Il teorema di Bayes - e-learning

IL TEOREMA DI BAYES
Italo Nofroni
Statistica medica - Facoltà di Medicina
Sapienza - Roma
Questo processo logico è
particolarmente frequente in ambito
sanitario ove il clinico si trova ad
osservare segni e sintomi, nonché
risultati delle analisi di laboratorio, e
tenta di risalire alla causa che li ha
determinati
Ovvero cerca di stabilire se il soggetto
sia sano o malato e, eventualmente, da
quale patologia sia affetto
Una formalizzazione matematica è
però possibile e, sotto certe
condizioni, agevolmente applicabile
In particolare, tale procedura è in
grado di fornire un notevole
supporto al medico per quanto
riguarda la definizione di una
diagnosi
Generalmente nel Calcolo delle
probabilità si parte da una prova e ci si
chiede la probabilità che si verifichi uno
dei possibili eventi dello spazio degli
eventi
In altri casi si procede con una logica
opposta: si osserva un evento e ci si
chiede da quale delle possibili cause
(prove) è più probabile che possa essere
stato determinato
Abitualmente il medico svolge questo
processo diagnostico a livello inconscio,
basandosi sulle informazioni acquisite dai
suoi studi, dalla consultazione della
letteratura, dalla sua esperienza e dal
suo intuito
In ogni caso, in genere, non formalizza
tale processo logico in una procedura
matematica
Tale procedura
viene detta
Teorema di
Bayes, dal nome
del MONACO
scozzese x y
Bayes (ccc –
mmm) che l’ha
formalizzata
nel lontano
177y
1
Siano:
Possiamo perciò indicare
P(Ci) = probabilità a priori (prevalenza)
Ci le possibili “cause”
P(E/Ci) = probabilità probative, ovvero
che una causa determini un effetto noto
E un determinato “effetto”
P(Ci/E) = probabilità a posteriore,
ovvero che, osservato l’effetto, si voglia
risalire alla causa che lo ha determinato
Avremo quindi la formula
P( C1 / E ) =
P( C 1 )P( E / C 1 )
Esempio 1
In un ipotetico reparto di Medicina interna
si ricoverano pazienti affetti solo da 4
possibili patologie
K
∑ P( Ci )P( E / Ci )
i =1
Blocco intestinale
Gastroenterite
Appendicite
Ulcera gastrica
Sulla base dell’esperienza pregressa, possiamo
definire le probabiliità a priori di tali patologie
(prevalenza)
Definiamo quindi le probabilità
probative ovvero che ciascuna patologia
sviluppi il sintomo dolore addominale
P (BI) = 0.05
P (GE) = 0.50
P (DA/BI) = 0.95
P (Ap) = 0.35
P (DA/GE) = 0.20
P (UG) = 0.10
P (DA/Ap) = 0.70
-----------------
P (DA/UG) = 0.10
Totale = 1
2
Possiamo scrivere
Si presenta un paziente con dolori
addominali
Ci domandiamo con quale probabilità
risulti affetto da appendicite (o altra
patologia)
P ( Ap / DA) =
P ( Ap ) P ( DA / Ap )
K
∑ P ( Patoli ) P ( DA / Patoli )
i =1
Da cui
Parimenti abbiamo
P( Ap / DA ) =
0.35 x0.70
0.35 x0.7 + 0.05 x0.95 + 0.5 x0.2 + 0.1 x0.1
P( Ap / DA ) =
P(BI/DA) = 0.118
0.245
P(GE/DA) = 0.248
0.245 + 0.0475 + 0.1 + 0.01
P(UG/DA) = 0.025
P( Ap / DA ) =
0.245
= 0.6097
0.4025
Si può verificare che
P(BI/DA) = 0.118
P(GE/DA) = 0.248
P(UG/DA) = 0.025
P(AP/DA) = 0.610
totale = 1.00 (circa)
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