Corso di Matematica – Trigonometria
Trigonometria
La trigonometria (dal greco trígonon (τρίγωνον, triangolo) e métron (μέτρον, misura): misurazione del
triangolo) è la parte della matematica che studia i triangoli a partire dai loro angoli. Il compito principale della
trigonometria, così come rivela l'etimologia del nome, consiste nel calcolare le misure che caratterizzano gli
elementi di un triangolo (lati, angoli, mediane, etc.) partendo da altre misure già note (almeno tre, di cui
almeno una lunghezza), per mezzo di speciali funzioni. Tale compito è indicato come risoluzione del triangolo. È
anche possibile servirsi di calcoli trigonometrici nella risoluzione di problemi correlati a figure geometriche più
complesse, come poligoni o figure geometriche solide, ed in molti altri rami della matematica e delle scienze.
Le funzioni trigonometriche (le più importanti delle quali sono il seno e il coseno), introdotte in questo ambito,
vengono anche usate in maniera indipendente dalla geometria, comparendo anche in altri campi della
matematica e delle sue applicazioni, ad esempio in connessione con la funzione esponenziale o con le
operazioni vettoriali.
Angoli e misura di un angolo (gradi e radianti)
Definizione e significato di radiante (raggio = 1 e angolo = arco)
Utilizzando il goniometro, è possibile misurare
l’angolo .
Il grado sessagesimale è la trecentosessantesima
parte dell’angolo giro, in altre parole, l’angolo giro è
composto da 360°.
Nell’esempio riportato in figura, l’angolo misura
40°.
Ad un angolo di 40°, se il raggio vale una unità,
corrisponde un arco della lunghezza di 0.7 unità. Si
può dunque dire che l’angolo vale 0.7 radianti.
Il senso positivo di apertura di un angolo avviene in
senso antiorario.
Esempio, quanti radianti vale l’angolo coperto da un ciclista che percorre 200 metri su una pista circolare che dista 300
metri dal centro?
Esempio: Il pianeta terra compie una rivoluzione completa attorno al sole in circa 365 giorni (si ponga 360 per semplicità
dei calcoli), la distanza della terra dal sole vale mediamente circa 150'000'000 Km. Che angolo copre il nostro pianeta in 80
giorni? E che distanza percorre nello spazio?
-1–
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Misura degli angoli: Grado sessagesimale
Un grado sessagesimale (o grado d'arco, o semplicemente grado), indicato dal simbolo ° (in apice) o con
l'abbreviazione "deg", è un'unità di misura per gli angoli; rappresenta 1/360 della circonferenza di un cerchio.
Quando si usano i gradi, vengono utilizzati anche dei sottomultipli: i minuti (1/60 di grado, o 1/21600 di
circonferenza, indicato dal simbolo ' ) e i secondi (1/60 di minuto, o 1/1296000 di circonferenza, indicato dal
simbolo '' ).
Passaggio da grado sessagesimale a numero decimale e viceversa
Per trasformare un numero sessagesimale in numero decimale, si prende la parte intera e vi si sommano i
minuti primi divisi per sessanta più i secondi divisi per 3600. Per passare invece dai numeri decimali ai numeri
sessagesimali, occorre prendere la parte intera e sommarvi l’ulteriore parte intera della parte decimale
moltiplicata per sessanta, e si somma ancora l’ulteriore parte decimale approssimando gli eventuali decimali al
secondo.
Esempi:
Da sessagesimale a decimale
30
4°30 00 = 4 +
= 4.5
60
30
36
4°30 36 = 4 +
+
= 4.51
60 3600
52
26
5°52′26" = 5 +
+
≅ 5.8739
60 3600
72
4°72′00" = 4 +
= 5.2
60
52
83
5°52′83" = 5 +
+
≅ 5.89
60 3600
Da decimale a sessagesimale
4.5 = 4°0.5 ∙ 60 = 4°30 00
4.51 = 4°0.51 ∙ 60 = 4°30 0.6 ∙ 60 = 4°30 36
5.8739 = 5°0.8739 ∙ 60 = 4°52 0.434 ∙ 60 ≅ 5°52 26
5.2 = 5°0.2 ∙ 60 = 5°12′00′′
5.89 = 5°0.89 ∙ 60 = 5°53 0.4 ∙ 60 = 5°53′24′′
-2–
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Misura degli angoli: Rapporto tra circonferenza e diagonale: PI greco e Radiante
Facendo il rapporto tra la circonferenza di un cerchio
e il suo diametro, si ottiene sempre lo stesso numero.
