Esame federale di maturità

ESAME SVIZZERO DI MATURITÀ
GENNAIO 2013
Gruppo e nr. .............................
Nome e Cognome: ................................................................................................
MATEMATICA
(livello normale)
- La durata dell’esame è di 4 ore.
- Gli esercizi 1 e 2 sono obbligatori.
- Degli esercizi 3, 4 e 5 saranno considerati solo i due risolti meglio.
- Ogni esercizio risolto in modo completo e corretto vale 10 punti.
- La nota 6 è conseguita con 40 punti.
- È permesso l’uso delle tavole numeriche e raccolte di formule senza annotazioni né aggiunte
personali; sono autorizzate:
CRM-CRP-CRC, Formulari et tavole (trad. CMSI), oppure
CRM-CRP-CRC, Formulaires et tables (trad. CMSI), oppure
DMK-DPK, Formeln und Tafeln, oppure
DMK-DPK –DCK, Formeln, Tabellen, Begriffe, oppure
DMK-DPK, Fundamentum Mathematik und Physik
- È permesso l’uso di una calcolatrice non programmabile e priva di display grafico, che non
possa emettere né ricevere informazioni a distanza. Sono autorizzate:
Casio FX-82 Solar oppure Texas Instruments TI-30 eco RS.
- Passaggi poco chiari o mancanti, imprecisioni, presentazioni disordinate delle soluzioni
pregiudicano la valutazione.
Per ottenere la nota 6 si devono risolvere in modo completo ed esatto i due esercizi obbligatori
e due degli esercizi a scelta.
Questi fogli vanno riconsegnati con le soluzioni.
1
PRIMA PARTE : ESERCIZI OBBLIGATORI
Esercizio 1
È data la funzione reale
f ( x) =
x3
2x2 −1
a) Determinare l’insieme di definizione della funzione f.
b) Determinare gli asintoti della funzione f.
c) Determinare i punti di massimo e di minimo e i flessi della funzione f.
e) Tenendo conto delle informazioni raccolte rispondendo alle domande precedenti, rappresentare
accuratamente il grafico della funzione f (unità u = 2 cm).
Esercizio 2
I punti A ( 2;1;0 ) , B ( 5;1;8 ) e D ( 3;7; 2 ) sono i vertici di un parallelogramma ABCD.
a) Verificare con opportuni calcoli che le coordinate del vertice mancante sono C ( 6;7;10 ) .
b) Determinare le misure dei lati e degli angoli del parallelogramma.
c) Determinare le coordinate del punto d’incontro delle diagonali del parallelogramma e
l’equazione della retta passante per tale punto e perpendicolare al piano contenete il
parallelogramma ABCD.
d) La retta r passa per i punti R ( 6;12;10 ) e S ( 7;14;13) . Determinare le coordinate del punto P
di intersezione tra tale retta e il piano contenente il parallelogramma ABCD.
e) Stabilire se il punto P si trova all’interno o all’esterno del parallelogramma ABCD.
2
SECONDA PARTE: ESERCIZI A SCELTA (Risolvere due dei tre esercizi proposti)
Esercizio 3
Nel piano cartesiano sono dati i punti A ( 4;6 ) , B (10;0 ) e M ( 8;10 ) .
a) Determinare l’equazione della parabola d’equazione y = ax 2 + bx + c che passa per i punti A e M
13
e che ha il punto di massimo in x = . Calcolare poi le coordinate del vertice della parabola.
2
b) Determinare l’equazione cartesiana della retta s passante per i punti B e V.
c) Determinare l’equazione della circonferenza C, che ha il centro in M e che passa per il punto A.
d) Determinare l’equazione cartesiana della retta t, tangente alla circonferenza e passante per B con
pendenza negativa (coefficiente angolare) . In seguito, verificare che il punto A appartiene alla
retta t.
e) Rappresentare graficamente la parabola e le rette s e t (1 unità = 1 quadretto). Calcolare l’area
della superficie delimitata dalla parabola e dalle rette t e s.
Esercizio 4
NB: Le domande sono indipendenti una dall’altra.
3
a) Calcolare il seguente integrale definito ∫ e
7 x −11
4
⋅ dx
2
b) Usando le proprietà adeguate (quindi senza l’uso della calcolatrice) verificare che:
2 log 6 ( 3) +
log 4
=
2
log 6
c) Trovare tutti gli asintoti della funzione f ( x=
) 2 x − e− x
d) Calcolare i punti di intersezione dei grafici delle funzioni
f ( x) =
2− x
3
e g ( x) =
x2 − x + 1
3
e scrivere le equazioni delle tangenti in essi. Trovare il punto d’intersezione di tali tangenti.
3
Esercizio 5 (l’esercizio è composto di due parti indipendenti)
5.1. Due squadre A e B giocano il turno finale di un torneo su tre partite.
Ogni partita si conclude con la vittoria di una squadra (è escluso il pareggio).
Se una squadra vince le prime due, la terza partire non viene giocata.
La prima e la terza partita si giocano sul campo di A, la seconda sul campo di B.
A vince sul suo campo con probabilità p A = 0, 7 e sul campo di B con probabilità pB = 0, 4 .
5.1.1. Calcolare con quali probabilità:
a) A vince le prime due partite.
b) A vince il torneo (in due o tre partite).
c) La terza partita è necessaria.
5.1.2. Sapendo che A ha vinto il torneo, calcolare con che probabilità B ha vinto una partita.
5.2. La rete stradale di una certa regione è rappresentata dallo schema seguente:
B
A
5.2.1. Un automobilista parte da A e ad ogni incrocio sceglie a caso il percorso da seguire.
Qual è la probabilità che l'automobilista giunga in B?
5.2.2. Due automobilisti partono da A e ad ogni incrocio scelgono a caso il percorso da seguire,
ognuno indipendentemente dalla scelta dell’altro.
a) Qual è la probabilità che nessuno di loro giunga in B?
b) Qual è la probabilità che almeno uno di loro arrivi in B?
4