Prova4 - Dip. di Matematica Roma Tre

MATEMATICHE COMPLEMENTARI 5- APPELLO DEL 26/ 06/ 2008
Non è consentito l’utilizzo di libri o appunti. Il tempo a disposizione è di due ore.
Rispondere nello spazio assegnato alle seguenti domande:
Che cosa è una costruzione con riga e compasso? Che cosa è una costruzione con compasso e
riga marcata? Si bisechi con riga e compasso un angolo dato.
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Dato un segmento di lato 1, si diano condizioni necessarie e
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1. Cosa sono i numeri costruibili? Verificare che tutti i numeri razionali sono costruibili e dare
una caratterizzazione del campo dei numeri costruibili.
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2. Si definisca la successione di Fibonacci {fn} e si enuncino la formula di Euler-Binet e il
teorema di Keplero.
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3. Si descriva la forma geometrica dell’algoritmo di Euclide per la determinazione del
Massimo Comun Denominatore tra due numeri naturali a e b (Suggerimento: si scomponga
in quadrati il rettangolo di lati a e b; si continui con il rettangol
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4. Si sviluppi in frazione continua (in due modi diversi) il numero 157/30.
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5. In quanti modi è possibile rappresentare in frazione continua un numero razionale? In quanti
modi è possibile sviluppare in frazione continua un numero irrazionale? Cosa si intende per
frazione continua periodica? Come sono fatti i numeri reali il cui sviluppo in frazione
continua è periodico?
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6. Si enunci il problema della quadratura del cerchio e si giustifichi l’impossibilità di una sua
soluzione che utilizzi solo riga e compasso. Si descriva il lavoro di Ippocrate di Chio sulla
quadratura delle lunule.
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7. Si definisca una Terna Pitagorica primitiva e si descrivano tutte le terne Pitagoriche
Primitive.
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8. Si calcoli l’invariante di Dehn di un cubo di spigolo a.
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