Questo numero, noto fin dall’antichità, prende il
nome di Pi greco, lo si rappresenta col simbolo , è un
numero irrazionale, possiede cioè infinite cifre
decimali, e, pertanto, si può unicamente calcolare una
sua approssimazione, a seconda delle cifre
significative di cui si necessita.
0
=
⟺ 0 = ∙ |=>|
|=>|
=
Circonferenza:
!"#!$%&'#'%()
*")+',#$
siccome:
!=- #
|=>| = 2. ⟹ 0 = 2.
dunque, l’angolo giro vale:
Per trovare il valore degli altri angoli, si procede
calcolando i sottomultipli:
13"),,$ =
. = 1 ⟹ 0 = 2
12"#$ = - #)*
#)*
1#',,$ =
-
#)*
Attività: Si prenda un oggetto rotondo (canestro della carta) e si misuri la sua circonferenza con un metro da sarta, si
misuri anche il diametro e si faccia il rapporto tra la circonferenza e il diametro. Se le misure sono state prese con
precisione, si dovrà ottenere un valore prossimo a 3.14.
Conversione gradi – radianti e viceversa, con una proporzione e con la formula
Per convertire il valore di un angolo dai gradi ai radianti e viceversa, basta fare una proporzione:
Proporzione
Esempi:
1 4*'25 1 4#)*5
=
678
Trasforma
in radianti:
Passaggio da gradi a radianti
1 4#)*5 = 1 4*'25 ∙
678
Trasforma
in gradi:
Soluzione:
Passaggio da radianti a gradi
1 4*'25 = 1 4#)*5 ∙
Soluzione:
678
180
= .9:
.9:
∙
= 180°
180
180
90 ∙
= .9:
.9:
90°
∙
= 90°
180 2
2
2 180
30 ∙
= .9:
.9:
30°
∙
= 30°
180 6
6
6 14
14
14 180
;56°
;56 ∙
= ; .9:
; .9:
; ∙
= ;56°
45
45
45
180
180
43 ∙
≅ 0.75 .9:
43°
0.75 .9:
0.75 ∙
≅ 42.97°
180
Attività: Si utilizzino le formule per trasformare i gradi in radianti e viceversa per gli angoli in questa pagina, si provi poi
con angoli qualsiasi.
180°
180 ∙
-3–
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Multipli dell’angolo di 45° e multipli dell’angolo di 30°
Multipli di 45°, /A #)*
Multipli di 30°, /B #)*
angolo in gradi
angolo in radianti
nome angolo
angolo in gradi
angolo in radianti
0
0
angolo nullo
0
0
45
/4
90
135
/-
270
315
360
60
angolo retto
3/4
180
225
30
120
150
angolo piatto
5/4
180
210
240
C /-
270
7/4
-
90
300
330
angolo giro
360
/6
/3
/-
2/3
5/6
7/6
4/3
C /5/3
11/6
-
Esempio: per calcolare l’angolo di 225°, si può contare Esempio: per calcolare l’angolo di 150°, si può contare
quanti multipli di /4 occorrono, nel caso specifico, quanti multipli di /6 occorrono, nel caso specifico,
all’angolo di 225°, occorrono 5 multipli di /4, dunque all’angolo di 225°, occorrono 5 multipli di /6, dunque
l’angolo vale 5/4. Analogamente, l’angolo di 270° l’angolo vale 5/6. Analogamente, l’angolo di 240°
corrispondono 3 multipli dell’angolo retto, dunque esso corrispondono 8 multipli dell’angolo /6, dunque esso vale
vale 3/2.
8/6, cioè 4/3.
Attività: Si trovino, e si costruisca una tabella come quella sopra, per i multipli dell’angolo di 15°.
-4–
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Cerchio Goniometrico
I valori delle funzioni seno e coseno possono variare entro un intervallo compreso tra ;6 e 6, una
volta compiuto un intero giro, i valori delle funzioni si ripetono, si dice cioè che le funzioni
trigonometriche sono funzioni periodiche.
