un nuovo
postulato cui diamo il nome di
A
Postulato dell’intersezione
B
Riassumendo:
le costruzioni geometriche con riga e
compasso si basano sulle seguenti
regole:
• Postulati I, II, III di Euclide (Postulati
della riga e del compasso)
• Postulato dell’intersezione
SCHEDE DI LAVORO
Ed ora … giochiamo!!!
Il segmento AB appartiene alla retta r. Con il
compasso possiamo “staccare” sulla retta tanti
segmenti congruenti al segmento AB, tanti quanti
ne vogliamo…
r
A
A
B5
B
B1
B6
B2
Il segmento AB è congruente a ciascuno dei
segmenti BB1, B1B2, ….
Diciamo che abbiamo trasportato il
segmento AB lungo la retta r cui appartiene
Problema:
Dato un segmento AB e un punto C,
costruire un segmento avente un estremo
nel punto C e che sia congruente al
segmento AB.
B
A
C
Ricordiamoci che possiamo “giocare”
solo con le regole stabilite!
Il segmento CF
è congruente al
segmento AB.
D
B
C
A
E
F
L’asse di un segmento AB
La costruzione fatta per il triangolo
equilatero a partire dal segmento AB può
essere utilizzata per costruire l’asse del
segmento AB.
L’asse del segmento AB
C
B
A
C'
CC’ è l’asse del segmento AB.
Con la stessa costruzione si ottiene
il punto medio del segmento AB:
C
A
M
C'
B
E per costruire la bisettrice di un
angolo?
A
a
V
B
b
E per costruire la bisettrice di un
angolo?
A
V
a
C
B
b
VC è la bisettrice dell’angolo aVb
e con qualche accorgimento in più
si ottiene anche la parallela per P:
Chi garantisce che con
un’altra costruzione si
ottenga la medesima retta
parallela?
P
H
Nessuno! Infatti Euclide deve introdurre il postulato
sull’unicità delle parallele.
Trova il centro del dipinto
Trova il centro del dipinto
B
A
C
L’asse di una corda passa per il centro!
Trova il centro del dipinto
Y
R=(-4;3)
Q=(0;3)
P=(3;0)
X
C=(-2;-2)
Postulati di Euclide
I. Risulti postulato: che si possa condurre una linea retta
da un qualsiasi punto ad ogni altro punto.
II. E che una retta terminata (= segmento) si possa
prolungare continuamente in linea retta.
III.E che si possa descrivere un cerchio con qualsiasi centro
ed ogni distanza (= raggio).
IV. E che tutti gli angoli retti siano uguali fra loro.
V. E che, se una retta venendo a cadere su due rette forma
gli angoli interni e dalla stessa parte minori di due retti
(= tali che la loro somma sia minore di due retti), le due
rette prolungate illimitatamente verranno ad incontrarsi
da quella parte in cui sono gli angoli minori di due retti
(= la cui somma è minore di due retti).
Son giuste queste coordinate?
La circonferenza è tangente agli assi.
Le coordinate proposte come centro non
giacciono su una delle bisettrici degli
assi.
Dov’è l’inganno?
Si propone una risoluzione errata. Agli
studenti trovare l’errore.
Ad esempio:
“Tutti i triangoli sono isosceli”
Trova l’intersezione
Non chiari gli appunti.
Trovare il punto di intersezione sul piano
a coordinate razionali.
(forse l’esercizio incluso negli
approfondimenti esclusi sul postulato
dell’intersezione?)
