PRECORSO DI MATEMATICA GENERALE

PRECORSO DI MATEMATICA GENERALE - MODULO I
ESERCIZI
P. PETRULLO
Teoria degli insiemi
(1) Esibire due insiemi A e B di cardinalità diverse e tali che |A ∪ B| = 14 e
A ∩ B = {2, 4, 6};
(2) Sia N := {0, 1, 2, . . . , } l’insieme dei numeri naturali. Determinare |A ∩ B|
sapendo che A := {n | n ∈ N, 0 < n ≤ 10} e B := {2n | n ∈ N};
(3) Esibire insiemi A, B e C di modo che risulti |A ∩ B| = 3, |C ∩ B| = 2,
|A ∪ B| = 9 e C ⊆ A.
(4) Segnare l’alternativa che risulti corretta per insiemi A, B, C qualsiasi:
|A ∩ B| + |A ∪ B| = |A| + |B|
|A ∪ B| = |A| + |B|
se |A| ≤ |B| allora A ⊆ B
se A ∩ B ∩ C = ∅ allora A ∩ B = ∅
se A ⊆ N allora A ⊆ Z
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
A\B =B\A
A×B =B×A
A∪B =B∪A
A∩B =B∩A
se A ∩ B = A ∩ C e B ⊆ C allora B = C
se A \ B = ∅ allora A = B
se A \ B = ∅ allora A ∩ B = ∅
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
V
F
Equazioni e disequazioni algebriche
x4 −8x = 7x3 −14x2 , x4 −10x = 5x3 +12, 12x4 −8x3 = 2x+3x2 , x4 −x2 −12 = 4x3 −16x,
x2 + x − 6
2−x 1−x
1 x+2 x−2
9
=
,
= ,
+
= 2
,
2
x + 3x + 2
x+1 1+x
x x−2 x+2
x −4
x4 − 5x2 < 4, 4x4 − 5x2 + 1 > 0, x4 − 3x2 + 2 ≥ 0,
1
x−2
1 2−x
x2 − 3
x
1
x+1
−
< ,
+1≥ 2
,
+
< 2
x−2 x+2
2 1−x
x − 2x + 1 2x − 4 x − 3
x −x−2
1
2
P. PETRULLO
Sistemi di equazioni e disequazioni
!
x2 − 5x + 6 < 0
,
2x − 5 > 0
!
x2 − 9 ≥ 0
,
x2 − 6x + 8 > 0
!
!
y+x−2=0
,
x + 1 = 2x − y
2x = y + 1
,
x+3=y−5
!
!
−2x2 + 11x − 12 > 0
,
6 − 2x < 0
y = x2 − 3
,
y = 2x − 4
!
!
x2 + x − 2 ≤ 0
,
x2 > 2x
x2 + y 2 − 8 = 0
y=x
Equazioni e disequazioni irrazionali e con valore assoluto
√
"
2x − 1 = 3,
x2 − 4 ≤ x + 7,
"
√
x+4=1
√
x2 − 1 ≥ 2 − x
2x − 1 = x − 2,
√
x + 1 = 2x + 1,
"
"
4x2 − 1 < 2x − 1,
4x2 − 16 = 2x − 3,
|x − 1| = 5, 1 = |x + 2|, x − 1 = |1 − 2x|, |x − 4| − 2 = x + 4, x + 7 = |x − 2|,
|x−1| < 2x+2, 2x−1 ≥ |x+2|, 3x < |1−3x|, |x2 −4|−2 < 0, |x2 −12x+11| < x+1,
Equazioni e disequazioni logaritmiche ed esponenziali
√
2
1
2x
− 32x−1 = 0, 123x = 1, 3x −7x+12 = 1,
81 = 3x+1 ,
81
2 · 4x + 5 · 2x = 3, 4x+2 =
2
1
45
9
+ 1, · 3x + 3 · 3x − x = 247 · x ,
4x+2
9
3
3
1
log x+log 3 = log 15, log x = 2 log 12− log 16, log2 (2x−1) = 1, log3 (x−2)−log3 (x2 −3x) = 0,
2
# $x
1
1
2x−3 ≥ ,
> 16, 52x+2 − 5x−1 > 0, 3 · 3x−1 > 9x ,
8
2
log(x + 1) < 1, log(4x − 5) ≥ log(x2 − 2), log(x2 − 1) − log(x2 − 7x + 12) < log 4
Studio di funzione: dominio, segno ed intersezione con gli assi
"
x+1
f (x) = x + 7x + 6, f (x) =
, f (x) = 4 − x2 , f (x) = log
x−1
2
"
x2 + 1
f (x) = x + 6, f (x) = 2
, f (x) = 8 − 6x + x2 , f (x) = log
x −1
2
#
1
x+1
$
#
x2 − 9
x+1
$
PRECORSO DI MATEMATICA GENERALE - MODULO I
ESERCIZI
3
Atri esercizi
(1) Determinare le dimensioni (lunghezza e larghezza) di un campo da calcio
(di forma rettangolare) avente perimetro 340m e area 6600m2 ;
(2) In un negozio di elettrodomestici sono stati venduti tre frigoriferi F1 ed una
lavatrice L1 in data 21/11/2012 incassando 1580 euro. Il giorno successivo,
nello stesso negozio, si vendono a prezzi invariati tre lavatrici L1 e due
frigoriferi F1 con un incasso pari a 1870 euro. Determinare il prezzo di
vendita del frigorifero e della lavatrice.
(3) Un’azienda del potentino produce infissi in legno. Nel 2011 ha venduto 100
porte e 400 finestre, nel 2012 ha venduto un quarto delle porte e metà delle
finestre vendute l’anno precedente mantenendo invariati i prezzi di vendita.
Determinare tali prezzi sapendo che l’incasso stato pari a 280000 euro nel
2011 e pari a 110000 euro.
(4) Il fatturato di un negozio al dettaglio ammontava a 40000 euro nel 2009. A
causa della crisi diminuisce, rispetto all’anno precedente, del 10 per cento
nel 2010, e ancora del 15 per cento nel 2011. Determinare il fatturato
corrispondente all’esercizio 2011.