Dato il Cerchio goniometrico, si
possono individuare le seguenti
grandezze:
raggio: |LM| = # = 6
coseno dell’angolo:
|LMN | = J1
Periodo: -O , O ∈ R
seno dell’angolo:
HLMS H = JK1
Periodo: -O , O ∈ R
tangente dell’angolo:
HLMS H
JK1
|TU| =
= VWK1 =
|LMN |
J1
Periodo: O , O ∈ R
cotangente dell’angolo
|XY| = VWK1
Periodo:
Relazione fondamentale (Pitagora)
ed equazione della circonferenza:
G
|DEF |G + HDEI H = 1 ⟺ J -1 + JK- 1 = 6
Valori cardinali delle funzioni seno, coseno e tangente
È fondamentale, per le innumerevoli applicazioni matematiche e tecniche in generale che questo aspetto
comporta, saper ricostruire mentalmente le quattro situazioni cardinali sottostanti, e saper sempre ricostruire i
relativi valori trigonometrici
Angolo nullo 40°, 0 .9:5 e
supplementare ang. retto
Angolo retto
Angolo piatto
3
angolo giro
4180°, .9:5
Z90°, .9:[
\270°, .9:]
4360°, 2 .9:5
2
2
J8 = 6
JK8 = 8
VWK8 = 8
J^8 = 8
J678 = ;6
JK^8 = 6
JK678 = 8
VWK^8 = ∞
VWK678 = 8
-5–
ing. L. Balogh
[email protected]
J-_8 = 8
JK-_8 = ;6
VWK-_8 = ; ∞
Corso di Matematica – Trigonometria
.9:[
6
.9:[
4
.9:[
3
Alcuni valori notevoli delle funzioni seno, coseno e tangente
Z30°,
Z45°,
Z60°,
4:ab5
0
30
1
cos30 = √3
2
1
sin30 =
2
1
tan30 = √3
3
1
cos45 = √2
2
1
sin45 = √2
2
tan45 = 1
1
cos60 =
2
1
sin60 = √3
2
tan60 = √3
45
60
90
4.9:5
0
6
4
3
2
sin
0
1
2
1
√2
2
1
√3
2
1
cos
1
1
√3
2
1
√2
2
tan
1/2
0
0
1
√3
3
1
√3
∞
Dimostrazione dei valori notevoli dell’angolo di 45° e degli angoli di 30° e 60°
Angolo di 45° : semidiagonale del quadrato
Quando l’angolo vale 45°, il raggio può essere
considerato come il lato del quadrato OPQR. Il seno e
il coseno dell’angolo sono la mezza diagonale di
questo quadrato. Essendo la diagonale di un quadrato
pari al lato moltipliocato per la radice di due, ed
essendo il lato pari al raggio, ossia, uguale a uno, vale:
6
JAk = JKAk = √Angoli di 30° e 60°: altezza del triangolo equilatero
Quando l’angolo vale 30°, il raggio può essere
considerato come il lato del triangolo OPV, che è un
triangolo equilatero, di conseguenza, essendo tutti i
lati uguali, PT vale 0.5:
6
JKC8 =
Il coseno invece può essere ricavato tramite pitagora:
1 G
3
6
cos30 = l1 ; m n = l ⟹ JC8 = √C
2
4
Quando l’angolo vale 60°, valgono le medesime
considerazioni per l’angolo di 30°, se non che seno e
coseno, essendo in questa situazione simmetrici, si
scambiano i valori:
6
6
JB8 = ; JKB8 = √C
-
-6–
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche
Funzione
Notazione
seno
coseno
tangente
sen, JK
J
VWK, tg
Dominio
ℝ
ℝ
ℝ\ u + rv
2
Codominio
Zeri
4;1 , +15
+ r
2
4;1 , +15
ℝ
r
Periodo
r
r
Funzioni trigonometriche: coseno e seno di un angolo
Funzione del coseno
Funzione del seno
Funzione della tangente
Sovrapposizione delle funzioni del coseno e del seno e della tangente di un angolo
-7–
ing. L. Balogh
[email protected]
2r
2r
F. inversa
arcoseno
arcocoseno
arcotangente
(cotangente)
Corso di Matematica – Trigonometria
Operazioni trigonometriche inverse: arcocoseno, arcoseno, e arcotangente
Le operazioni trigonometriche inverse, permettono di trovare il valore dell’angolo partendo dai lati noti.
