Esercizi di riepilogo - I prova parziale
Esercizio 1
L’Associazione Industriali di una provincia emiliana ha commissionato un’indagine per studiare le esigenze del mercato del lavoro locale. Allo scopo sono stati somministrati 2000 questionari alle industrie della provincia. I dati per 15 di queste aziende sono raccolti nella seguente
tabella:
• L: Livello di studi prevalente del personale impiegato a tempo indeterminato
• A: Ampiezza misurata attraverso il numero di dipendenti
• S: Settore prevalente di attività
• CA: Numero di contratti di lavoro diversi da quelli a tempo indeterminato
• V : Volume di affari per lavoratore a tempo indeterminato (in migliaia di euro).
L
laurea
media superiore
media superiore
laurea
media inferiore
media inferiore
laurea
media inferiore
media superiore
media inferiore
media superiore
media inferiore
laurea
laurea
media inferiore
A
25
40
15
20
45
34
150
76
60
35
21
62
45
10
30
S
alta tecnologia
abbigliamento
agroalimentare
alta tecnologia
agroalimentare
abbigliamento
agroalimentare
agroalimentare
abbigliamento
agroalimentare
alta tecnologia
agroalimentare
agroalimentare
alta tecnologia
agroalimentare
CA
6
4
10
3
5
0
130
9
4
5
5
50
40
0
15
V
228
62
80
600
78
44
62
224
36
85
548
1123
83
600
95
1a) Si calcoli la mediana per il carattere L, per il carattere V e per il carattere CA.
1b) Rappresenti graficamente il carattere L. Rappresentare in un grafico congiunto i caratteri
V ed A.
1c) Calcolare il volume medio di affari delle aziende classificate in base al livello di studi
prevalente del personale impiegato a tempo indeterminato.
1d) Calcolare la covarianza fra il carattere V e il carattere A.
1e) Considerando il modello di regressione YV = α + βXA + ε, dove YV = V e XA = A,
stimare i parametri α e β del modello.
1f) Scomporre la variabilità di YV per valutare la parte di variabilità spiegata dal modello.
1g) Utilizzando il modello di regressione, stimare il volume di affari per un’azienda non 100
dipendenti.
1h) Valutare la bontà di adattamento del modello di regressione.
1
Soluzione 1
1a) M e(L) è media superiore, M e(V ) = 85 e M e(CA) = 5.
1b) Grafico a barre per il carattere S e scatter plot per i caratteri V ed A.
Grafico a barre per il carattere L
8
7
6
5
4
3
2
1
0
media inferiore
media superiore
laurea
Scatter plot dei caratteri V ed A
160
140
120
A
100
80
60
40
20
0
1c) µV |laurea = 314.6,
0
200
400
600
V
µV |media sup. = 181.5,
800
1000
1200
µV |media inf. = 274.83
1d) La covarianza fra il carattere V e A è
σV A =
1 ∑
(Vi − V )(Ai − A) = −1617
N
1e) La stima dei parametri di regressione è
β̂ =
−1617
= −1.453,
1113
α̂ = 263.2 + 1.453 ∗ 44.53 = 327.901
1f) SST = 92735, SSR = 2349, SSE = 90386
1g) la previsione per XA = 100 è YV = 327.901 − 1.453 ∗ 100 = 182.6.
1h) Il coefficiente di correlazione e l’indice di bontà di adattamento sono
ρV A =
σV A
= −0.15916,
σV σA
2
R2 = 0.025
Esercizio 2
Un’azienda produttrice di componenti elettronici per telefonia mobile sottopone ad un controllo ogni pezzo prodotto. Se il pezzo supera il controllo, viene messo in commercio. Sia D
l’evento pezzo difettoso e sia S l’evento supera il controllo. Date le seguenti probabilità:
• probabilità che il pezzo sia difettoso P (D) = 0.1
• probabilità che il pezzo non superi il controllo dato che è difettoso P (S|D) = 0.9
• probabilità che il pezzo superi il controllo dato che non è difettoso P (S|D) = 0.8
calcolare:
2a) P (D): la probabilità che il pezzo non sia difettoso
2b) P (S|D): la probabilità che il pezzo difettoso superi il controllo
2c) P (S ∩ D): la probabilità che il pezzo sia difettoso e superi il controllo
2d) P (S|D): la probabilità che il pezzo non difettoso non superi il controllo
2e) P (S): la probabilità che il pezzo superi il controllo
2f) P (D|S): la probabilità che il pezzo che ha superato il controllo sia difettoso
2g) P (S ∪ D): la probabilità che il pezzo sia difettoso o che superi il controllo
Soluzione 2
2a) P (D) = 1 − P (D) = 1 − 0.1 = 0.9.
2b) P (S|D) = 1 − P (S|D) = 1 − 0.9 = 0.1
2c) P (S ∩ D) = P (S|D) × P (D) = 0.1 × 0.1 = 0.01
2d) P (S|D) = 1 − P (S|D) = 1 − 0.8 = 0.2
2e) P (S) = P (S|D)P (D) + P (S|D)P (D) = 0.1 × 0.1 + 0.8 × 0.9 = 0.73
2f) P (D|S) =
P (S|D)P (D)
P (S)
=
0.1×0.1
0.73
= 0.014.
2g) P (S ∪ D) = P (S) + P (D) − P (S ∩ D) = 0.73 + 0.1 − 0.01 = 0.82
3
Esercizio 3
Un’urna contiene 3 palline nere e 7 bianche. Consideriamo una serie di due estrazioni senza reimmissione.
3a) Calcolare la probabilità di ottenere in due estrazioni consecutive prima 1 pallina bianca e
poi 1 pallina nera.
3b) Calcolare la probabilità di ottenere in due estrazioni consecutive 1 pallina bianca e 1 pallina nera, indipendentemente dall’ordine (suggerimento: vanno considerati entrambi gli
eventi: prima pallina bianca e poi nera, prima pallina nera e poi bianca).
Supponiamo di estrarre a caso una pallina senza reimmissione. Si possono verificare i seguenti
casi:
- se si estrae pallina nera, nell’urna vengono aggiunte due palline bianche ed una nera;
- se si estrare pallina bianca, non viene aggiunta nessuna pallina all’urna.
Consideriamo ora un’ulteriore sistema di estrazioni dall’urna.
3c) Calcolare la probabilità che entrambe le palline siano bianche.
3d) Calcolare la probabilità che entrambe le palline siano nere.
3e) Calcolare la probabilità di estrarre prima pallina nera e poi pallina bianca.
Soluzione 3
Sia B l’evento estrazione di pallina bianca e sia N l’evento estrazione di pallina nera.
3a) P (B1 ∩ N2 ) = P (B1 ) × P (N2 |B1 ) = 7/10 × 3/9 = 0.7 × 0.33 = 0.233
3b) P (B1 ∩ N2 ) ∪ P (N1 ∩ B2 ) = (7/10 × 3/9) + (3/10 × 7/9) = (0.7 × 0.33) + (0.3 × 0.78) ≈
0.233 + 0.233 = 0.466
3c) P (B1 ∩ B2 ) = P (B1 ) × P (B2 |B1 ) = 7/10 × 6/9 = 0.7 × 0.66 = 0.46
3d) P (N1 ∩ N2 ) = P (N1 ) × P (N2 |N1 ) = 3/10 × 3/12 = 0.3 × 0.25 = 0.075
3e) P (N1 ∩ B2 ) = P (N1 ) × P (B2 |N1 ) = 3/10 × 9/12 = 0.3 × 0.75 = 0.225
4
