Presentazione di PowerPoint

Forina Italo
&
Razzaia Luca
corporation
presents:
IL CALCOLO DELLA PROBABILITA’
COMPLETA O TOTALE
DEFINIZIONE:
•La probabilità completa o totale serve per calcolare la
probabilità di un evento A somma logica di n eventi
incompatibili a due a due,eventi che sono ognuno
prodotto logico di due eventi Hi e A/Hi.
i n
 P( H )* P( A / H )
i 1
i
i
ESEMPIO
Esempio:
Due macchine M1 e M2 producono lo stesso pezzo;la prima produce 400 pezzi al giorno e la seconda ne produce 600.
Da rilevazione statistiche si sa che la prima macchina, in media, ha uno scarto di pezzi del 5% e la seconda ha uno
scarto dell’ 8.Scelto a caso un pezzo dal magazzino, qual è la probabilità che sia difettoso?
In questo caso, essendo complessivamente 1000 i pezzi prodotti al giorno dalle due macchine, la probabilità che il
pezzo scelto sia della prima macchina è 400\1000, che sia della seconda è 600\1000, mentre la probabilità dei pezzi
difettosi, calcolate statisticamente, sono per le due macchine rispettivamente, 5\100 e 8\100.
Si ha allora il seguente diagramma ad albero:
400\1000
600\1000
M1
5\100
D
95\100
D
8\100
D
92\100
D
(400\1000)*(5\100)
(600\1000)*(8\100)
M2
La probabilità dell’evento D: ”il pezzo è difettoso” risulta:
P(D)=(400\1000)*(5\100)+(600\1000)*(8\100)=34\500=0,068
Vai a es. Bayes
TEOREMA DI BAYES
Definizione:
Se un evento A può verificarsi in seguito a più cause,che si escludano
a vicenda,dalla conoscenza della probabilità delle cause, essendosi
verificato l’evento A,possiamo calcolare la probabilità che esso sia
dovuto a una determinata causa.
P( H i / A) 
P( H i )  P( A / H i )
i n
 P( H )  P( A / H )
i 1
i
i
ESEMPIO
Esempio:
Riprendendo lo studio dell’esempio della probabilità completa o
totale,cerchiamo la probabilità che un pezzo scelto a caso e trovato
difettoso,provenga dalla prima macchina.
Si ha, utilizzando la precedente rappresentazione con il diagramma ad
albero:
400
5
1

5
1000
100
50
P( M 1 / D) 


400
5
600
8
34
17



1000 100 1000 100
500
Notiamo che la probabilità che il pezzo provenisse dalla macchina M1,
prima di averlo riscontrato difettoso, era 4/10;ora la probabilità è
5/17<4/10. Quindi l’informazione D: ”il pezzo è difettoso” , ha diminuito
la probabilità che esso provenisse dalla macchina M1.
Problema delle prove ripetute
(o schema di Bernoulli)
DEFINIZIONE:
In molti problemi di applicazione si devono considerare le
prove indipendenti ripetute di un esperimento.
Per ogni prova sia p la probabilità che la prova dia esito
positivo e sia q=1-p la probabilità contraria.Volendo calcolare
la probabilità che su n prove indipendenti,k e solo k abbiano
successo.
La probabilità che su n prove Bernoulliane,k e solo k
abbiano successo è data da:
Pk  ( ) p  q
n
k
k
nk
0k n
ESEMPIO
Esempio:
Si lancia 3 volte un dado;se se viene la faccia 1 si ha successo (s),negli altri casi si
ha fallimento (f).I possibili esiti sono 8 e l’universo U è;
U={sss,ssf,sfs,sff,fss,fsf,ffs,ff}
La faccia 1 nei 3 lanci si può presentare 0,1,2,3 volte,ossia si possono avere 0,1,2,3
successi.
Essendo p=1\6 e q=5\6, la probabilità di avere 0,1,2,3 successi
sono,rispettivamente:
 3  1   5 
125
P0       
216
 0  6   6 
0
3
 3  1   5 
75
P1       
216
1  6   6 
1
2
 3  1   5 
15
P2       
216
 2  6   6 
2
1
 3  1   5 
1
P3       
216
 3  6   6 
3
0