Trovare l’angolo dato il coseno
cos = w ⟺ = arccosw = yz{{9 09{0|{9w.}0a: cos w
(ipotenusa e cateto adiacente)
Trovare l’angolo dato il seno
sin = w ⟺ α = arcsinw = yz{{9 09{0|{9w.}0a: sin w
(ipotenusa e angolo opposto)
1
Trovare l’angolo data la tangente
tan = w ⟺ = arctanw = cotanw = tan w =
(due cateti)
tanw
Attenzione:
arccosw = cosw ≠
1
1
≠
cost cosα
arcsinw = sin w ≠
1
1
≠
sint sinα
Dominio e codominio delle funzioni trigonometriche
Funzione
arcoseno
arcocoseno
arcotangente
(cotangente)
Notazione
Dominio
arcsen
WJK
4;1 , +15
V, tan
ℝ\r
WJ
4;1 , +15
Codominio
Z; , [
2 2
40, 5
[; , Z
2 2
Utilizzo della calcolatrice tascabile classica
Zeri
0
1
0
Periodo
F. inversa
-
arcoseno
-
arcocoseno
-
arco
cotangente
(tangente)
Le funzioni arcocoseno e arcocoseno sono rappresentate rispettivamente con i simboli cos e sin ,
questi vanno interpretati come l’inverso della funzione coseno e l’inverso della funzione seno, nel senso
appunto di arcocoseno e arcoseno rispettivamente, e non come l’inverso del prodotto. L’arcotangente invece,
oltre ad essere la funzione inversa della tangente, è anche l’inverso del prodotto della tangente.
Per eseguire i calcoli goniometrici con una calcolatrice tascabile classica, occorre digitare il numero (il quale
appare sul display) e poi premere il tasto con l’operazione desiderata (sin, cos, tan).
Quando si eseguono i calcoli goniometrici è molto importante specificare se si sta operando con gradi
sessagesimali (DEG) o in radianti (RAD), solitamente, sul display appare la dicitura “DEG” o “RAD”, a seconda
del modo attivo. Esiste anche una terza unità, il gradiente, quando si opera in modalità gradiente, sul display
appare la dicitura “GRA”. L’impostazione del modo “DEG”, “RAD” o “GRA” sulla calcolatrice varia da modello a
modello, a volte basta premere un tasto, a volta occorre premere una combinazione di tasti.
Sulle calcolatrici, oltre ai simboli e alle funzioni disponibili sui tasti, si possono utilizzare i simboli e le funzioni
visualizzabili sopra i tasti (o sotto), per accedervi, occorre premere il tasto “INV” (“SHIFT” o “2nd” o altre
diciture ancora a seconda del modello) prima del tasto desiderato.
-8–
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Esempio: per visualizzare il numero sul display, premere INV .
Operando in gradi: deg
MODE 4
Operando in radianti: rad
MODE 5
Esempio: si calcoli il seno di 70°:
7 0 sin
Il risultato ritornato è:
Esempio: si calcoli il seno di /5:
INV ÷ 5 = sin
Il risultato ritornato è:
Esempio: si calcoli il coseno di -56°:
5 6 +/- cos
Il risultato ritornato è:
Esempio: il coseno di ;3/7
3 x INV +/- ÷ 7 = cos
Il risultato ritornato è:
Esempio: la tangente di 40°:
4 0 tan
Il risultato ritornato è:
Esempio: la tangente di /3:
INV ÷ 3 = tan
Il risultato ritornato è:
Esempio: l’arcoseno di 0.84:
0 . 8 4 INV sin
Il risultato ritornato in gradi:
Esempio: l’arcoseno di 0.36:
0 . 3 6 INV cos
Il risultato ritornato in gradi:
Esempio: l’arcotangente di -0.15:
0 . 1 5 +/- INV tan
Il risultato ritornato in gradi:
Il risultato in radianti:
Il risultato in radianti:
Il risultato in radianti:
Attività: si verifichino i risultati mostrati utilizzando una calcolatrice tascabile.
