Esercizi teorema di Bayes

5. INTRODUZIONE AL CALCOLO DELLE PROBABILITA’: ESERCIZI TEOREMA DI
BAYES
Esercizio n.1
Un costruttore viene fornito per gli stessi tipi di pezzi per l’80%
dalla ditta A e per il restante 20% dalla ditta B. Tali pezzi vengono
poi depositati assieme nello stesso magazzino.
Per il passato è stato notato che i prodotti di A erano per il 5%
difettosi, mentre quelli della ditta B lo erano nella misura del 9%.
Avendo scelto un pezzo a caso dal magazzino ed avendo riscontrato
che è difettoso, qual è la probabilità che sia stato fornito da B?
Soluzione Esercizio n.1
Indicando con D l’evento “pezzo difettoso”, si ha:
P ( D A) = 0,05
P( A) = 0,80
P ( D B ) = 0,09
P(B ) = 0,20
Si può quindi determinare la probabilità che avendo estratto a caso
un pezzo difettoso, questo sia stato fornito dalla ditta B applicando
il teorema di Bayes:
P(B D ) =
P(D B ) ⋅ P(B )
=
P ( D A) ⋅ P ( A) + P ( D B ) ⋅ P ( B )
P(B D ) =
0,09 ⋅ 0,20
0,018
=
= 0,3475
0,09 ⋅ 0,20 + 0,05 ⋅ 0,80 0,0518
Esercizio n.2
Un laboratorio ha messo a punto un etilometro in base al quale il
3% delle persone controllate dalla polizia è risultato essere in stato
di ebbrezza.
Inoltre, in base all’esperienza si è constatato che nel 95% dei casi
l‘etilometro ha dato esito positivo quando una persona era
effettivamente ubriaca, mentre ha dato nel 98% dei casi esito
negativo quando le persone non erano in stato di ebbrezza.
Date le caratteristiche del test, determinare la probabilità che una
persona sia realmente in stato di ebbrezza quando l’etilometro dà
risultato positivo.
Soluzione Esercizio n.2
Indicando con E l’evento “in stato di ebbrezza” e con E l’evento
“non in stato di ebbrezza”, con + “test positivo” e con - “test
negativo”, si ha:
P(E ) = 0,03
( )
P E = 0,97
P (+ E ) = 0,95
(
)
P − E = 0,98
P (− E ) = 0,05
(
)
P + E = 0,02
Applicando il teorema di Bayes, la probabilità che una persona
controllata dalla polizia sia in stato di ebbrezza, dato che il test è
risultato positivo, è data da:
P(E + ) =
0,95 ⋅ 0,03
= 0,595
0,95 ⋅ 0,03 + 0,97 ⋅ 0,02