Esercizi 13/10 File

Corso di Laurea Magistrale in Statistica, Scienze Attuariali e Finanziarie
Insegnamento di Inferenza Statistica
(A.A. 2016/2017)
Esercitazione del 13 Ottobre 2016
1. La distribuzione del reddito (mensile) delle famiglie residenti in Norvegia può essere descritta da una variabile
aleatoria con distribuzione log-Normale di parametri µ = 7.5 e σ 2 = 0.81.
(a) Calcolare la probabilità che il reddito mensile di una famiglia sia compreso tra 1 300 e 2 600 Euro
(b) Calcolare il reddito medio e la sua deviazione standard
(c) Quale livello di spesa può sostenere una famiglia per avere una probabilità del 90% di far fronte alle spese?
2.
Compito del 15/04/2004 - Esercizio A.
La variabile casuale doppia (X, Y ) assume valori in {−1, 0, 1} × {−1, 0, 1} con la seguente funzione di densità
congiunta, in cui α è una costante:
Y
0
X −1
−1
α
0
0
0 1 − 4α
1
α
0
(a)
(b)
(c)
(d)
3.
1
α
0
α
Determinare l'intervallo di valori di α per cui la funzione in tabella è una densità doppia non degenere
Calcolare E[X] e E[Y ].
Mostrare che, per ogni α ammissibile, Cov(X, Y ) = 0
Mostrare che, per ogni α ammissibile, X e Y non sono indipendenti
Compito del 05/11/2012 - Esercizio B.
I livelli di acqua giornaliera di due bacini di acqua A e B possono essere rappresentati da due variabili aleatorie
X e Y la cui funzione di densità di probabilità congiunta è
(
f (x, y) =
(6/5)(x + y 2 ) se 0 < x < 1; 0 < y < 1
0
altrimenti
(a) Determinare la funzione di densità di probabilità marginale del livello di acqua giornaliera del bacino A
(ossia la funzione di densità di probabilità marginale di X ), specicando anche il supporto della variabile
(ossia l'intervallo di valori in cui la densità è non nulla).
(b) Determinare la funzione di densità di probabilità condizionata del livello di acqua giornaliera del bacino
B , dato il livello di acqua giornaliera del bacino A.
(c) Se in un dato giorno il bacino A è pieno a metà, qual è la probabilità che il bacino B sia pieno per più
della metà?
4.
Compito del 05/11/2012 - Esercizio C.
Carlo e Andrea giocano a lanciare un sasso il più vicino possibile ad un muro che si trova ad una distanza di
10 metri. Il lancio è valido se il sasso non tocca il muro. I lanci seguono una distribuzione normale di media
8.2 e deviazione standard 1.1 per Carlo, e di media 8.5 e deviazione standard 0.8 per Andrea.
(a) Qual è la probabilità che ad un certo turno di lanci uno ed uno solo dei due giocatori eettui un lancio
valido?
(b) Sapendo che Carlo ha lanciato a 9.5 metri e che il lancio di Andrea è valido, qual'è la probabilità che il
lancio di Andrea superi quello di Carlo?
(c) Qual'è la probabilità che in 10 turni di lancio Carlo abbia eettuato almeno 2 lanci non validi?
5.
Compito del 05/11/2012 - Esercizio D.
La biglietteria del Teatro Rialto riceve in media 30 chiamate telefoniche all'ora. rispondere ai quesiti che
seguono assumendo un appropriato modello probabilistico,
(a) Calcolare la probabilità che durante un intervallo di 10 minuti non venga ricevuta nessuna chiamata.
(b) Calcolare la probabilità che durante un intervallo di 20 minuti vengano ricevute almeno due chiamate.
(c) Il centralinista che riceve le chiamate guadagna uno salario sso di 8$ l'ora, a cui si aggiungono 0.10
centesimi per ogni chiamata ricevuta. Considerando una giornata di lavoro di 6 ore. Calcolare il guadagno
atteso del centralinista per una giornata di lavoro.
6.
Compito del 05/11/2012 - Esercizio A.
In un test d'accesso ad un corso di specializzazione sono previste due prove di ammissione entrambe composte
da 50 quesiti a risposta multipla. Un candidato è ammesso se riesce a rispondere correttamente ad almeno 40
quesiti in almeno una delle due prove. È noto che la probabilità che un candidato risponda correttamente ad
almeno 40 quesiti nella prima prova è 0.1. Se il candidato risponde correttamente ad almeno 40 quesiti nella
prima prova, la probabilità che risponda correttamente ad almeno 40 quesiti nella seconda prova è di 0.4. Se il
candidato risponde correttamente ad almeno 40 quesiti nella seconda prova, la probabilità che abbia risposto
correttamente ad almeno 40 quesiti nella prima prova è 0.3.
(a) Calcolare la probabilità che un candidato sia ammesso al corso di specializzazione
(b) Calcolare la probabilità che un candidato risponda correttamente ad almeno 40 quesiti in una soltanto
delle due prove
(c) Sapendo che il candidato è stato ammesso al corso di specializzazione qual è la probabilità che abbia
risposto correttamente ad almeno 40 quesiti nella prima prova?
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