Triangolo rettangolo costruito sul semicerchio dell’ipotenusa
, i cateti che dagli estremi = e
Data una diagonale =>
> s’incontrano nel punto C (
≠ = ≠ >) sulla
semicirconferenza, individuano sempre un angolo
retto.
: Ortocentro, D: Incentro
), : cateti, !: ipotenusa
Pitagora:
0 G = 9G + G
: angolo retto
Soma angoli: + = = 90°
La somma degli angoli interni di qualsiasi triangolo vale 180°, ed essendo , di un triangolo rettangolo, retto uno
dei tre angoli, si conclude che la somma degli altri due valga 90°.
Attività: si verifichi che l’angolo in
(così come in
e
G )sia retto, si misurino gli angoli e e si verifichi che la loro
somma valga effettivamente 90°.
Attività: Si disegnino alcuni triangolo qualsiasi, si misurino i suoi angoli interni e si verifichi che la loro somma valga sempre
180°
-9–
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Risoluzione del triangolo rettangolo: coseno, seno e tangente di un angolo
Le funzioni trigonometriche trovano un’immediata applicazione geometrica nel triangolo rettangolo, in
particolare, dato un lato qualsiasi e un altro lato o angolo, è possibile risolverlo in tutti gli altri lati e angoli.
Triangolo rettangolo
Relazioni:
9:
:
0:
cateto opposto ad cateto adiacente ad ipotenusa
J1 =
JK1 =
VWK1 =
⟺ = ! ∙ J1
!
)
⟺ ) = ! ∙ JK1
!
)
JK1
⟺ VWK1 =
J1
VWK1 =
J1
= VWK6 1 =
)
JK1
JK-1 + J- 1 = !In un triangolo rettangolo, il coseno di un angolo rappresenta la lunghezza del lato adiacente moltiplicato per
la lunghezza dell'ipotenusa, il seno invece è il lato opposto moltiplicato per l'ipotenusa. La tangente di un
angolo è poi il rapporto tra il seno e il coseno dello stesso angolo,cioè tra il lato opposto e il lato adiacente, e
non dipende dall’ipotenusa.
Esempi risolti
Dati:
Trovare:
0 =?
=?
=?
Soluzione algebrica:
Sostituzione numerica e risultati:
due cateti
9 =5z
=8z
Dati:
Trovare:
=?
0 =?
=?
Soluzione algebrica:
= 9 ∙ tan
9
0=
|. 0 = 9G + G
cos
= 90 ; Sostituzione numerica e risultati:
Trovare:
Soluzione algebrica:
Sostituzione numerica e risultati:
Trovare:
9 =?
=?
=?
Soluzione algebrica:
9 = 0 ∙ cos
= 0 ∙ sin
= 90 ; Sostituzione numerica e risultati:
Trovare:
Soluzione algebrica:
Sostituzione numerica e risultati:
angolo e cateto
opposto
= 35°
9 =5z
Dati:
angolo e cateto
adiacente
= 27°
=6z
Dati:
angolo e
ipotenusa
= 54°
0 =9z
Dati:
cateto e
ipotenusa
9 =9z
0 = 15 z
9 =?
0 =?
=?
9 =?
=?
=?
0=
9G
G
+
tan = ⟹ = tan m n
9
9
= 90 ; 9 = ∙ tan
0=
|. 0 = 9G + G
sin
= 90 ; 9=
0 G
G
;
9
9
cos = ⟹ = arccos u v
0
0
= 90 ; - 10 –
ing. L. Balogh
[email protected]
0 = 5G + 8G = √89 z ≅ 9.43 z
8
= tan m n ≅ 58°
5
≅ 90 ; 48 ≅ 42°
= 5 ∙ tan35 ≅ 3.50 z
5
0=
≅ 6.10 z
cos35
= 90 ; 35 = 55°
9 = 6 ∙ tan 27 ≅ 11.78 z
6
0=
≅ 13.22 z
sin27
= 90 ; 27 = 63°
9 = 9 ∙ cos54 ≅ 5.29 z
= 9 ∙ sin54 ≅ 7.28 z
= 90 ; 54 = 36°
9 = 15G ; 9G = 12 z
9
= arccos m n ≅ 53.13°
15
≅ 90 ; 53.13 ≅ 36.87°
Corso di Matematica – Trigonometria
Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena visti.
