2^prova

Liceo Scientifico Statale "Albert Einstein"
Via G. Parini,10 - 35028 PIOVE DI SACCO
Simulazione di seconda prova: Problemi
Alunno
Classe
Data 31/05/08
Il candidato risolva , a sua scelta, uno dei due problemi e 5 dei 10 quesiti.
Problema e quesiti su cui si desidera venga effettuata la correzione:
Problema N°1 N°2
Quesiti Q1 Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10
__________________________________
(Firma del candidato)
Problema N°1.
Un rettangolo è tale che la retta congiungente i punti medi dei suoi lati più lunghi, AB e CD, lo divide in due
rettangoli simili a quello dato. Tali lati abbiano lunghezza assegnata “a”.
a. Determinare il perimetro del rettangolo;
b. Sulla retta condotta ortogonalmente al piano del rettangolo nel punto medio del lato AD prendere un
punto V in modo che il piano cui appartengono i punti V , B , C formi con il piano del rettangolo
dato un angolo b di cui si conosce cos β =
2
. Calcolare il volume della piramide di base ABCD e
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vertice V.
c. Condotto ad una distanza x il piano a secante la piramide e parallelo al piano della faccia VAD,
esprimere in funzione di x l’area del poligono sezione della piramide con il piano a;
d. Calcolare infine il volume delle due parti in cui il piano a divide la piramide nel caso x =
a
2
Problema N°2.
Dopo aver dimostrato che le quattro circonferenze che hanno come diametri i lati di un rombo qualsiasi si
intersecano nel centro di simmetria del rombo, si consideri il rombo che, in un sistema cartesiano Oxy ha
come vertici A (k , 0) , B (0 , 1/k), C simmetrico di A rispetto all’asse y e D simmetrico di B rispetto all’asse
x, con k > 0, il candidato:
1. scriva le equazioni delle due parabole una di vertice B , passante per A e C e l’altra simmetrica ad essa
rispetto all’asse x ;
2. calcoli l’area della regione finita di piano racchiusa dalle parabole dimostrando che non dipende da k;
3. determini in funzione di k l’area A(k) del cerchio inscritto nel rombo;
4. studi come varia l’area A(k) al variare di k tracciando il grafico della funzione y = A(k);
5. stabilisca se vi sono valori massimi o minimi per tale area.
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Simulazione di seconda prova: Questionario
Alunno
Classe
Data 31/05/08
1. Dimostrare che l’equazione (1 − x) ⋅ e − x = 2 ha almeno una radice negativa. Se ne trovi poi un valore
approssimato con uno dei metodi numerici studiati.
2. Trovare l’equazione della retta t tangente ad entrambe le curve:
γ 1 := y = e x
γ 2 := y = e 2 x
e calcolare poi l’area della regione finita di piano delimitata dalla retta tangente e dai grafici delle due
curve.
3. Tra tutti i coni di prefissato apotema si determinino quelli di volume massimo e superficie totale massima.
Si chiede di calcolare i valori del volume massimo e della superficie totale massima.
4. Stabilire se la funzione
f ( x) = 3x 3 − x 4 + 1
ammette zeri nell’intervallo [3, 4].
5. Un’urna contiene 10 palline numerate da 1 a 10. Si estraggono contemporaneamente 3 palline dall’urna.
Calcolare la probabilità che il prodotto dei numeri estratti sia multiplo di 3.
6. Calcolare l’integrale:
∫ ln(1 + x ) dx
2
7. Dimostrare che è:
n
∑ i ⋅ (i + 1) =
i =1
n ⋅ (n + 1) ⋅ (n + 2)
3
8. Si considerino le tangenti ad una parabola in due suoi punti A , B simmetrici rispetto all’asse di
simmetria. Si verifichi che l’area del triangolo mistilineo delimitato dall’arco di parabola AB e dalle
tangenti è equivalente a metà del segmento parabolico individuato dalla corda AB.
9. Discutere il sistema al variare del parametro m e successivamente risolverlo.
⎧ x + y + 2z = 2
⎪
⎨− 3 x + 2 y + 3 z = −2
⎪ 2 x + my − 5 z = −4
⎩
10. Si dimostri che l’area del triangolo che ha come lati i due asintoti della funzione:
f ( x) =
2− x
2x + 1
e la retta tangente nel generico punto P del suo grafico ha valore indipendente dal punto P considerato.