CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA EDILE/ARCHITETTURA
FOGLIO DI ESERCIZI # 7– GEOMETRIA 2005/06
Ricordiamo le seguenti formule:
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L’Area di un parallelogramma in R2 , di lati u = (u1 , u2 ), v = (v1 , v2 ) è:
u1 u2 A(parallelogramma) = det
v1 v2 —————————————————————————————————————————–
L’Area di un parallelogramma in R3 , di lati u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) è data dalla
lunghezza (norma) |u × v| del vettore u × v prodotto vettoriale di u e v:
→
−
− →
− →
i
j
k
A(parallelogramma) = |u × v|,
con
u × v = det u1 u2 u3
v1 v2 v3
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Il Volume del parallelepipedo di lati u = (u1 , u2 , u3 ), v = (v1 , v2 , v3 ) e w = (w1 , w2 , w3 )
è uguale al valore assoluto del prodotto misto u · (v × w):
u1 u2 u3 V (parallelepipedo) = det v1 v2 v3
w1 w2 w3 —————————————————————————————————————————–
Esercizio 7.1. Calcolare l’area del triangolo di vertici A1 (3, 1), A2 (2, 6) e A3 (4, 4).
Esercizio 7.2. Determinare per quali valori di k il triangolo di vertici A 1 (0, 0), A2 (4, 2) e
A3 (1, k) ha area 5.
Esercizio 7.3. Calcolare l’area del poligono di vertici A1 (0, 0), A2 (1, 0), A3 (2, 1), A4 (1, 3) e
A5 (0, 2).
Esercizio 7.4. Calcolare l’area del triangolo di vertici A1 (1, 1, 1), A2 (1, 3, 1), A3 (−1, 0, 0).
Esercizio 7.5. Calcolare il volume del parallelepipedo di lati u(1, 0, 0), v(−3, 1, 1) e w(−2, 2, 5).
Esercizio 7.6 (Esercizio 6.26). Sia W il sottospazio di R4 generato dai vettori
v1 = (k, 1, 1, 2),
v2 = (0, 1, 0, 1),
v3 = (k, 0, 1, 1).
a) Al variare del parametro k, trovare una base di W .
b) Si completi la base trovata in a) ad una base di R4 .
Esercizio 7.7 (Esercizio 6.41). Siano
v1 = (1, −1, −1, 1), v2 = (k, 1, 1, −1) ∈ R4
a) Si trovino i valori del parametro k per i quali v1 e v2 sono indipendenti.
b) Per k = 2, si estenda l’insieme {v1 , v2 } a una base di R4 .
Esercizio 7.8 (Esercizio 6.42). Si consideri l’insieme S costituito dai seguenti vettori di R 4
v1 = (1, 2, 2, 1),
v2 = (2, 1, 2, 1),
4
a) E’ possibile estendere S a una base di R ?
v3 = (0, 1, 2, 1)
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FOGLIO DI ESERCIZI # 7 – GEOMETRIA 2005-2006
b) In caso affermativo, trovare una base di R4 contenente S.
Esercizio 7.9 (Esercizio 6.35).
a) Trovare una base del sottospazio V di R5 cosı̀ definito:
V = {x ∈ R5 | 2x1 − x2 + x3 − x4 = 0,
x1 − x3 − 2x4 + 2x5 = 0}.
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b) Determinare una base di R contenente la base di V trovata in a).
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I Prova di accertamento - A.A. 2004/05
Esercizio 7.10. Si consideri il sistema lineare
(1 + k)x = 0
ky + z + w = 2
x + kz + 2w = k
x + kw = 0
(k parametro reale)
a) Si dica per quali valori di k il sistema ammette una unica soluzione.
b) Si determinino tutte le soluzioni del sistema per k = 0.
Esercizio 7.11. Sia r la retta nello spazio di equazioni cartesiane x + z + 1 = 2x + 2y − z − 3 = 0
e sia l la retta di equazioni parametriche x = 2t, y = −t, z = 0.
a) Determinare una equazione cartesiana del piano π contenente il punto P (1, 2, 3) e ortogonale alla retta l.
b) Stabilire se esiste una retta passante per P , contenuta in π ed incidente la retta r. In
caso affermativo determinare equazioni di tale retta.
Esercizio 7.12. Sia
S = x ∈ R4 |x1 − 4x2 − x3 + 2kx4 = k + 1, 2x1 − kx3 + kx4 = 2k + 2,
3x1 − 4kx2 + 9x3 + 3x4 = 0 }
a) Stabilire per quali valori di k ∈ R l’insieme S è un sottospazio di R4 .
b) Per i valori di k trovati al punto precedente determinare la dimensione e una base di S.
Esercizio 7.13. Sia
V = h (1, 1, 2, −1), (2, k + 3, 4, −2), (0, 1, 1, k 2 − 1) i
con k parametro reale.
a) Si determini la dimensione di V al variare di k ∈ R.
b) Si stabilisca per quali valori di k ∈ R il vettore v4 = (3, 3, k + 6, −3) appartiene a V .
Esercizio 7.14. Si considerino i polinomi p1 = x2 + ax + b + c, p2 = x2 + bx + a + c, p3 =
x2 + cx + a + b.
a) Mostrare che per ogni valore dei parametri a, b, c i tre polinomi sono dipendenti nello
spazio dei polinomi R[x].
b) Calcolare la dimensione dello spazio hp1 , p2 , p3 i ⊆ R[x] al variare di a, b, c.
Esercizio 7.15. Siano P1 = (1, −1, 0), P2 = (1, 0, −1), P3 = 1 + √23 , − √13 , −1 − √13 , e P4 =
(1, 2, 1) quattro punti nello spazio.
−−−→ −−−→
a) Calcolare l’angolo tra i vettori P1 P2 e P2 P3 .
b) Mediante il determinante, calcolare il volume del prisma con base il triangolo P 1 P2 P3 e
lato il segmento P1 P4 .