Esercizi con soluzione: Si svolgano i seguenti esercizi con l’ausilio della calcolatrice e si confrontino le soluzioni
Tipo di
due cateti
angolo e cateto
angolo e cateto
angolo e
cateto e ipotenusa
problema
adiacente
opposto
ipotenusa
Dati del
problema
Soluzioni:
9=2z
=4z
0 = 4.47 z
= 63.43°
= 26.57
= 70°
9 =6z
= 28°
=5z
= 16.48
0 = 17.54
= 20°
= 22°
0 = 12 z
9 =?
0 =?
=?
9 =?
=?
=?
Attività: Si rappresentino i triangoli degli esercizi appena svolti.
9 =6z
0 = 13 z
9 =?
=?
=?
Area del triangolo qualunque, con l’utilizzo della trigonometria
Altezza:
ℎ = ∙ sin
Area:
= =
1
1
= = 0ℎ = 0 ∙ sin
2
2
= =
Erone:
9G ∙ sin sin
2 sin
90
= 2. G sin sin sin
4.
perimetro: = 9 + + 0
≔ ; 9
≔ ;
: = ⁄2
≔ ; 0
= = + + +
Attività: Una volta compresi i meccanismi della trigonometria, si provi a disegnare dei triangoli e si utilizzino le
varie tecniche conosciute per calcolare l’area dei vari triangoli e si confrontino i risultati ottenuti, si utilizzi
anche la formula di Erone.
Teorema della corda
!
= -#
JK
Teorema del seno
)
!
=
=
JK1 JK JK
Teorema del coseno
)- = - + !- ; -! ∙ J 1
- = )- + !- ; -)! ∙ J
!- = )- + - ; -) ∙ J
- 11 –
ing. L. Balogh
[email protected]
Corso di Matematica – Trigonometria
Relazioni fondamentali
J- 1 + JK-1 = 6
VWK1 =
JK1
J1
Periodicità delle funzioni trigonometriche
cos = cos + - sin = sin + - tan = tan + Multipli di alcuni archi
sin = ;sin;
sin = sin ; sin = ;sin + sin = cos u ; v
2
sin = ;cos u + v
2
tan = ; tan;
tan = ; tan ; tan = tan + cot = tan u ; v
2
cot = ;tan u + v
2
cos = cos;
cos = ;cos ; cos = ;cos + cos = sin u ; v
2
cos = sin u + v
2
Formule di addizione e sottrazione
Le formule di addizione e sottrazione permettono di trasformare le funzioni trigonometriche della somma o
differenza di due angoli in un'espressione composta da funzioni trigonometriche dei due angoli.
JK1 + = JK1 J + J1 JK
JK1 ; = JK1 J ; J1 JK
J1 + = J1 J ; JK1 JK
J1 ; = J1 J ; JK1 JK
tan + tan
tan ; tan
tan + =
tan ; =
1 ; tantan
1 + tantan
Formule di duplicazione
cos2 = cosG ; sinG α
sin2α = 2sinαcosα
Formule di bisezione
1 + cos
cosG u v =
2
2
1
;
cos
tanG u v =
2
1 + cos
tan2 =
2tan
1 ; tanG 1 ; cos
sinG u v =
2
2
1 ; cos
sin
tan u v =
=
2
sin
1 + cos
Formule di prostaferesi: Trasformazione di una somma in un prodotto
1+
1;
JK1 + JK = - ∙ JK m
n ∙ J m
n
1+
1;
JK1 ; JK = - ∙ J m
n ∙ JK m
n
-
1+
1;
JK1 + J = - ∙ J m
n ∙ J m
n
1+
1;
J1 ; J = ; - ∙ JK m
n ∙ J m
n
-
Formule di Werner: Trasformazione di un prodotto in una somma
1
sin cos = 4sin + + sin ; 5
2
1
cos cos = 4cos + + cos ; 5
2
ing. L. Balogh
[email protected]
1
cos cos = 4cos + + cos ; 5
2
- 12 –
Corso di Matematica – Trigonometria
Applicazioni
Proiezione di un vettore
Piano inclinato
- 13 –
ing. L. Balogh
[email protected]
