Argomenti di questa lezione • Alcuni aspetti formali • Leggi del moto

Lezione n.08-2011
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Argomenti di questa lezione
• Alcuni aspetti formali
• Leggi del moto e leggi orarie: di cosa si
tratta dal punto di vista matematico?
• Equazioni differenziali (cenni + alcune
informazioni basilari)
• approfondire alcuni aspetti che
riguardano le equazioni differenziali
lineari
• studiare alcuni esempi applicativi
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Richiamo
Nella lezione precedente abbiamo visto due sistemi,
pendolo semplice e sistema massa molla, per i quali siamo
stati capaci di scrivere l’equazione del moto e di
riconoscere dalla sua struttura che la legge oraria deve
essere di tipo armonico
M
k
M
L’equazione del moto discende dalle equazioni della dinamica ed
e’ una relazione che indica quali regole deve seguire il moto, cioè
come devono dipendere dal tempo le varie quantità cinematiche
che descrivono il sistema. È un’equazione le cui incognite sono
funzioni del tempo.
La legge oraria è una funzione del tempo che risolve l’equazione
del moto.
Oggi vediamo altri esempi e poi dobbiamo chiarire meglio alcuni
aspetti matematici sulla natura delle equazioni del moto e su come si
può identificare la legge oraria dopo aver individuato la legge del
moto.
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Attrito viscoso e velocità limite
Caso lineare:
F=−γv
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Corpo in caduta libera in presenza di attrito viscoso
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Leggi del moto per un punto materiale e loro integrazione
2° principio:
Esempi:
nessuna forza
forza peso (forza uniforme e costante)
forza elastica
forza d’attrito viscoso
Lezione n.08-2011
forze dipendenti esplicitamente dal tempo
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Lezione n.08-2011
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Aspetti “matematici” del problema e
denominazione/caratterizzazione delle equazioni che ci si
trova a dover impostare, affrontare e, se possibile, risolvere.
Classificazione delle equazioni differenziali
Lineari
Non lineari
Equazioni differenziali lineari: ordine, omogeneità,
dipendenza temporale dei coefficienti.
Ordine
Numero di soluzioni
Condizioni iniziali
eq. omogenee/eq. non omogenee
coefficienti: sono costanti o dipendono dal tempo?
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Richiamo
Aspetti “matematici” del problema e
denominazione/caratterizzazione delle equazioni che ci si
trova a dover impostare, affrontare e, se possibile, risolvere.
Classificazione delle equazioni differenziali
Lineari p.es. ma=-γv-kx
Non lineari tipo ma=αv2+βvx+γx2+εsin(kx)
Equazioni differenziali lineari: ordine, omogeneità,
dipendenza temporale dei coefficienti.
Ordine (qual è la più alta derivata)
Numero di soluzioni indipendenti (=ordine)
Condizioni iniziali necessarie (=ordine)
eq. omogenee/eq. non omogenee
coefficienti: sono costanti o dipendono dal tempo?
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Due soluzioni di un’equazione differenziale non
omogenea differiscono per una funzione che risolve
l’equazione omogenea associata
Le soluzioni dell’omogenea costituiscono uno spazio
lineare
Se sommo ad una soluzione particolare di un’equazione
non omogenea una combinazione lineare di soluzioni
dell’omogenea associata, trovo una nuova soluzione
della non omogenea.
⇒ Tutte e sole le soluzioni della non omogenea si
trovano sommando a una soluzione particolare della non
omogenea combinazioni lineari di soluzioni
dell’omogenea.